高等數(shù)學(xué) 第十二章 無窮級數(shù)

1、無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 從從18世紀(jì)以來，無窮級數(shù)就被認(rèn)為是微積分的世紀(jì)以來，無窮級數(shù)就被認(rèn)為是微積分的一個不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同一個不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性時也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用有著廣泛的應(yīng)用 本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項級數(shù)和兩類重要的函本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項級數(shù)和兩類重要的函數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)和三角級數(shù)，主要圍繞三個問冪級數(shù)和三角級數(shù)，主要圍繞三個問題展開討論：題展開討論：級數(shù)的收斂性判定問

2、題，級數(shù)的收斂性判定問題，把已知把已知函數(shù)表示成級數(shù)問題，函數(shù)表示成級數(shù)問題，級數(shù)求和問題。級數(shù)求和問題。重點重點級數(shù)的斂散性，常數(shù)項級數(shù)審斂法，冪級數(shù)的收斂級數(shù)的斂散性，常數(shù)項級數(shù)審斂法，冪級數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪級數(shù)展開式，函數(shù)的域，函數(shù)的冪級數(shù)展開式，函數(shù)的Fourier 展開式；展開式；難點難點常數(shù)項級數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級數(shù)的直接法常數(shù)項級數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級數(shù)的直接法和間接法，和間接法， Fourier 展開，級數(shù)求和；展開，級數(shù)求和；基本要求基本要求掌握級數(shù)斂散性概念和性質(zhì)掌握級數(shù)斂散性概念和性質(zhì)掌握正項級數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法掌握正項級數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法

3、掌握交錯級數(shù)的掌握交錯級數(shù)的Leibniz審斂法審斂法掌握絕對收斂和條件收斂概念掌握絕對收斂和條件收斂概念掌握冪級數(shù)及主要性質(zhì)，會求收斂半徑和收斂掌握冪級數(shù)及主要性質(zhì)，會求收斂半徑和收斂區(qū)間，會求簡單的冪級數(shù)的和函數(shù)區(qū)間，會求簡單的冪級數(shù)的和函數(shù)熟記五個基本初等函數(shù)的熟記五個基本初等函數(shù)的 Taylor 級數(shù)展開式及級數(shù)展開式及其收斂半徑其收斂半徑掌握掌握 Fourier 級數(shù)概念，會熟練地求出各種形級數(shù)概念，會熟練地求出各種形式的式的Fourier 系數(shù)系數(shù)掌握奇、偶函數(shù)的掌握奇、偶函數(shù)的 Fourier 級數(shù)的特點及如何級數(shù)的特點及如何將函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)將函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余

4、弦級數(shù)一、問題的提出一、問題的提出1. 1. 計算圓的面積計算圓的面積正六邊形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正十二邊形的面積正正 形的面積形的面積n23 naaaA 21即即 n10310003100310331. 21a21aa naaa 21R二、級數(shù)的概念二、級數(shù)的概念1. 1. 級數(shù)的定義級數(shù)的定義: : nnnuuuuu3211一般項一般項(常數(shù)項常數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù)級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和 niinnuuuus121部分和數(shù)列部分和數(shù)列,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散: : 當(dāng)當(dāng)n無無限限增增

5、大大時時, ,如如果果級級數(shù)數(shù) 1nnu的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列ns有有極極限限s, , 即即 ssnn lim 則則稱稱無無窮窮級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,這這時時極極限限s叫叫做做級級數(shù)數(shù) 1nnu的的和和. .并并寫寫成成 321uuus 如如果果ns沒沒有有極極限限, ,則則稱稱無無窮窮級級數(shù)數(shù) 1nnu發(fā)發(fā)散散. . 即即 常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) )余項余項nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 誤誤差差為為nr )0lim( nnr無窮級數(shù)收斂性舉例：無窮級數(shù)收斂性舉例：KochKoch雪花雪花. .

6、做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形了面積有限而周長無限的圖形“Koch“Koch雪花雪花”觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設(shè)三角形設(shè)三角形第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面積積為為周周長長為為依次類推依次類推第第 次分叉：次分叉：n周長為周長為, 2 , 1)34(11 nP

7、Pnn面積為面積為)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn )94(31)94(31)94(31311221 nA, 3 , 2 n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂）結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界例例 1 1 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)( (幾何級數(shù)幾何級數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收斂性的收斂性. .解解時時如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqa

8、n ,1時時當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim 收斂收斂,1時時當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 發(fā)散發(fā)散時時如如果果1 q,1時時當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散,1時時當(dāng)當(dāng) q aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn例例 2 2 判別無窮級數(shù)判別無窮級數(shù) )12()12(1531311nn 的收斂性的收斂性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn),1211(21 n)1

