專題06 三角形中的角平分線問題(解析版)2022年中考數(shù)學(xué)二輪解題方法分類專項(xiàng)突破

1、專題06 三角形中的角平分線問題 【類型】一、三角形中的單角平分線問題一、單選題1已知：如圖，BD為ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EFAB，F(xiàn)為垂足下列結(jié)論：ABDEBC；BCE+BCD=180°；AD=AE；BA+BC=2BF其中正確的是（            ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)SAS證ABDEBC，可得BCEBDA，結(jié)合BCDBDC可得正確；根據(jù)角的和差以及三角形外角的性質(zhì)可得DCEDAE，即A

2、EEC，由ADEC，即可得正確；過E作EGBC于G點(diǎn)，證明RtBEGRtBEF和RtCEGRtAEF，得到BGBF和AFCG，利用線段和差即可得到正確【詳解】解：BD為ABC的角平分線，ABDCBD，在ABD和EBC中，ABDEBC（SAS），正確；BD為ABC的角平分線，BDBC，BEBA，BCDBDCBAEBEA，ABDEBC，BCEBDA，BCEBCDBDABDC180°，正確；BCEBDA，BCEBCDDCE，BDADAEBEA，BCDBEA，DCEDAE，ACE為等腰三角形，AEEC，ABDEBC，ADEC，ADAE正確；過E作EGBC于G點(diǎn)，E是ABC的角平分線BD上的點(diǎn)

3、，且EFAB，EFEG（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），在RtBEG和RtBEF中，RtBEGRtBEF（HL），BGBF，在RtCEG和RtAFE中，RtCEGRtAEF（HL），AFCG，BABCBFFABGCGBFBG2BF，正確故選D【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2如圖，中，的角平分線、相交于點(diǎn)，過作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：；四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（      

4、 ）A4B3C2D1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可【詳解】解：在ABC中，ACB=90°，CAB+ABC=90°AD、BE分別平分BAC、ABC，BAD=，ABE=BAD+ABE=APB=180°-（BAD+ABE）=135°，故正確；BPD=45°，又PFAD，F(xiàn)PB=90°+45°=135°APB=FPB又ABP=FBPBP=BPABPFBP（ASA）BAP=BFP，AB=AB，PA=PF，故正確；在APH與FPD中APH=FPD=90

5、6;PAH=BAP=BFPPA=PFAPHFPD（ASA），AH=FD，又AB=FBAB=FD+BD=AH+BD，故正確；連接HD，ED，APHFPD，ABPFBP，PH=PD，HPD=90°，HDP=DHP=45°=BPDHDEP， 故錯(cuò)誤，正確的有，故答案為：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個(gè)三角形全等3如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H給出如下幾個(gè)結(jié)

6、論：AEDDFB；S四邊形BCDG=；若AF=2DF，則BG=6GF；CG與BD一定不垂直；BGE的大小為定值其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）A4B3C2D1【答案】B【解析】【詳解】試題分析：ABCD為菱形，AB=AD，AB=BD，ABD為等邊三角形，A=BDF=60°，又AE=DF，AD=BD，AEDDFB，故本選項(xiàng)正確；BGE=BDG+DBF=BDG+GDF=60°=BCD，即BGD+BCD=180°，點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，BGC=BDC=60°，DGC=DBC=60°，BGC=DGC=60°，過點(diǎn)C作CMGB于M，CNGD于N（

7、如圖1），則CBMCDN（AAS），S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，S四邊形CMGN=2SCMG，CGM=60°，GM=CG，CM=CG，S四邊形CMGN=2SCMG=2××CG×CG=，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；過點(diǎn)F作FPAE于P點(diǎn)（如圖2），AF=2FD，F(xiàn)P：AE=DF：DA=1：3，AE=DF，AB=AD，BE=2AE，F(xiàn)P：BE=FP：AE=1：6，F(xiàn)PAE，PFBE，F(xiàn)G：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本選項(xiàng)正確；當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)（如圖3），由（1）知，ABD，BDC為等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，BDE=

