排列與排列數(shù)公式教學(xué)設(shè)計(jì)熊慶林

1、排列與排列數(shù)公式（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)重慶育才中學(xué) 熊慶林1 教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課是人教版A版數(shù)學(xué)選修2-3第一章第2節(jié)的第一節(jié)課，排列是一類特殊而重要的計(jì)數(shù)問題，教科書從簡化運(yùn)算的角度提出了排列的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過具體實(shí)例概括而得出排列的概念，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理得出排列數(shù)公式，對(duì)于排列，有兩個(gè)想法貫穿始終，一是根據(jù)一類問題的特點(diǎn)和規(guī)律尋找簡便的計(jì)數(shù)方法，就像乘法作為加法的簡便運(yùn)算一樣；二是注意應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理思考和解決問題。本節(jié)課具有承上啟下的地位，理解排列的概念是應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式的前提，對(duì)具體的排列問題的分析又為排列數(shù)公式提供了基礎(chǔ)。排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程是分布計(jì)數(shù)原理的一個(gè)重要應(yīng)用，同

2、時(shí)，排列數(shù)公式又是推導(dǎo)組合數(shù)公式的主要依據(jù)。基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)課只是對(duì)排列和排列數(shù)公式的初步認(rèn)識(shí)，在后面知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，逐步加深理解和靈活運(yùn)用。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是排列的概念、排列數(shù)公式，教學(xué)難點(diǎn)是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本節(jié)課結(jié)合教科書的編排，采取了由特殊到一般的歸納思想來建構(gòu)概念的理解過程，通過引導(dǎo)學(xué)生分析三個(gè)典型事例，從中歸納出共同特征，再進(jìn)一步概括出本質(zhì)特征，得出排列的定義，再跟進(jìn)10個(gè)具體事例多角度加深對(duì)概念的理解，并多次強(qiáng)調(diào)一個(gè)排列的特點(diǎn)，n個(gè)不同的元素，取出m個(gè)元素，元素的順序，奠定學(xué)生對(duì)排列定義的理解基礎(chǔ)，為后面組合概念的提出埋下伏筆。同時(shí)通過有規(guī)律的展示分

3、步計(jì)數(shù)原理得到的一長串排列數(shù)，為后面水到渠成得到排列數(shù)公式作好鋪墊，排列數(shù)公式的簡單應(yīng)用體現(xiàn)了排列簡化步驟的優(yōu)點(diǎn)，讓學(xué)生直觀感受學(xué)習(xí)排列的必要。二教學(xué)目標(biāo)設(shè)置  1.通過幾個(gè)具體實(shí)例歸納概括出排列的概念，并能運(yùn)用排列的判斷具體的的計(jì)數(shù)問題是否為排列問題；能利用分步計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，能簡化分步計(jì)數(shù)原理解決問題的步驟。在排列數(shù)符號(hào)及其公式的產(chǎn)生過程中體現(xiàn)簡化的思想。學(xué)生學(xué)習(xí)后能夠?qū)ε帕谢蚍桥帕袉栴}作出準(zhǔn)確的判斷，能夠分析原因，能夠簡單應(yīng)用排列數(shù)公式。2.在教學(xué)過程中，通過排列的概念、排列數(shù)公式的得到培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力，以及解決與計(jì)數(shù)有關(guān)的問題時(shí)主動(dòng)聯(lián)系排列相關(guān)知識(shí)

4、的能力，體會(huì)排列知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。3.讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過對(duì)各種事情現(xiàn)象、本質(zhì)的分析，得出一般的規(guī)律，通過由簡到繁的著色問題、由繁到簡的數(shù)學(xué)符號(hào)的引入過程體會(huì)豐富的數(shù)學(xué)文化.三學(xué)生學(xué)情分析 學(xué)生對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理已很好的掌握，但凡計(jì)數(shù)的問題能夠往分類或分步的方向進(jìn)行思考，學(xué)生的層次決定了學(xué)生有較強(qiáng)的理解、分析、解決問題的能力，有著大量的生活中諸如設(shè)置密碼、車牌號(hào)、排隊(duì)、參加活動(dòng)、接力賽.與計(jì)數(shù)問題有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)中歸納化歸、有特殊到一般的思想方法比較敏感，但抽象概括的能力較弱，排列概念的得到，要獨(dú)立將顏色、數(shù)字、人抽象為元素，對(duì)著色的方案抽象出順序有一定的困難，需在獨(dú)立思