9、211(21limlim nsnnn,21 .21, 和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂三、基本性質(zhì)三、基本性質(zhì)性性質(zhì)質(zhì)1 1 如如果果級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1nnku亦亦收收斂斂. . 結(jié)論結(jié)論: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性性質(zhì)質(zhì)2 2 設(shè)設(shè)兩兩收收斂斂級級數(shù)數(shù) 1nnus, , 1nnv, , 則則級級數(shù)數(shù) 1)(nnnvu收收斂斂, ,其其和和為為 s. . 結(jié)論結(jié)論: : 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .性性質(zhì)質(zhì) 3 3 若若級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1knn

10、u也也收收斂斂)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .證明證明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 則則 類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性影響級數(shù)的斂散性.性性質(zhì)質(zhì) 4 4 收收斂斂級級數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所成成的的級級數(shù)數(shù)仍仍然然收收斂斂于于原原來來的的和和. .證明證明 )()(54321uuuuu,21s ,52s ,93s ,nms .limlimssnnmm 則則注意注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. ) 11 () 11

11、(例例如如 收斂收斂 1111 發(fā)散發(fā)散事實上，對級數(shù)事實上，對級數(shù) 1nnu任意加括號任意加括號 )()()(1111211kkpppppuuuuuu若記若記kkppkuub 11則加括號后級數(shù)成為則加括號后級數(shù)成為 1kkb記記 1nnu的部分和為的部分和為ns 1kkb的部分和記為的部分和記為k 則則kpks 由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知存在，存在，nns limkk lim必定存在必定存在kk lim存在存在nns lim未必存在未必存在推推論論 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散, ,則則原原來來級級 數(shù)數(shù)也也發(fā)發(fā)散散. . 四、收斂的必要條件四、收

12、斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件: :即即趨趨于于零零它它的的一一般般項項無無限限增增大大時時當(dāng)當(dāng),nun級級數(shù)數(shù)收收斂斂. 0lim nnu 1nnus證明證明,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 注意注意1.1.如果級數(shù)的一般項不趨于零如果級數(shù)的一般項不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例例如如 發(fā)散發(fā)散2.2.必要條件不充分必要條件不充分. . n131211例例如如調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)?,0lim但但級級數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂有有 nnu討論討論nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其和為其和

13、為假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂)lim(2nnnss 于于是是ss , 0 )(210 n便便有有.這這是是不不可可能能的的.級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散2項項 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm2項項4項項8項項 項項m221每每項項均均大大于于21)1(1 mm項項大大于于即即前前.級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散由性質(zhì)由性質(zhì)4 4推論推論, ,調(diào)和級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)發(fā)散. .由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分這塊面積顯然大于定積分nsn1211 以以 1 為底的的矩形面積為底的的矩形面積把每一項看成是以把每一項看成是以 為高為高n1就

14、是圖中就是圖中 n 個矩形的面積之和個矩形的面積之和nsdxxn 111即即nSn1211 ,)1ln(111 ndxxn)( n故調(diào)和級數(shù)發(fā)散故調(diào)和級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)的部分和調(diào)和級數(shù)的部分和五、小結(jié)五、小結(jié)常數(shù)項級數(shù)的基本概念常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法1 1. .由由定定義義, ,若若ssn, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ; 2 2. .當(dāng)當(dāng)0lim nnu, ,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 3 3. .按按基基本本性性質(zhì)質(zhì). . 思考題思考題 設(shè)設(shè) 1nnb與與 1nnc都都收收斂斂，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收斂斂？ 思考題解答思考題解

15、答能能由柯西審斂原理即知由柯西審斂原理即知觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設(shè)三角形設(shè)三角形第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面積積為為周周長長為為依次類推依次類推12345練習(xí)題練習(xí)題一一、填填空空題題: : 1 1、 若若nnan242)12(31 , ,則則 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 2 2、 若若nnnna! , ,則則 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3、 若若級級數(shù)數(shù)為為 642422x

16、xxx則則 na_ _ _ _ _ _ _ _； 4 4、 若若級級數(shù)數(shù)為為 97535432aaaa則則 na_ _ _ _ _ _ _ _ _； 5 5、 若若級級數(shù)數(shù)為為 615413211 則則當(dāng)當(dāng) n_ _ _ _ _ _時時 na_ _ _ _ _ _；當(dāng)當(dāng) n_ _ _ _ _ _ _時時 na_ _ _ _ _ _ _ _ _； 6 6、 等等比比級級數(shù)數(shù) 0nnaq, ,當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _ _時時收收斂斂；當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _時時發(fā)發(fā)散散 . . 三三、由由定定義義判判別別級級數(shù)數(shù) ) 12)(12(1751531311nn的的收收斂斂性性. . 四四、判判別別下下列列

