高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-2課件：2.2.2 反證法

1、2 2.2 2.2 2反證法1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程,會用反證法證明數(shù)學(xué)問題.1.反證法假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這種證明方法叫做反證法.【做一做1】 應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中,要把下列哪些作為條件使用()結(jié)論的否定,即假設(shè);原命題的條件;公理、定理、定義等;原命題的結(jié)論. A. B.C.D.解析:由反證法的定義知,應(yīng)選C.答案:C2.反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,這個矛盾可以是與已知條件矛盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、定理、公

2、理、事實矛盾等.名師點撥反證法適宜證明“存在性、唯一性、帶有至少有一個或至多有一個”等字樣的一些數(shù)學(xué)問題.【做一做2】 若兩個實數(shù)之和為正數(shù),則這兩個數(shù)()A.一個是正數(shù),一個是負數(shù)B.都是正數(shù)C.至少有一個數(shù)是正數(shù)D.都是負數(shù)答案:C1.怎樣理解反證法?剖析:(1)反證法不是直接去證明結(jié)論,而是先否定結(jié)論,在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上,運用演繹推理導(dǎo)出矛盾,從而肯定結(jié)論的真實性.(2)反證法屬邏輯方法范疇,它的嚴謹性體現(xiàn)在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一個否定是指“否定結(jié)論(假設(shè))”;第二個否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”.反證法屬“間接解題方法”.2.反證法證明命題的步驟有哪些?剖析

3、:用反證法證明命題“若p,則q”的過程可以用以下框圖表示:這個過程包括下面三個步驟:(1)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)原結(jié)論的反面為真;(2)歸謬把“反設(shè)”作為條件,經(jīng)過一系列正確的推理,得出矛盾;(3)存真由矛盾斷定反設(shè)錯誤,從而肯定原結(jié)論成立.簡單概括反證法的證明過程就是“反設(shè)歸謬存真”.名師點撥用反證法證明數(shù)學(xué)命題,需要注意以下幾點:(1)反證法中的“反設(shè)”,是應(yīng)用反證法的第一步,也是關(guān)鍵一步.“反設(shè)”的結(jié)論將是下一步“歸謬”的一個已知條件.“反設(shè)”是否正確、全面,直接影響下一步的證明.做好“反設(shè)”應(yīng)明確:正確分清題設(shè)和結(jié)論;對結(jié)論實施正確的否定;對結(jié)論否定時,找出其所有情況. (2

4、)反證法的“歸謬”是反證法的核心,其含義是從命題結(jié)論的題設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個新的已知條件)及原命題的條件出發(fā),引用一系列論據(jù)進行正確推理,推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果.(3)反證法中引出矛盾的結(jié)論,推理的不是本身的錯誤,而是開始假定的“結(jié)論的反面”是錯誤的,從而肯定原結(jié)論是正確的.(4)在反證法證題的過程中,經(jīng)常畫出某些不合常理的圖形,甚至是不可能存在的圖形,這樣做的目的是為了能清楚地說明問題.在證明過程中,每一步推理所得結(jié)論的正確性,完全由它所依據(jù)的理由來保證,而不能借助圖形的直觀,這與用直接法通過圖形找到證題的途徑是完全不一樣的.(5)宜用反證法證明的題型還有:一些基

5、本命題、基本定理;易導(dǎo)出與已知矛盾的命題;“否定性”命題;“唯一性”命題;“必然性”命題;“至多”“至少”類的命題;涉及“無限”結(jié)論的命題等.題型一題型二題型三題型四用反證法證明否定性命題 題型一題型二題型三題型四反思結(jié)論為否定形式的命題的證明常用反證法,通過反設(shè)首先將否定命題轉(zhuǎn)化為肯定命題,然后用轉(zhuǎn)化后的命題作為條件進行推理,很容易推出矛盾,從而達到證題的目的.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四用反證法證明唯一性命題【例2】 求證:兩條相交直線有且只有一個交點.證明:已知:a與b是兩條相交直線.求證:a與b有且只有一個交點.證明:假設(shè)結(jié)論不正確,則有兩種

6、可能:a與b無交點,或a與b不止有一個交點.若直線a,b無交點,則ab或a,b是異面直線,與已知矛盾.若直線a,b不止有一個交點,則至少有兩個交點A和B,這樣同時經(jīng)過點A,B就有兩條直線,這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾.綜上所述,兩條相交直線有且只有一個交點.題型一題型二題型三題型四反思1.用反證法證明問題時,要注意以下三點:(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面,當結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時,必須羅列出各種可能的結(jié)論,缺少任何一種可能,反證法都是不完整的;(2)反證法必須從否定結(jié)論出發(fā)進行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進行推證,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進行

7、推理,就不是反證法;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與事實矛盾等,但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.2.注意本題反設(shè)中不能漏掉“無交點”這種情況.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】 過平面上一點A,作直線a,求證:a是唯一的.證明:假設(shè)過點A至少還有一條直線b滿足b.a,b是相交直線,a,b可以確定一個平面.設(shè)和相交于過點A的直線c.a,b,ac,bc.這樣在平面內(nèi),過點A就有兩條直線垂直于c,這與定理產(chǎn)生矛盾.故過點A垂直于平面的直線有且只有一條,即a是唯一的.題型一題型二題型三題型四用反證法證明“至少”“至多”等存在性命題【例3】 已知a,b,c是互不相等

8、的實數(shù),求證:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點.題型一題型二題型三題型四證明:假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點,由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,則2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0,(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20,即a=b=c.這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此假

9、設(shè)不成立,從而命題得證.題型一題型二題型三題型四 反思1.當命題出現(xiàn)“至多”“至少”“唯一”等形式時,適合用反證法. 2.常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下:題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】 已知a,b,cR,且x=a2-2b+2,y=b2-4c+4,z=c2-6a+9,求證:x,y,z中至少有一個大于0.證明:假設(shè)x,y,z均小于等于0,即x0,y0,z0,因此x+y+z0.而x+y+z=(a2-2b+2)+(b2-4c+4)+(c2-6a+9)=(a2-6a+9)+(b2-2b+1)+(c2-4c+4)+1=(a-3)2+(b-1)2+(c-2)2+10,這與x+y+z0相矛盾,故假設(shè)錯誤,即x,y,z中至少有一個大于0.題型一題型二題型三題型四易錯辨析易錯點:忽視反證法的證題思路致錯【例4】 已知實數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)0,用反證法證明