8、DBG=30°，DG=BG，在GDC與BGC中，DG=BG，CG=CG，CD=CB，GDCBGC，DCG=BCG，CHBD，即CGBD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；BGE=BDG+DBF=BDG+GDF=60°，為定值，故本選項(xiàng)正確；綜上所述，正確的結(jié)論有，共3個(gè)，故選B考點(diǎn)：四邊形綜合題二、填空題4已知，ABC中，BAC120°，AD平分BAC，BDC60°，AB2，AC3，則AD的長是_【答案】5【解析】【分析】過D作，交延長線于F，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角直角三角形的性質(zhì)即可求解【詳解】過D作，交延長線于F，AD平分，在和中，在和中，平分，【點(diǎn)睛】此題考查了

9、全等三角形和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形5如圖所示，的外角的平分線CP與的平分線相交于點(diǎn)P，若，則_【答案】【解析】【分析】如圖（見解析），設(shè)，從而可得，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平角的定義即可得【詳解】如圖，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，于點(diǎn)E，設(shè)，則，是的平分線，是的平分線，同理可得：，在和中，即，又，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，利用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵6如圖，四邊形中，為上

10、一點(diǎn)，連接，若，則線段的長為_【答案】【解析】【分析】如下圖，先構(gòu)造并證明，從而得出，再根據(jù)可推導(dǎo)出，最后在RtACM中求解【詳解】解析：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，則，設(shè)，則，在中，由勾股定理得解得【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造并證明全等三角形、勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是利用進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化，得到邊7如圖，BP平分ABC，E、F分別是角兩邊上點(diǎn)，現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論知其一定能得其余結(jié)論的有；，_.【答案】由(1)、（2）、（4）可以推出其它三個(gè).【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理、HL證明直角三角形全等、AAS證明三角形全等、同角的補(bǔ)角相等即可解答.【詳解】解：由(1)可以推出其它三個(gè)；由(4)可以推出其它

11、三個(gè)；由(2)可以推出其它三個(gè).如圖：過點(diǎn)P作PMAB于點(diǎn)M. （一）增加條件時(shí)：，PFC+BFP=180°，BEP+BFP=180°，BEP=PFC，即成立，BEP+PEM=180°，DFP=MEP，BP平分ABC，PMABPD=PM，又PME=PDF=90°，RtPMERtPDF，ME=DF，即成立，BP=BP，RtPMBRtPDB(HL)，BM=BD， BD=BF-DF，BM=BE+EM，ME=DF，2BD=BD+BM=( BF-DF)+( BE+EM)= BF-DF+ BE+EM= BF+ BE，即，故正確.（二）增加條件時(shí)，BP平分ABC，PM

12、ABPD=PM，又PMB=PDB=90°，BP=BPRtPMBRtPDB，BM=BD，BD=BF-DF，BM=BE+EM，2BD= BF+BE，BD+ BM=2BD，即BF-DF+ BE+EM= BF+BEME=DF，同（一）方法即可證明RtPMERtPDF，從而證得、正確；(三)添加條件 時(shí)，方法同（一）中即可證明RtPMERtPDF，從而證得其它結(jié)論正確；（四）如果添加，當(dāng)點(diǎn)F在下圖F的位置時(shí)，其它三項(xiàng)不正確.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查角平分線的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的證明方法.三、解答題8已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分ABC，A+C180

13、76;，BCBA求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上【答案】見解析【解析】【分析】在BC上截取BEBA，連接DE，證明ABDBED，可得出CDEC，則DEDC，從而得出ADCD即可證明【詳解】證：如圖，在BC上截取BEBA，連接DE， BDBD，ABDCBD，BADBED，ADEB，ADDE，A+C180°，BED+DEC180°，CDEC，DEDC，ADCD，點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定等，學(xué)會(huì)做輔助線找出全等三角形是解題的關(guān)鍵9如圖，ABC中，ACBC，ACB90°，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作