17、級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性: : 1 1、 n31916131； 2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn； 3 3、 nn101212014110121 . . 五五、利利用用柯柯西西收收斂斂原原理理判判別別級級數(shù)數(shù) 61514131211的的斂斂散散性性 . . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1

18、 qq. . 三、收斂三、收斂. . 四、四、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂；、收斂； 3 3、發(fā)散、發(fā)散、 nkknks12)10121( . . 五、發(fā)散五、發(fā)散. . 取取np2 常數(shù)項級數(shù)審斂法常數(shù)項級數(shù)審斂法 在研究級數(shù)時，中心問題是判定級數(shù)的斂散在研究級數(shù)時，中心問題是判定級數(shù)的斂散性，如果級數(shù)是收斂的，就可以對它進(jìn)行某些性，如果級數(shù)是收斂的，就可以對它進(jìn)行某些運算，并設(shè)法求出它的和或和的近似值但是除運算，并設(shè)法求出它的和或和的近似值但是除了少數(shù)幾個特殊的級數(shù)，在一般情況下，直接了少數(shù)幾個特殊的級數(shù)，在一般情況下，直接考察級數(shù)的部分和是否有極限是很困難的，因考察級數(shù)的部分和是

19、否有極限是很困難的，因而直接由定義來判定級數(shù)的斂散性往往不可行而直接由定義來判定級數(shù)的斂散性往往不可行，這就要借助一些間接的方法來判定級數(shù)的斂，這就要借助一些間接的方法來判定級數(shù)的斂散性，這些方法稱為審斂法散性，這些方法稱為審斂法 對常數(shù)項級數(shù)將分為正項級數(shù)和任意項級數(shù)對常數(shù)項級數(shù)將分為正項級數(shù)和任意項級數(shù)來討論來討論一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法1.1.定義定義: :，中中各各項項均均有有如如果果級級數(shù)數(shù)01 nnnuu這種級數(shù)稱為正項級數(shù)這種級數(shù)稱為正項級數(shù). .這種級數(shù)非常重要，這種級數(shù)非常重要，以后我們將會看到許多級數(shù)的斂散性判定問題以后我們將會看到許多級數(shù)的斂散性判定問

20、題都可歸結(jié)為正項級數(shù)的收斂性問題都可歸結(jié)為正項級數(shù)的收斂性問題2.2.正項級數(shù)收斂的充要條件正項級數(shù)收斂的充要條件: : nsss21部分和數(shù)列部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列. .ns定理定理.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂ns3.比較審斂法比較審斂法均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收斂斂, ,則則 1nnu收收斂斂； 反反之之，若若 1nnu發(fā)發(fā)散散，則則 1nnv發(fā)發(fā)散散. . 證明證明 1)1(nnv設(shè)設(shè),nnvu nnuuus 21且且nvvv 21即部分和數(shù)列有界即部

21、分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnu)()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且nns 則則 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv定理證畢定理證畢.推推論論: : 若若 1nnu收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ) 且且)(nnnnvkuNnkuv , , 比較審斂法的不便比較審斂法的不便:須有參考級數(shù)須有參考級數(shù).則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .例例 1 1 討討論論 P P- -級級數(shù)數(shù) ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散則則 P, 1 p設(shè)設(shè)由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nn

22、ppxdxxdx1211oyx)1(1 pxyp1234 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.級數(shù)收斂級數(shù)收斂則則 P 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng)級級數(shù)數(shù),1,1ppP重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), P-, P-級數(shù)級數(shù), , 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù). . 比較審斂法是一基本方法，雖然有比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因為它用，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因為它需要建立定理所要求的不等式，而這種需要建立定理所要求的不等式，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較

23、審斂法上更為方便的極限形式的比較審斂法例例 2 2 證證明明級級數(shù)數(shù) 1)1(1nnn是是發(fā)發(fā)散散的的. 證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)發(fā)散散而而級級數(shù)數(shù).)1(11 nnn發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù), , 如果如果則則(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時時, , 二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時，若時，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時時, , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 則則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00

