幾何中的最值問題專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計優(yōu)選

1、幾何中最值問題專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計教材分析：幾何中的最值問題變幻無窮，教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)雜條件變化中發(fā)現(xiàn)解決問題的路徑，核心問題是訓(xùn)練學(xué)生在題目中尋找不變的已知元素，從這些已知的不變元素，運用“兩點間線段最短”、“垂線段最短”、“點的運動軌跡”“二次函數(shù)最值”等知識源，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與解決.教學(xué)目標(biāo)：知識溯源，從知識轉(zhuǎn)化角度，借助中考真題的講解，引導(dǎo)學(xué)生掌握處理最值問題的基本知識源（見教學(xué)設(shè)計中的標(biāo)題），明確解決最值問題的思考方向。重點知識與命題特點最值連續(xù)多年廣泛出現(xiàn)于中考試題中，由冷點變?yōu)闊狳c，求相關(guān)線段、線段之和差、面積等最大與最小值.此類問題涉及的知識要點有以下方面：兩點間線段最短；垂

2、線段最短；三角形的三邊關(guān)系；定圓中的所有弦中，直徑最長；圓外一點與圓的最近點、最遠(yuǎn)點.借助轉(zhuǎn)化為代數(shù)思想：一次函數(shù)反比例函數(shù)增減性、二次函數(shù)的最值問題.命題特點側(cè)重于在動態(tài)環(huán)境下對多個知識點的綜合考查.核心思想方法由于這類問題目標(biāo)不明確，具有很強的探索性，解題時需要運用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、模型思想、特殊與一般相結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想和化歸思想、分類討論思想、函數(shù)和方程思想、從變化中尋找不變性的數(shù)學(xué)思想方法、邏輯推理與合情猜想相結(jié)合等思想方法.解這類試題關(guān)鍵是要結(jié)合題意，借助相關(guān)的概念、圖形的性質(zhì)，將最值問題化歸與轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析與突破。教學(xué)過程一、問題導(dǎo)入我們所學(xué)的知識體系中，有哪些與最大

3、值或最小值有關(guān)聯(lián)的知識？兩點間線段最短；垂線段最短；三角形的三邊關(guān)系；定圓中的所有弦中，直徑最長；圓外一點與圓的最近點、最遠(yuǎn)點.借助轉(zhuǎn)化為代數(shù)思想：一次函數(shù)反比例函數(shù)增減性、二次函數(shù)的最值問題.師：我們把這些知識點稱為求幾何中最值的知識源.二、真題講解真題示例11. （2016福建龍巖）如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1,AF=2,若P為對角線BD上一動點，則EP+FP的最小值為（）旦/戈、A.1B.2C.3D.4【題型特征】利用軸對稱求最短路線問題IC【示范解讀】此類利用軸對稱求最短路線問題一般都以軸對稱圖形為題設(shè)背景，如圓、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐標(biāo)系等.首先根據(jù)題意畫

4、出草圖，利用軸對稱性找出對應(yīng)線段之間的相等關(guān)系，從而把所求線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，畫出取最小值時特殊位置，兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的是“小河”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）.三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題關(guān)鍵是指出兩條對稱軸”反射鏡面”（如圖2）,結(jié)合其他相關(guān)知識加以解決.草地真題示例2（2016四川內(nèi)江）如圖1所示，已知點C（1,0）,直線y=x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點，D,E分別是AB,OA上的動點，則CDE周長的最小值是.【解題策略】（圖2）1 .畫圖建模，畫出取最小值時動點的位置，建立相關(guān)模型；2 .學(xué)會轉(zhuǎn)化，利用軸對稱把線段之和轉(zhuǎn)

5、化在同一條直線上.真題（組）示例3例3如圖，在4ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上于F,則EF的最小值為.【題型特征】利用垂線段最短求線段最小值問題真題（組）示例4動點，PE±AB于E,PFXAC1.（2012寧波）如圖2,ZXABC中,BAC60,ABC45,AB=26，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫。O分別交AB,AC于E,F,連接EF,則線段EF長度的最小值為.（圖2）（圖3）【示范解讀】OO的大小隨著AD的變化而變化，在此變化過程中，圓周角/BAC的度數(shù)始終保持不變，而線段EF即為。O中60°圓周角所對的弦，弦EF的大小隨。O直徑變化的變

6、化而變化，當(dāng)圓O的直徑最小時，60度圓心角所對的弦長最短，即轉(zhuǎn)化為求AD的最小值，由垂線段最短得出當(dāng)ADLBC時,AD最短.【解題策略】1 .觀察發(fā)現(xiàn)，分析總結(jié)運動變化過程中的不變元素及內(nèi)在聯(lián)系，2 .畫圖轉(zhuǎn)化，根據(jù)內(nèi)在聯(lián)系轉(zhuǎn)化相關(guān)線段，應(yīng)用垂線段最短”求出相關(guān)線段的最小值.真題（組）示例5（2013%遷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0,1）,B（1,2）,點P在x軸上運動，當(dāng)點P到A、B兩點距離之差的絕對值最大時，點P的坐標(biāo)是.r«(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式;y=ix21x+3;xOy中，點A、B、(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點P,在，請求出點P