14、BEAD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由【答案】（1）BEAD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析【解析】【分析】（1）延長BE、AC交于點(diǎn)H，先證明BAEHAE，得BEHEBH，再證明BCHACD，得BHAD，則BEAD；（2）先證明CF垂直平分AB，則AGBG，再證明CABCBA45°，則GABGBA22.5°，于是EGBGAB+GBA45°，可證明BEG是等腰直角三角形【詳解】證：（1）BEAD，理由如下：如圖，延長BE、AC交

15、于點(diǎn)H，BEAD，AEBAEH90°，AD平分BAC，BAEHAE，在BAE和HAE中，BAEHAE（ASA），BEHEBH，ACB90°，BCH180°ACB90°ACD，CBH90°HCAD，在BCH和ACD中，BCHACD（ASA），BHAD，BEAD（2）BEG是等腰直角三角形，理由如下：ACBC，AFBF，CFAB，AGBG，GABGBA，ACBC，ACB90°，CABCBA45°，GABCAB22.5°，GABGBA22.5°，EGBGAB+GBA45°，BEG90°，EB

16、GEGB45°，EGEB，BEG是等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵10在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F（1）求證：；（2）已知如圖1，若，求CE的長；如圖2，若，求的大小【答案】（1）證明見解析；（2）2.5；（3）100°【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，（2）在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，構(gòu)造（SAS），再證明，即可得，由此求出答案；（3）延長BA到P，使AP=FC，

17、構(gòu)造（SAS），得PC=BC，再由三角形內(nèi)角和可求，進(jìn)而可得【詳解】解：（1）、分別是與的角平分線，（2）如解（2）圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，由（1）得，在與中， ，（SAS）， ，在與中，；，（3）如解（3）圖，延長BA到P，使AP=FC，在與中， ，（SAS），又，又，【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵11如圖，在ABC中，C90°，AD是BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，過D作DEBA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BDDF（1）求證：ACAE；（2）若AB7.4，AF1.4，求線段BE的長【答案】（1

18、）見解析；（2）3【解析】【分析】（1）證明ACDAED（AAS），即可得出結(jié)論；（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，證FADMAD（SAS），得FD=MD，ADF=ADM，再證RtMDERtBDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解【詳解】解：（1）證明：AD平分BAC，DAC=DAE，DEBA，DEA=DEB=90°，C=90°，C=DEA=90°，在ACD和AED中，ACDAED（AAS），AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，在FAD和MAD中，F(xiàn)ADMAD（SAS），F(xiàn)D=MD，ADF=ADM，BD=DF，BD=M

19、D，在RtMDE和RtBDE中，RtMDERtBDE（HL），ME=BE，AF=AM，且AF=1.4，AM=1.4，AB=7.4，MB=AB-AM=7.4-1.4=6，BEBM3，即BE的長為3【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線定義、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識；證明FADMAD和RtMDERtBDE是解題的關(guān)鍵12（1）如圖1，射線OP平分MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OAOB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD求證：ADBD（2）如圖2，在RtABC中，ACB90°，A60°，CD平分ACB，求證：BCAC+AD（3

20、）如圖3，在四邊形ABDE中，AB9，DE1，BD6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分BAE，EC平分AED，ACE120°，求AE的值【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13【解析】【分析】（1）由題意易得AOD=BOD，然后易證AODBOD，進(jìn)而問題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得ACD=ECD，B=30°，則有ACDECD，然后可得A=CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得EDB=B=30°，然后可得DE=BE，進(jìn)而問題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證ABCAF

21、C，CDECGE，則有ACB=ACF，DCE=GCE，然后可得ACF+GCE=60°，進(jìn)而可得CFG是等邊三角形，最后問題可求解【詳解】證明：（1）射線OP平分MON，AOD=BOD，OD=OD，OAOB，AODBOD（SAS），ADBD（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：ACB90°，A60°，CD平分ACB，ACD=ECD，B=30°，CD=CD，ACDECD（SAS），A=CED=60°，AD=DE，B+EDB=CED，EDB=B=30°，DE=BE，AD=BE，BC=CE+BE，BCAC+AD（3）在AE上分別截