24、l l 1nnv 1nnu證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對對于于,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.5 5. .極極限限審審斂斂法法：設(shè)設(shè) 1nnu為為正正項項級級數(shù)數(shù), , 如如果果0lim lnunn ( (或或 nnnulim) ), , 則則級級數(shù)數(shù) 1nnu發(fā)發(fā)散散; ; 如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, , 則則級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂. . 例例 3 3 判判定定下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性: : (1) 11sinnn ; (2

25、) 131nnn ; 解解nnn1sinlim nnn11sinlim , 1 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.)2(nnnn3131lim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.)1(6 6. .比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )：設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu 則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. . 證明證明,為為有有限限數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng) , 0 對對,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnu

26、u有)(1Nnuunn 即即,1時時當(dāng)當(dāng) ,1 取取, 1 r使使,12 NNruu,1223 NNNurruu,11 NmmNuru,111 mNmur收收斂斂而而級級數(shù)數(shù),11收斂收斂 NnummNuu收斂收斂,1時時當(dāng)當(dāng) , 1 取取, 1 r使使,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點比值審斂法的優(yōu)點: 不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). .直接從級數(shù)本直接從級數(shù)本身的構(gòu)成身的構(gòu)成即通項來判定其即通項來判定其斂散性斂散性 兩點注意兩點注意:1 1. .當(dāng)當(dāng)1 時時比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)例例 nn,112收收斂斂級級數(shù)

27、數(shù) nn)1( 2 2. .條條件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. . ,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級數(shù)級數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 例例 4 4 判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(11 n),(0 n.!11收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nn!1)!1(11nnuunn )2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n),( n.

28、10!1發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收收斂斂級級數(shù)數(shù) nn.)12(211收收斂斂故故級級數(shù)數(shù) nnn例例5 126sin3nnnn 解解由于由于nnnuu1lim 不存在，檢比法失效不存在，檢比法失效 而而nnnnn36sin32 對對 13nnn由檢比法得由檢比法得 13nnn收斂收斂故由比較審斂法知故由比較審斂法知 126sin3nnnn 收斂收斂例例6nnnxn)( !1 )0( x解解nnnnnnnxnnxnuu)(

29、 !)1()!1(limlim11 exnxnn )11(lim由檢比法得由檢比法得 ex 級數(shù)收斂級數(shù)收斂ex 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散ex 檢比法失效檢比法失效，但，但nne)11( 即后項大于前項即后項大于前項nnuu 1故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散7 7. .根根值值審審斂斂法法 ( (柯柯西西判判別別法法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim )( 為為數(shù)數(shù)或或 , , 則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ; 1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. . 證明證明1)1( 取取 100則則10 r由由 nnnulim知知時時，使使當(dāng)當(dāng)NnN runn 0 )

30、(Nnrunn 由由 1Nnnr收斂及比較審斂法得收斂及比較審斂法得 1Nnnu收斂收斂 1nnu收斂收斂1)2( 由由 nnnulim知知時時，使使當(dāng)當(dāng)NnN 1 nnu1 nu故故nu不趨于不趨于 0 1nnu發(fā)散發(fā)散1)3( 不能判定不能判定如如 12111nnnn與與都有都有1lim nnnu但但 121nn收斂收斂 11nn發(fā)散發(fā)散,1 ,1 nnn設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n級數(shù)收斂級數(shù)收斂.二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法定義定義: : 正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或

31、)0( nu其中其中萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯錯級級數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余項項nr的的絕絕對對值值1 nnur. .證明證明, 01 nnuu)()()(21243212nnnuuuuuus ,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列nsnnnnuuuuuus212223212)()( 又1u ,2是是有有界界的的數(shù)數(shù)列列ns.lim12ussnn , 0lim12 nnu)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1us

32、s 且且級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于和和),(21 nnnuur余余項項,21 nnnuur滿足收斂的兩個條件滿足收斂的兩個條件,.1 nnur定理證畢定理證畢.例例 7 7 判判別別級級數(shù)數(shù) 21)1(nnnn的的收收斂斂性性. . 解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.證明證明 un 單調(diào)減的方法單調(diào)減的方法01 nnuu11 nnuu？0)()( xfnfun考察考察？三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂定義定義: : 正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和

33、負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù). .定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯顯然然,nnuv 且且,1收收斂斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收收斂斂. 上定理的作用：上定理的作用：任意項級數(shù)任意項級數(shù)正項級數(shù)正項級數(shù)定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為絕絕對對收收斂斂; ; 若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. . 例例 8 8 判判別別級級數(shù)數(shù) 12sinnnn的的收收斂斂性性. .