5、考加協(xié)作討論的基礎(chǔ)上再由老師引導(dǎo)突破教學(xué)難點(diǎn)。四教學(xué)策略分析 在本節(jié)課的教學(xué)過程中將數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)知識(shí)、實(shí)際生活有機(jī)的融合，讓抽象的數(shù)學(xué)概念形成的過程豐富多元，避免單調(diào)枯燥。 針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平，為培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，本節(jié)課采取導(dǎo)學(xué)案和PPT相結(jié)合的方式組織教學(xué)，為讓學(xué)生充分體驗(yàn)概念形成的過程，通過三個(gè)例子高度抽象概括出排列的定義，刻意在學(xué)案上不出現(xiàn)排列的定義，也讓學(xué)生避開教材以免學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不夠深刻。 本節(jié)課排列定義的得出比較抽象，需要引導(dǎo)學(xué)生逐一抽象概括尋找共同點(diǎn)，教學(xué)過程采取學(xué)生獨(dú)立思考、相互討論、老師以問題串引導(dǎo)的方式突破難點(diǎn)，緊接著通過大量例子加深對(duì)概念的理解，對(duì)于概念理解不

6、夠深刻的同學(xué)也通過同學(xué)的辨析對(duì)概念有了深刻的認(rèn)識(shí)。排列數(shù)符號(hào)的得出通過引導(dǎo)學(xué)生類比小學(xué)乘號(hào)的得來，自然而然需要引入排列數(shù)符號(hào)簡化有規(guī)律的運(yùn)算。學(xué)生的認(rèn)知水平?jīng)Q定了排列數(shù)公式的推導(dǎo)完全可由學(xué)生獨(dú)立總結(jié)，老師只需適當(dāng)補(bǔ)充說明，公式的簡單應(yīng)用讓學(xué)生在獨(dú)立思考的過程中，體會(huì)排列如何簡化分步計(jì)數(shù)原理繁瑣的步驟，體現(xiàn)其優(yōu)越性。在教學(xué)中，讓學(xué)生在問題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，通過觀察、歸納、思考、探索、交流、反思參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，發(fā)展能力。5 教學(xué)過程 （一）問題引入 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號(hào)碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法

7、，每一個(gè)汽車牌照都必須有3個(gè)不重復(fù)的英文字母和3個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，3個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，字母在前，數(shù)字在后，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？開門見山給出學(xué)習(xí)本節(jié)課的目的，對(duì)于這個(gè)前面已經(jīng)利用分步計(jì)數(shù)原理解決的計(jì)數(shù)問題，解題步驟機(jī)械重復(fù)，能否改進(jìn)和簡化？為了解決這一類問題，進(jìn)入今天研究的課題。（二）鋪墊從生活中三個(gè)簡單常見的計(jì)數(shù)問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生探究的興趣。 問題一：從紅、黃、藍(lán)三種顏色中選出兩種給地圖上的重慶市和四川省上色，有多少種不同的著色方案？ 問題二：從1、2、3、4這四個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，一共可以得到多少個(gè)不同的三

8、位數(shù)？問題三：6名同學(xué)站成一排照相，有多少種不同的排法？第一個(gè)問題以重慶直轄，地圖上要用不同的顏色將川渝兩地加以區(qū)分作為背景，讓學(xué)生了解顏色區(qū)分地圖的背后，蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和文化，既為抽象概括排列定義，也為最后回到著色問題埋下伏筆。第二個(gè)問題排數(shù)問題來自教材，既為抽象概括排列定義，也為后面探究二中順利加大排數(shù)問題的難度作好的鋪墊。第三個(gè)排隊(duì)問題，排隊(duì)照片為本班六名同學(xué)，激發(fā)學(xué)生對(duì)問題本身感興趣的同時(shí)，能深入挖掘問題的本質(zhì)屬性，也為后面全排列概念的順理成章的得出及課后探究中有條件的排隊(duì)作好鋪墊！【教師提問1】：你能利用前面所學(xué)計(jì)數(shù)原理的知識(shí)解決問題嗎？ 【學(xué)生探究1】：鞏固復(fù)習(xí)分步計(jì)數(shù)原理（

9、可借助框圖直觀表示），同時(shí)會(huì)用列舉法或樹形圖把結(jié)果一一列出。 （三）特點(diǎn)探尋 歸納提煉【教師提問2】：這三個(gè)問題有哪些共同特征？【學(xué)生探究2】：引導(dǎo)學(xué)生得出都是分步計(jì)數(shù)問題，運(yùn)算有規(guī)律，都是從若干個(gè)不同元素選出元素，選出的對(duì)象都要排序，順序不同方案不同。難點(diǎn)突破：引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)問題的事情本身出發(fā)，將顏色、數(shù)字、同學(xué)抽象為元素，元素順序不同結(jié)果就不一樣。 （四）探究歸納，形成概念 排列：從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列（Arrangement），這樣的所有排列的個(gè)數(shù)叫排列數(shù)?！窘處熖釂?】：這三個(gè)問題有無不同點(diǎn)？【學(xué)生探究3