22、取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：ABCAFC，CDECGE，ACB=ACF，DCE=GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，C為BD邊中點(diǎn)，BC=CD=CF=CG=3，ACE120°，ACB+DCE=60°，ACF+GCE=60°，F(xiàn)CG=60°，CFG是等邊三角形，F(xiàn)G=CF=CG=3，AE=AF+FG+GE=9+3+1=13【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等13如圖，已知B（-1，0）

23、，C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且BDC=BAC（1）求證：ABD=ACD；（2）求證：AD平分CDE；（3）若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DC=DA+DB，在此過程中，BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出BAC的度數(shù)【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，60°【解析】【分析】（1）根據(jù)BDCBAC，DFBAFC，再結(jié)合ABDBDCDFBBACACDAFC180°，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AMCD于點(diǎn)M，作ANBE于點(diǎn)N運(yùn)用“AAS”證明ACMABN得AMAN根據(jù)“到角的兩邊

24、距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”得證；（3）運(yùn)用截長法在CD上截取CPBD，連接AP證明ACPABD得ADP為等邊三角形，從而求BAC的度數(shù)【詳解】（1）證明：BDCBAC，DFBAFC，又ABDBDCDFBBACACDAFC180°，ABDACD；（2）過點(diǎn)A作AMCD于點(diǎn)M，作ANBE于點(diǎn)N則AMCANB90°，OBOC，OABC，ABAC，ABDACD，ACMABN （AAS），AMAN，AD平分CDE（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）；（3）BAC的度數(shù)不變化在CD上截取CPBD，連接APCDADBD，ADPD，ABAC，ABDACD，BDCP，ABDACP，AD

25、AP，BADCAP，ADAPPD，即ADP是等邊三角形，DAP60°，BACBAPCAPBAPBAD60°【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用了角平分線的判定定理和“截長補(bǔ)短”的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性較強(qiáng)14在ABC中，AD為ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，連接AE，若E48°，AEADDC，則ABC的度數(shù)為 （2）如圖2，ACAB，點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明（3）連接AE，若DAE90°，BAC24°，且滿足AB+ACEC，請求出ACB的度數(shù)（

26、要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）【答案】（1）；（2），見解析；（3）44°或104°；詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，由此即可解題；（2）在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB，構(gòu)造，根據(jù)即可得出答案；（3）畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)E的位置分四種情況，當(dāng)點(diǎn)E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，可得，設(shè)，則；根據(jù)BAC24°，AD為ABC的角平分線，可得，可證（SAS），得出，利用還有 ，列方程；當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，EAD90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，EAD90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上，

27、延長CA到G，使AG=AB， 可得，得出，設(shè)，則；BAC24°，根據(jù)AD為ABC的角平分線，得出，證明（SAS），得出，利用三角形內(nèi)角和列方程，解方程即可【詳解】解：（1）AEADDC，AD為ABC的角平分線，即，；（2）如圖2，在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB，連接MP，在和中， ，（SAS），；（3）如圖，點(diǎn)E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，AB+ACEC，AG+ACEC，即，設(shè)，則；又BAC24°，AD為ABC的角平分線，又，在和中， ，（SAS），又，解得：，；當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，EAD90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，EAD90°，

28、不成立；如圖，點(diǎn)E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，AB+ACEC，AG+ACEC，即，設(shè)，則；又BAC24°，AD為ABC的角平分線，又，在和中， ，（SAS），解得：，ACB的度數(shù)為44°或104°【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解一元一次方程，根據(jù)角平分線模型構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵15已知ABC中，ABAC，A108°，BD平分ABC，求證：BCAC+CD【答案】見解析【解析】【分析】在線段BC上截取BEBA，連接DE則只需證明CDCE即可結(jié)合角度證明