34、解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂.將正項級數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項將正項級數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項級數(shù)的斂散性可得到如下定理級數(shù)的斂散性可得到如下定理定理定理設(shè)有級數(shù)設(shè)有級數(shù) 1nnu nnnuu1lim)|lim( nnnu 則則1 1nnu絕對收斂絕對收斂1 1nnu發(fā)散發(fā)散1 可能絕對收斂，可能條件收可能絕對收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散斂，也可能發(fā)散如如 121)1(nnn 11)1(nnn 11)1(nn注意注意一般而言，由一般而言，由 發(fā)散，并不能推出發(fā)散，并不能推出

35、 1|inu 1inu發(fā)散發(fā)散如如 11)1(nnn 11in發(fā)散發(fā)散但但 收斂收斂 11)1(nnn如果如果 發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定 1|inu則則 必定發(fā)散必定發(fā)散 1inu這是因為檢比法與檢根法這是因為檢比法與檢根法審定級數(shù)發(fā)散的原因是通項不趨向于審定級數(shù)發(fā)散的原因是通項不趨向于0由由00|nnuu四、小結(jié)四、小結(jié)正正 項項 級級 數(shù)數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)審審斂斂法法1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數(shù)交錯級數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則則級級數(shù)數(shù)收收斂

36、斂若若SSn;, 0,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun思考題思考題 設(shè)正項級數(shù)設(shè)正項級數(shù) 1nnu收斂收斂, , 能否推得能否推得 12nnu收斂收斂? ?反之是否成立反之是否成立? ? 思考題解答思考題解答由由正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂, nnnuu2lim nnu lim0 由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收斂收斂, 11nn發(fā)散發(fā)散.練練 習(xí)習(xí) 題題一一、填填空空題題: : 1 1、 p級級數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _ _ _ _時時收收斂斂, ,當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _ _ _

37、_時時發(fā)發(fā)散散； 2 2、若若正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu的的后后項項與與前前項項之之比比值值的的根根 等等于于, , 則則當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _ _ _ _ _時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂；_ _ _ _ _ _ _ _ _時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _時時級級數(shù)數(shù)可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散 . . 二二、用用比比較較審審斂斂法法或或極極限限審審斂斂法法判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂 性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . . 三、三、 用比值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性用比值審斂法判別下列

38、級數(shù)的收斂性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、 1!2nnnnn. .四、四、 用根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性用根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判別下列級數(shù)的收斂性判別下列級數(shù)的收斂性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .六六、 判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂? ?如如果果是是收收斂斂的的, ,是是絕絕對對收收斂斂還還是是條條件件收收斂斂? ? 1 1、 1113) 1(nnnn； 2 2

39、、 5ln14ln13ln12ln1； 3 3、 2ln) 1(nnnn. . 七七、若若nnun2lim 存存在在, ,證證明明: :級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂 . . 八八、證證明明: :0!lim3 nnnanb. . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、1, 1 pp； 2 2、1),lim( 1, 11 nnnuu或或. .二、二、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、發(fā)散、發(fā)散. .三、三、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂、收斂. .四、四、1 1、收斂；、收斂； 2 2、收斂、收斂. .五、五、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂；、收斂； 3 3、 ., 1;, 10;, 1發(fā)散

40、發(fā)散發(fā)散發(fā)散收斂收斂aaa六、六、1 1、絕對收斂；、絕對收斂； 2 2、條件收斂；、條件收斂； 3 3、條件收斂、條件收斂. .1 1、常數(shù)項級數(shù)、常數(shù)項級數(shù) 常常數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). .收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課習(xí)題課 常數(shù)項級數(shù)審斂常數(shù)項級數(shù)審斂一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容常數(shù)項級數(shù)審斂法常數(shù)項級數(shù)審斂法正正 項項 級級 數(shù)數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數(shù)交錯級數(shù)(萊布尼

41、茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂若若SSn;, 0,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun一般項級數(shù)一般項級數(shù)4.絕對收斂絕對收斂2 2、正項級數(shù)及其審斂法、正項級數(shù)及其審斂法.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂ns(1) (1) 比較審斂法比較審斂法(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式( (3 3) ) 極極限限審審斂斂法法0, 0nnvu設(shè)設(shè)nnvu 與與若若是同階無窮小是同階無窮小同斂散同斂散與與則則 nnvu特別特別 nnvu 若若（等價無窮?。ǖ葍r無窮?。┩瑪可⑼瑪可⑴c與則則 nnvu( (4 4) )