7、的坐標(biāo)；.若不存在，請說明理由；使得以以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存(5,3)(3)若點M為該拋物線上一動點，在(接寫出|PM-AM|的最大值.【示范解讀】利用待定系數(shù)法確定出直線2)的條件下，請求出當(dāng)|PM-AM|的最大值時點M的坐標(biāo)，并直PA解析式，當(dāng)點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM-AM|VPA,當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PM-AM|=PA,當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PM-AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，聯(lián)立直線AP與拋物線解析式，求出當(dāng)|PM-AM|的最大值時M坐標(biāo)，確定出|PM-AM|的最大值即可.【題型特征】三

8、角形的三邊關(guān)系-線段之差最大問題【解題策略】結(jié)合已知定長線段，利用三角形的三邊關(guān)系，找出最大值時的特殊位置，線段之差最大問題.真題(組)示例7(2016瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(1,0),在以D(4,4)為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足/B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),點PBPC=90°,則a的最大值是.真題(組)示例832.(2015研川樂山)如圖3,已知直線y=4x-3與x(0,1)為圓心，1為半徑的圓上一動點，連結(jié)PA、BO軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以CPB.則4PAB面積的最大值是(2016四川眉山)26.已知如圖，在平面直角坐

9、標(biāo)系OA=1,OB=3,OC=4,【知識源】圓外一點與圓心的連線上，該點和此直線與圓的近交點距離最短、遠(yuǎn)交點距離最長.【解題策略】1 .描述點的運動軌跡，找出特殊位置，化動為靜；2 .綜合題中已有條件，分析其中不變元素，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化.真題（組）示例91.（2016江蘇常州）如圖6,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y二x與二次函數(shù)y=x2+bx的圖象相交于0、A兩點，點A（3,3）,點M為拋物線的頂點.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（圖6）（2）長度為26的線段PQ在線段0A（不包括端點）上滑動，分別過點P、Q作x軸的垂線交拋物線于點P1、Q1,求四邊形PQQ1P1面積的最大值;【題型特征】利用二次函

10、數(shù)的性質(zhì)求最值問題【解題策略】此類問題中，無法通過軸對稱或畫草圖得出何時所求線段或面積的最值，可以通過設(shè)相應(yīng)點的坐標(biāo)，運用函數(shù)思想，建立函數(shù)模型，最終通過二次函數(shù)的最值原理求出相應(yīng)的最值.1 .樹立坐標(biāo)意識，通過坐標(biāo)表示相關(guān)線段長度；2 .運用函數(shù)思想，構(gòu)建函數(shù)模型，通過二次函數(shù)的性質(zhì)理求出相應(yīng)的最值.三、專題總結(jié)幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量（如線段長度、角度大小、圖形面積）等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：1.特殊位置與極端位置法；2.幾何定理（公理）法；3.數(shù)形結(jié)合法等.復(fù)習(xí)時既要注重對基本知識源的理解與建構(gòu)，更要注重對相關(guān)知識源的綜合與整

11、合。在解決本類題型時我們要學(xué)會動中覓靜，即要分析總結(jié)圖形中動點在運動過程中不變元素，探尋那些隱含的、在運動變化中的不變量或不變關(guān)系.通過不變關(guān)系建立相關(guān)模型實現(xiàn)最值的轉(zhuǎn)化。四、命題預(yù)測1 .綜合性逐漸增強，如多個知識源、知識點的相互整合滲透；2 .注重對基本技能和基本思維方法的考查，注重了初、高中知識的銜接;3 .最值問題逆”呈現(xiàn)，如在最值條件下求其他相關(guān)問題.五、鞏固演練動點,則BM+MN的最小值為（2.如圖2-1,已知點P是拋物線y1.如圖1,在矩形ABCD中，AB=10,BC=5.若點M、N分別是線段ACAB上的兩個1x2上的一個點，點D、E的坐標(biāo)分別為（0,1）、（1,2）,連4結(jié)PD

12、、PE,求PD+PE的最小值.3 .在坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(3,0),點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內(nèi)一點,且AC=2.設(shè)tan/BOC=m,則m而最小值是.4 .如圖，。的半徑為1,A,P,B,C是。上的四個點./APC=/CPB=60.判斷ABC的形狀：;試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(3)當(dāng)點P位于的什么位置時，四邊亭APBC的面積最大？求出最大面積8)5 .如圖6,在4ACE中，CA=CE,/CAE=30,。經(jīng)過點C,且圓的直徑AB在線段AE上.(1)試說明CE是。的切線；(2)若ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。O的直徑AB；(3)設(shè)點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接OD,當(dāng)±CD+OD的最小值為6時,