29、CDECED【詳解】證明：在線段BC上截取BEBA，連接DEBD平分ABC，ABDEBDABC在ABD和EBD中，ABDEBD（SAS）BEDA108°，ADBEDB又ABAC，A108°，ACBABC（180°108°）36°，ABDEBD18°ADBEDB180°18°108°54°CDE180°ADBEDB180°54°54°72°DEC180°DEB180°108°72°CDEDECCDCEBCBE

30、ECABCD【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵16如圖，在ABC中，ABAC，ABC40°，BD是ABC的平分線，延長BD至E，使DEAD，求證：ECA40°【答案】見解析【解析】【分析】在BC上截取BFAB，連DF，根據(jù)SAS可證明ABDFBD，得出DFDADE，證明DCEDCF，故ECADCB40°【詳解】證明：在BC上截取BFAB，連DF，BD是ABC的平分線，ABDFBD，在ABD和BD中，ABDFBD（SAS），DFDADE，又ACBABC40°，DFC180°A80°，F(xiàn)D

31、C60°，EDCADB180°ABDA180°20°100°60°，在DCE和DCF中，DCEDCF（SAS），ECADCB40°【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵17四邊形中，連接（1）如圖1，若平分，求證：（2）如圖2，若，求證：（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，求的長度【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件HL證明，繼而可得，根據(jù)平角的定義以及

32、等量代換即可證明；（2）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三線合一，可得，進(jìn)而可得，根據(jù)角平分線的判定定理可推出，進(jìn)而即可證明；（3）先證明四邊形是矩形，證明，進(jìn)而證明四邊形是正方形，設(shè)，根據(jù)（2）的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得，進(jìn)而在中，勾股定理即可求得的長【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，平分，在與中（HL）即（2）如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，即（3）如圖，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，四邊形是矩形在與中，四邊形是正方形設(shè)在中在中，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等

33、的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵【類型】二、三角形中的雙角平分線問題一、單選題1如圖所示，在中，的平分線相交于點(diǎn)F，若且ABC=42°，則等于（       ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由ABC=42°，A=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可得ACB的度數(shù)，又因?yàn)锳BC、ACB的平分線分別為BE、CD，所以可以求得FBC和FCB的度數(shù)，從而求得BFC的度數(shù)【詳解】解：又ABC

34、、ACB的平分線分別為BE、CD， 又故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和和角平分線的相關(guān)知識，關(guān)鍵是可以根據(jù)題目中的信息，靈活變化求出相應(yīng)問題的答案2如圖，在ABC中，ABC和ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，設(shè)A=m，則BOC =（ ）ABCD【答案】B【解析】【詳解】試題分析：如圖， ABC和ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，1=180°-23，2=180°-24，1+2=180°-23+180°-24，根據(jù)圖形可得：A=180°-1-2=m，1+2=180°-m，180°-23+180°-24=180°-m，

35、2（3+4）=180°+m，3+4=，又在BOC中，BOC=180°-（3+4），BOC=180°- =，故選B考點(diǎn)：三角形的角的平分線、三角形內(nèi)角和3如圖，在ABC中，AD是高，AE是角平分線，CB， 則下列能正確表示EAD B、C之間的關(guān)系的是（）：AEAD=（C +B）BEAD=（C-B）CEAD=90°-C +B）DEAD=180°-（C +B）【答案】B【解析】【詳解】試題分析：ADBC，C=90°-CAD，B=90°-BAD，又AE是角平分線CAD=BAC-EAD ，BAD=BAC+EADC-B=2EADEAD=

36、（C -B）考點(diǎn)：三角形的性質(zhì)點(diǎn)評：本題難度中等，主要考查學(xué)生對直角三角形及角平分線的學(xué)習(xí)需要對所求角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化4如圖，的角平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)（       ）ABCD【答案】A【解析】【分析】法一：延長PC交BD于E，設(shè)AC、PB交于F，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到AABFAFBPPCFPFC180°推出PPCFAABF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到PPBEPED，推出PPBEPCDD，根據(jù)PB、PC是角平分線得到PCFPCD，ABFPBE，推出2PAD，代入即可求出P法二：延長DC，與AB交于點(diǎn)E設(shè)AC與B