42、 比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )(5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )3 3、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法4 4、任意項級數(shù)及其審斂法、任意項級數(shù)及其審斂法Leibniz定理定理絕對收斂，條件收斂絕對收斂，條件收斂附：附：正項級數(shù)與任意項級數(shù)審斂程序正項級數(shù)與任意項級數(shù)審斂程序 nu0nu nu發(fā)散發(fā)散NYnnuu1lim 1 Ynnvu 0nnulim N1 N改改用用它它法法Y nu收斂收斂 nv收斂收斂 nu發(fā)散發(fā)散 nu收斂收斂 nv發(fā)散發(fā)散 nu0nuN

43、發(fā)散發(fā)散 nuY斂斂 |nuY絕絕對對收收斂斂 nu 收斂收斂 nuN用檢比用檢比 法法用比較法用比較法用用L準(zhǔn)則或考察部分和準(zhǔn)則或考察部分和N收斂 nuNY條件收斂條件收斂例例1求極限求極限nnnn 2!3lim 解解考察正項級數(shù)考察正項級數(shù) nnnnu2!3nnnnnnnnnnuu32!2)!1(3limlim111 10)1(23lim nn由檢比法由檢比法 nnn 2!3收斂收斂由級數(shù)收斂的必要條件得由級數(shù)收斂的必要條件得02!3lim nnnn二、典型例題二、典型例題例例2 設(shè)設(shè) 0lim anann試證試證 na發(fā)散發(fā)散證證不妨設(shè)不妨設(shè) a 0 由極限保號性知由極限保號性知N 時當(dāng)

44、Nn 0 na由于由于01limlim ananannnn故由比較法的極限形式得故由比較法的極限形式得 na發(fā)散發(fā)散例例3 若若 nu nv都發(fā)散都發(fā)散 則則A )(nnvu必發(fā)散必發(fā)散B nnvu必發(fā)散必發(fā)散C |nnvu必發(fā)散必發(fā)散D以上說法都不對以上說法都不對例例3 3;)1()1(:11 nnnnnnn判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級

45、數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散 1).0()1()2ln()2(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時時從而有從而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由由于于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1101時時即即當(dāng)當(dāng) aa原級數(shù)收斂；原級數(shù)收斂；,1110時時即即當(dāng)當(dāng) aa原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)發(fā)散；,1時時當(dāng)當(dāng) a,)11()2ln(1 nnnn原原級級數(shù)數(shù)為為,)11()2ln(lim nnnn原級數(shù)也發(fā)散原級數(shù)也發(fā)散斂斂？是是條條件件收收斂斂還還是是絕絕對對收收斂斂？如如果果收收斂斂，

46、是是否否收收判判斷斷級級數(shù)數(shù) 1ln)1(nnnn例例4 4解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂即原級數(shù)非絕對收斂,ln)1(1級級數(shù)數(shù)是是交交錯錯 nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上上單單增增在在 ,ln1單減單減即即xx ,1ln1時時單單減減當(dāng)當(dāng)故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯級數(shù)收斂，所以此交錯

47、級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂故原級數(shù)是條件收斂 na nc都收斂都收斂 且且nnncba 例例5 設(shè)設(shè) 試證試證 nb收斂收斂證證由由 nnncba 知知nnnnacab 0因因 na nc都收斂都收斂 故正項級數(shù)故正項級數(shù) )(nnac收斂收斂再由比較審斂法知再由比較審斂法知 正項級數(shù)正項級數(shù) )(nnab收斂收斂而而nnnnaabb )(即即 nb可表為兩個收斂級數(shù)可表為兩個收斂級數(shù)之和之和 )(nnab na故故 nb收斂收斂例例6 設(shè)設(shè) 0, 0 nnba且且nnnnbbaa11 若若 nb收斂收斂 則則 na也收斂也收斂證證由題設(shè)知由題設(shè)知1111bababannnn nnbbaa1

48、1 而而 nb收斂收斂由比較法得由比較法得 na收斂收斂Cauchy積分審斂法積分審斂法設(shè)設(shè) 0)( xfy單調(diào)減少單調(diào)減少)(nfun 則則 1nnu與與 1)(dxxf同斂散同斂散例例7 證證由由 f(x) 單調(diào)減少知單調(diào)減少知 11)()()1(kkkkukfdxxfkfu即即 nknnkkkudxxfu11111)(nnnSdxxfSS 1111)(故故 1nnu與與 1)(dxxf同斂散同斂散例例8 設(shè)設(shè) nu是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列試證明試證明 )1(11 nnnuu收斂收斂證證記記11 nnnuuv則則011 nnnnuuuv且且11uuuvnnn 而