10、】：學(xué)生探究得出全排列、選排列的定義。 （五）概念辨析，引出排列數(shù)符號(hào) 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)排列定義的再理解，讓學(xué)生歸納出值得注意的關(guān)鍵詞：（1）n個(gè)不同的元素；（2）取出m（mn）個(gè)元素 ；(3)一定的順序。 對(duì)排列定義的鞏固，判定下面問題哪些是排列問題，如果是排列數(shù)是多少？（1） 從四個(gè)男生中，任選兩名同學(xué)組成一隊(duì)參加年級(jí)乒乓球男雙比賽；（2） 從四位男同學(xué)中，任選兩位同學(xué)分別參加上下午的活動(dòng)；（3） 從0-9這9個(gè)數(shù)字中，任選4個(gè)不同的數(shù)字（可重復(fù)）作為手機(jī)的密碼；（4） 從8名同學(xué)中選4人參加4100米接力賽；（5） 圓上10個(gè)不同點(diǎn)，過每2個(gè)點(diǎn)，畫一條弦；（6） 圓上10個(gè)不同點(diǎn)，以其中每2個(gè)

11、點(diǎn)作有向線段；（7） 1、3、5、7、11這5個(gè)質(zhì)數(shù)任選兩個(gè)相乘；（8） 1、3、5、7、11這5個(gè)質(zhì)數(shù)任選兩個(gè)相除；（9） 一個(gè)學(xué)生有20本不同的書，這些書以不同的方式排在一個(gè)單層的書架上； (10) 53位同學(xué)隨機(jī)選8位派往8個(gè)不同的地方參加活動(dòng)，每個(gè)地方派一人.學(xué)生爭論辨析判定后再追問，其中的排列問題各有多少個(gè)不同的排列？類比問題一、二、三用分步計(jì)數(shù)原理解決問題，分別得到：【教師提問4】：結(jié)合前面的三個(gè)問題，這些排列數(shù)有哪些共同特征？【學(xué)生探究4】：學(xué)生找出規(guī)律的同時(shí)，指出書寫繁瑣的共同點(diǎn)，類比小學(xué)引入乘號(hào)簡化加法運(yùn)算，自然引入數(shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)比運(yùn)算符號(hào)更簡潔，從而體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符合的簡潔美，隨

12、之簡單介紹排列數(shù)符號(hào)的發(fā)明者法國數(shù)學(xué)家范德蒙德，體現(xiàn)數(shù)學(xué)豐厚的文化背景。（六）揭示規(guī)律，導(dǎo)出公式【教師提問5】：，表示什么？等于多少，繼續(xù)追問更為一般的表示什么？等于多少？【學(xué)生探究5】：學(xué)生獨(dú)立思考分析解決并展示。且.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式的理解：（1）從n開始依次遞減連續(xù)m個(gè)正整數(shù)的積；（2）m、n都是正整數(shù)且；（3）符號(hào)既表示一個(gè)結(jié)果，又表示一種運(yùn)算。這樣，一個(gè)問題若是排列問題，就可用上式求出具體的排列個(gè)數(shù)。（簡化了運(yùn)算過程）說明特殊情況。簡單記為，讀作n的階乘，強(qiáng)調(diào)這個(gè)符號(hào)更為簡潔的同時(shí)，順提階乘符號(hào)的發(fā)明者法國數(shù)學(xué)家基斯頓.卡曼。（七）公式應(yīng)用，突出優(yōu)越性探究二： 從0-9這10個(gè)數(shù)字中，可

13、以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)多角度對(duì)問題進(jìn)行思考，對(duì)比分步計(jì)數(shù)原理的解題方法，突現(xiàn)排列優(yōu)化步驟的特點(diǎn)，并進(jìn)一步跟進(jìn)對(duì)引例步驟的優(yōu)化： 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號(hào)碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有3個(gè)不重復(fù)的英文字母和3個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，3個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，字母在前，數(shù)字在后，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？學(xué)生獨(dú)立思考并完成優(yōu)化6個(gè)步驟簡化為2個(gè)步驟，再次讓學(xué)生體會(huì)排列的優(yōu)越性。（八）強(qiáng)化公式，跟進(jìn)新公式學(xué)生計(jì)算排列數(shù)（1）【教師提問6】：學(xué)生給出答案后問，有何數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)？【學(xué)生探究6】：猜測出一般的結(jié)論,根據(jù)課堂時(shí)間讓學(xué)生嘗試證明，讓學(xué)生展示并點(diǎn)評(píng)，否則作為課后作業(yè)，順便說明公式中如果時(shí)，,故規(guī)定.（九）小結(jié)1. 本節(jié)課我們學(xué)到了哪些基本概念和公式？2. 研究過程中體會(huì)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？3. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)有哪些收