37、P相交于O，則AOBPOC，可得PACDAABD，代入計(jì)算即可【詳解】解：法一：延長PC交BD于E，設(shè)AC、PB交于F，AABFAFBPPCFPFC180°，AFBPFC，PPCFAABF，PPBEPED，PEDPCDD，PPBEPCDD，2PPCFPBEADABFPCD，PB、PC是角平分線PCFPCD，ABFPBE，2PADA48°，D10°，P19°法二：延長DC，與AB交于點(diǎn)EACD是ACE的外角，A48°，ACDAAEC48°AECAEC是BDE的外角，AECABDDABD10°，ACD48°AEC48&

38、#176;ABD10°，整理得ACDABD58°設(shè)AC與BP相交于O，則AOBPOC，PACDAABD，即P48°（ACDABD）19°故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查對三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵5如圖，平分，平分，與交于點(diǎn)，若，則（       ）A80°B75°C60°D45°【答案】C【解析】【分析】連接先求解 再求解 可得 再利用角平分線的

39、定義可得： 從而可得： 再利用三角形的內(nèi)角和定理可得的大小.【詳解】解：連接 平分，平分， 故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理求解與之相關(guān)的角的大小是解題的關(guān)鍵.6如圖，中，與的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，那么下列結(jié)論：和都是等腰三角形；若，則其中正確的有（   ）個(gè)A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系即可求解【詳解】解：BF是ABC的角平分線，CF是ACB的角平分線，ABF=CBF，ACF=BCF，DEBC，CBF=BFD，BCF=

40、EFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），ABF=BFD，ACF=EFC，DB=DF，EF=EC，BDF和CEF都是等腰三角形，選項(xiàng)正確，符合題意；DE=DF+FE，DB=DF，EF=EC，DE=DB+CE，選項(xiàng)正確，符合題意；根據(jù)題意不能得出BFCF，選項(xiàng)不正確，不符合題意；若A=80°，ABC+ACB=180°-A=180°-80°=100°，ABF=CBF，ACF=BCF，CBF+BCF=×100°=50°，BFC=180°-CBF-BCF=180°-50°=130°，選項(xiàng)正確

41、，符合題意；故正確故選C【點(diǎn)睛】等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系，解題關(guān)鍵是逐個(gè)判斷選項(xiàng)即可得出正確答案7如圖，ABC中，E=18°，BE平分ABC，CE平分ACD，則A等于（ ）A36°B30°C20°D18°【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得ACD=A+ABC，ECD=E+EBC；由角平分線的性質(zhì)，得ECD=（A+ABC），EBC=ABC，利用等量代換，即可求得A與E的關(guān)系，即可得到結(jié)論證明：ACD=A+ABC，ECD=（A+ABC）又ECD=E+EBC，E+EBC=

42、（A+ABC）BE平分ABC，EBC=ABC，ABC+E=（A+ABC），E=A=18°，A=36°故選A考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理8如圖，已知ABC，O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接OB、OC，將ABO、ACO分別記為1、2，則1、2、A、O四個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系是（     ）A1+0=A+2B1+2+A+O=180°C1+2+A+O=360°D1+2+A=O【答案】D【解析】【詳解】試題分析：連接AO并延長，交BC于點(diǎn)D，BOD是AOB的外角，COD是AOC的外角，BOD=BAD+1，COD=CAD+2，+得，B

43、OC=（BAD+CAD）+1+2，即BOC=BAC+1+2故選D考點(diǎn)：1三角形的外角性質(zhì)；2三角形內(nèi)角和定理9如圖，BA1和CA1分別是ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是A1BD的角平分線CA2是A1CD的角平分線，BA3是A2BD的角平分線，CA3是A2CD的角平分線，若A1=，則A2013為（ ）ABCD【答案】D【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)角平分線的定義可得A1BC=ABC，A1CD=ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得ACD=A+ABC，A1CD=A1BC+A1，整理即可得解，同理求出A2，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解解：A1B是