49、正項級數(shù)而正項級數(shù) 11)(nnnuu的部分和的部分和 nknkknuuuuS1111)(又又 nu單調(diào)增加且有界單調(diào)增加且有界故由單調(diào)有界原理知故由單調(diào)有界原理知 Aunn lim存在存在1limuASnn 即即 11)(nnnuu收斂收斂進(jìn)而進(jìn)而 111)(1nnnuuu收斂收斂由比較法得由比較法得 1nnv收斂收斂設(shè)正數(shù)數(shù)列設(shè)正數(shù)數(shù)列 na單調(diào)減少，級數(shù)單調(diào)減少，級數(shù) 11)1(nnna發(fā)散發(fā)散考察考察nnna)11(1 的斂散性的斂散性證證 記記nnnau)11( 由由 na單調(diào)減少單調(diào)減少0 na故由單調(diào)有界原理知故由單調(diào)有界原理知 Aann lim存在存在且且0 A若若0 A由由L

50、eibniz審斂法得審斂法得 交錯級數(shù)交錯級數(shù) 11)1(nnna收斂收斂 與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾0 Annnnnau 11limlim111 A由檢根法知由檢根法知 nnna)11(1 收斂收斂 例例9 已知已知 nunnln1lnlim0 nu證明證明收斂收斂 nu1 發(fā)發(fā)散散nu1 的斂散性不定的斂散性不定nu1 由由1ln1lnlim nunn知知對對1 NnN ,有有1ln1ln qnun nqunln1ln nqunlnln 證證例例10qnnu1 而而 qn1收斂收斂故由比較法知故由比較法知 nu收斂收斂 由由1ln1lnlim nunn知知NnN 當(dāng),有有1ln1ln rnun

51、nrunln1ln nrunlnln rnnu1 而而 rn1發(fā)散發(fā)散故由比較法知故由比較法知 nu發(fā)散發(fā)散如如pnnnu)(ln1 1ln)ln(lnlnlimln1lnlim nnpnnunnn但但收收斂斂時時 nup1發(fā)發(fā)散散時時 nup1 討論討論 1npnna的斂散性的斂散性), 0(常數(shù)常數(shù)ap 解解對級數(shù)對級數(shù) 1npnna|)1(limlim1aannuupnnnn 1| a 1npnna收斂收斂 1npnna絕對收斂絕對收斂1| a 1npnna發(fā)散發(fā)散 1npnna發(fā)散發(fā)散1| a分情況說明分情況說明例例11 1 a級數(shù)成為級數(shù)成為 11npn1 p收斂收斂1 p發(fā)散發(fā)散1

52、 a級數(shù)成為級數(shù)成為 1)1(npnn1 p絕對收斂絕對收斂1 p條件收斂條件收斂例例12 對對 ,的值，研究一般項為的值，研究一般項為 nnnVn 2sin的級數(shù)的斂散性的級數(shù)的斂散性解解)(sin nnVn )sin()1(nn 由于當(dāng)由于當(dāng) n 充分大時，充分大時， )sin(n 定號定號故級數(shù)從某一項以后可視為交錯級數(shù)故級數(shù)從某一項以后可視為交錯級數(shù)整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) 為何值為何值無論無論 總有總有|)sin(|lim|lim nVnnn 0|sin| 0lim nnV級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) nVnnsin)1( 時當(dāng) n nsin非增地趨于非增地趨于 0 由由Leibniz審斂法知審

53、斂法知 1nnV收斂收斂但但 |sin|lim1|lim nnnVnnn而而 11nn發(fā)散發(fā)散故由比較法的極限形式故由比較法的極限形式時當(dāng)0 1sinnn 發(fā)散發(fā)散 1nnV條件收斂條件收斂0 0 nV級數(shù)顯然收斂級數(shù)顯然收斂 正項級數(shù)正項級數(shù) 由級數(shù)收斂的必要條件要使由級數(shù)收斂的必要條件要使 收斂必須收斂必須 nu0nu但在一般項趨于但在一般項趨于 0 的級數(shù)中為什么有的收斂有的級數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，的卻發(fā)散，0nu因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說明問題的實

54、質(zhì)，使用起來也更有效更能說明問題的實質(zhì)，使用起來也更有效的的階階問題的實質(zhì)是級數(shù)收斂與否取決于問題的實質(zhì)是級數(shù)收斂與否取決于關(guān)于常數(shù)項級數(shù)審斂關(guān)于常數(shù)項級數(shù)審斂nnnuu1lim 和和nnnu lim作為作為nu變化快慢變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實質(zhì)是把所論級數(shù)與某一幾何級數(shù)和檢根法的實質(zhì)是把所論級數(shù)與某一幾何級數(shù)作比較，雖然使用起來較方便但都會遇到作比較，雖然使用起來較方便但都會遇到“失失效效”的情況。的情況。 收收斂斂收收斂斂nnuu |這一結(jié)論將許多級數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項這一結(jié)論將許多級數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項級數(shù)的斂散性判定級數(shù)的

55、斂散性判定注注比較法、比較法的極限形式、檢比法、比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對檢根法、積分審斂法，只能對正項級數(shù)正項級數(shù)方方可使用可使用的一種估計的一種估計檢比法、檢根法只是檢比法、檢根法只是充分條件充分條件而非必要條件而非必要條件L準(zhǔn)則也是準(zhǔn)則也是充分條件充分條件而非必要條件而非必要條件通項中含通項中含 !,nnann等常用等常用檢比檢比法法通項中含通項中含 有以有以 n 為指數(shù)冪的因子時為指數(shù)冪的因子時 常用常用檢根檢根法法使用比較法的極限形式時，關(guān)鍵在于找出與使用比較法的極限形式時，關(guān)鍵在于找出與nu同階或同階或 等價的無窮小等價的無窮小如如)sin(nn

56、61sinlim3 xxxn記記nnun sin 31nvn 則則 同同斂斂散散與與nnvu當(dāng)所討論的級數(shù)中含有當(dāng)所討論的級數(shù)中含有參數(shù)參數(shù)時，一般都要時，一般都要對參數(shù)的取值加以討論對參數(shù)的取值加以討論1.1.定義定義: :設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是定義在是定義在RI 上的函上的函數(shù)數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn 稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間I上的上的( (函數(shù)項函數(shù)項) )無窮級數(shù)無窮級數(shù). . ,120 xxxnn例例如如級級數(shù)數(shù)冪冪 級級 數(shù)數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念2.2.收斂點與收斂域收斂點與收斂域: :如如果果

57、Ix 0, ,數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂, , 則則稱稱0 x為為級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點點, , 函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點點的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, , 所有發(fā)散點的全體稱為所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. . 3.3.和函數(shù)和函數(shù): :在在收收斂斂域域上上, ,函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的和和是是x的的函函數(shù)數(shù))(xs, , 稱稱)(xs為為函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù). . )()()()(21xuxuxuxsn(定義域是定義域是?)函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)項級數(shù)的部分和),(xsn余項余項)()(limxsx

58、snn )()()(xsxsxrnn 0)(lim xrnn注意注意(x在收斂域上在收斂域上)函數(shù)項級數(shù)在某點函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題的收斂問題,實質(zhì)上實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題是數(shù)項級數(shù)的收斂問題.例例 1 1 求級數(shù)求級數(shù)nnnxn)11()1(1 的收斂域的收斂域. 解解由達(dá)朗貝爾判別法由達(dá)朗貝爾判別法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx,20時時或或即即 xx原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)絕對收斂., 111)1( x當(dāng)當(dāng), 11 x, 111)2( x當(dāng)當(dāng), 11 x,02時時即即 x原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散., 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng), 20 xx或或,0時時當(dāng)當(dāng) x 1)1

59、(nnn級級數(shù)數(shù),2時時當(dāng)當(dāng) x 11nn級數(shù)級數(shù))., 0)2,( 故級數(shù)的收斂域為故級數(shù)的收斂域為收斂收斂;發(fā)散發(fā)散;二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性1.1.定義定義: :形形如如nnnxxa)(00 的的級級數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級級數(shù)數(shù). .,000nnnxax 時時當(dāng)當(dāng)其中其中na為為冪級數(shù)系數(shù)冪級數(shù)系數(shù). 2.2.收斂性收斂性: :,120 xxxnn例例如如級級數(shù)數(shù);,1收收斂斂時時當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng) x);1 , 1( 收斂域收斂域);, 11,( 發(fā)發(fā)散散域域定定理理1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )如果級數(shù)如果級數(shù) 0nnnxa在在)0(0

60、0 xxx處收斂處收斂, ,則則它在滿足不等式它在滿足不等式0 xx 的一切的一切x處絕對收斂處絕對收斂; ;如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .證明證明,)1(00收斂收斂 nnnxa, 0lim0 nnnxa,M ), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,00收收斂斂等等比比級級數(shù)數(shù)nnxxM ,10時時當(dāng)當(dāng) xx,0收收斂斂 nnnxa;0收收斂斂即即級級數(shù)數(shù) nnnxa,)2(0時時發(fā)發(fā)散散假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 而而有有