44、ABC的平分線，A1C是ACD的平分線，A1BC=ABC，A1CD=ACD，又ACD=A+ABC，A1CD=A1BC+A1，（A+ABC）=ABC+A1，A1=A，A1=同理理可得A2=A1=則A2013=故選D點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)然后推出后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半是解題的關(guān)鍵10如圖：PC、PB是ACB、ABC的平分線，A=40º，BPC=（   ）ABPC=70ºBBPC=140ºCBPC=110ºDBPC=40º【答案】C【解析】【詳解

45、】試題分析：在中，A=40º，則；因?yàn)镻C、PB是ACB、ABC的平分線，所以，所以= ，在中，BPC=，選C考點(diǎn)：平分線點(diǎn)評：本題考查平分線，解答本題的重點(diǎn)是掌握平分線的概念和性質(zhì)，熟悉三角形內(nèi)角和定理，本題難度一般二、填空題11如圖，在ABC中，ABC和ACB的角平分線交于點(diǎn)O，延長BO與ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，若BOC130°，則D_【答案】40°【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論【詳解】解：ABC和ACB的角平分線交于點(diǎn)O，ACO=ACB，CD平分ACE，ACD=ACE，ACB+ACE=180°，OCD=ACO

46、+ACD=（ACB+ACE）=×180°=90°，BOC130°，D=BOC-OCD=130°-90°=40°，故答案為：40°【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和概念正確推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵12如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)，得，和的平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，則_（用表示）【答案】【解析】【分析】利用角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，易證A1=A，由于A1=A，A2=A1=A，以此類推可知A2020即可求得【詳解】A1B平分ABC，A1C平分ACD，A1BC=ABC，A1C

47、A=ACD，A1CD=A1+A1BC，即ACD=A1+ABC，A1=（ACD-ABC），A+ABC=ACD，A=ACD-ABC，A1=A，以此類推A2=A1=A=A,A3=A2=A=A，所以An=，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出An=.13如圖，已知的兩條高、交于點(diǎn)，的平分線與外角的平分線交于點(diǎn)，若，則_【答案】36【解析】【分析】首先根據(jù)三角形的外交性質(zhì)求出，結(jié)合三角形的高的知識得到和之間的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果；【詳解】由圖知：，是的角平分線，是的角平分線，即，的兩條高、交于點(diǎn)，在四邊形中有：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和與

48、外角性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵14ACD是的外角，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)An 設(shè)A則_，A2021_【答案】          【解析】【分析】據(jù)角平分線的定義可得A1BC=ABC，A1CD=ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得ACD=A+ABC，A1CD=A1BC+A1，整理即可求出A1的度數(shù)，同理求出A2，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解【詳解】解：A1B是ABC的平分線，A1C是ACD的平分線，A1BC=AB

49、C，A1CD=ACD，又ACD=A+ABC，A1CD=A1BC+A1，（A+ABC）=ABC+A1，A1=A，A=，A1=，同理可得：An=，A2021=，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的是解題的關(guān)鍵15如圖，在中，如果與的平分線交于點(diǎn)，那么_ 度【答案】125【解析】【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進(jìn)而可求的度數(shù)，最后再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案【詳解】 ， BD平分，CD平分 ，故答案為：125【點(diǎn)睛】本題主要考查與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問

50、題，掌握角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵16如圖，ABC中，分別延長ABC的邊AB、AC到D、E，CBD與BCE的平分線相交于點(diǎn)P，愛動(dòng)腦筋的小明在寫作業(yè)的時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：(1)若A60°，則P °；(2)若A40°，則P °；(3)若A100°，則P °；(4)請你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納A與P的關(guān)系 【答案】(1)65；(2)45；(3)40； (4)P=90°-A，理由見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）若A=50°，則有ABC+ACB=130°，DBC+BCE=360°-130°=230°，根據(jù)角平分線的定義可以求得PBC+PCB的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得P的度數(shù)；（2）、