用二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計與教學(xué)反思

1、“用二分法求方程的近似解”教學(xué)設(shè)計與教學(xué)反思梁光掛 （南寧三中平果分校）【教學(xué)設(shè)計】一、內(nèi)容與內(nèi)容解析 本節(jié)是人教A版普通高中標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書·數(shù)學(xué)1（必修）第三章“函數(shù)的應(yīng)用”中第一節(jié)“函數(shù)與方程”的第二塊內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了集合與函數(shù)概念、基本初等函數(shù)后，研究函數(shù)與方程關(guān)系的內(nèi)容。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是：結(jié)合函數(shù)大致圖象，能夠借助計算器用二分法求出相應(yīng)方程的近似解，理解二分法的思想及了解這種方法是求方程近似解的常用方法。本節(jié)內(nèi)容是課標(biāo)教材中新增的內(nèi)容。在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)了簡單的一元一次方程和一元二次方程等簡單方程的求根問題，但是實(shí)際問題中，有具體求根公式的方程是很少的。對于這類方程，我們只能

2、根據(jù)根的存在性定理判斷根的存在，在利用二分法可以求出方程給定精確度的近似解。經(jīng)過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，將使學(xué)生更加深入理解函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析本節(jié)課要求學(xué)生懂得解決“如何求方程的近似解”這么一個問題，而二分法是解決這類問題的常用解法或通解法，既然是“近似解”，那么引導(dǎo)學(xué)生的思維模式由“求”轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢摇憋@得更加貼切，也更好理解。本節(jié)課的主要目標(biāo)就是要求學(xué)生理解二分法的思想，真正理解怎么去“找”近似解。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：（1）理解二分法的基本思想，能夠借助計算器用二分法求給定方程滿足一定精確度的近似解；（2）引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和計算體會二分法，感受函數(shù)與方程的思想，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中

3、體會近似思想、逼近思想、算法思想；（3）幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，形成正確的數(shù)學(xué)觀，通過生活實(shí)例培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)重點(diǎn)：理解二分法的基本思想，把找方程近似解轉(zhuǎn)化為縮小函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，對函數(shù)與方程的關(guān)系及化歸思想有更深入的認(rèn)識。教學(xué)難點(diǎn)：對精確度的理解，用二分法求近似解中，在不斷縮小區(qū)間時，對區(qū)間端點(diǎn)的循環(huán)迭代替換的理解.三、學(xué)生診斷分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的時候可能會對二分法的本質(zhì)理解不夠透徹，特別是在“循環(huán)迭代與替換區(qū)間端點(diǎn)”這一環(huán)節(jié)的理解上相對比較困難，對精確的理解耶比較困難。同時在運(yùn)算過程中，數(shù)值較繁瑣，這些都使學(xué)生對本節(jié)的學(xué)習(xí)與理解產(chǎn)生較大的

4、阻礙，在課前應(yīng)給學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以做好思想準(zhǔn)備。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”，理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，并具有一定的數(shù)形結(jié)合思想，這些成為本節(jié)知識學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)，在用二分法求近似解的步驟中又滲透著算法思想，為今后的算法內(nèi)容學(xué)習(xí)埋下伏筆。但是學(xué)生對動態(tài)與靜態(tài)的認(rèn)識薄弱，對于函數(shù)與方程的聯(lián)系缺乏一定的認(rèn)識，這些都給學(xué)生在縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的過程造成一定的難度。因此在教學(xué)中應(yīng)該多給學(xué)生動手的機(jī)會，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察，計算，思考和總結(jié)，使他們理解問題背后的本質(zhì)從而得出結(jié)論.四、教學(xué)支持條件分析將問題導(dǎo)學(xué)法、討論法、游戲體驗法等多種教學(xué)方法有機(jī)結(jié)合，并結(jié)合

5、多媒體手段，組織學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，合作交流完成本節(jié)的內(nèi)容。學(xué)生的課前準(zhǔn)備：1復(fù)習(xí)前一節(jié)課的內(nèi)容，熟悉連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點(diǎn)的判斷方法；2準(zhǔn)備好科學(xué)計算器，熟悉科學(xué)計算器的使用；3完成老師發(fā)給的導(dǎo)學(xué)案（附件中）。教師的教學(xué)準(zhǔn)備：將上課內(nèi)容制作成課件。五、教學(xué)過程設(shè)計（一）復(fù)習(xí)引入上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，也學(xué)習(xí)了方程的根的存在性定理。我們一起來回憶一下：1. 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)有什么關(guān)系？答：方程的根是相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)是相應(yīng)方程的根。求一個方程的解時，如果直接從方程角度入手難度較大時，我們可以嘗試從“求函數(shù)的零點(diǎn)”入手。2.還記得根的存在性定理嗎？答：如果函

6、數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這個零點(diǎn)也是方程的根.【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生復(fù)習(xí)的習(xí)慣，對上節(jié)課的復(fù)習(xí)為本節(jié)的學(xué)習(xí)提供了知識保障。（二）新課講授在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解方程將是我們經(jīng)常遇到的問題。問題1：你會求下列方程的根嗎？【設(shè)計意圖】從學(xué)生熟悉的方程入手，引入求方程根的話題，引起學(xué)生的認(rèn)識沖突，激起進(jìn)一步探究的欲望.對于前兩個方程，學(xué)生很快找出解決辦法，最后一個方程學(xué)生無法根據(jù)之前學(xué)過的知識進(jìn)行求解，從方程角度入手不知如何下手，這時教師適時點(diǎn)撥引導(dǎo)：當(dāng)從方程角度直接入手難以求出方程的根時，我們可以轉(zhuǎn)化為求該方程相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的問題。方程，由課本88頁例1我們知道

7、函數(shù)在區(qū)間（2,3）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，這一節(jié)課的重點(diǎn)就是如何找出這個零點(diǎn)的位置。例 求方程的近似解.（精確度為0.01）教師引導(dǎo)分析：根據(jù)前面我們的分析，我們可以將“求方程的近似解”問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢液瘮?shù)在區(qū)間（2,3）內(nèi)的近似零點(diǎn)”問題。問題2：那么怎么找出這個近似零點(diǎn)呢？【設(shè)計意圖】進(jìn)一步理清思路，明確問題，使問題由“求”變?yōu)椤罢摇保@樣一來問題更具有游戲的味道，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。在“找”這個零點(diǎn)之前，我們先來玩?zhèn)€小游戲：前兩天我剛剛買了個手機(jī)，為了游戲更有趣，我暫且不能告訴大家是什么牌子，我只能告訴大家這個手機(jī)的價位是20003000元，如果我給大家6次猜價的機(jī)會，我只能告訴大家猜的價格比真實(shí)

8、值多或少，大家能否猜出與手機(jī)真實(shí)價錢的誤差在50元以內(nèi)的價錢？注意啊，你們的機(jī)會只有6次！第一次猜價：2500元，教師提示少了，手機(jī)價錢范圍縮小到25003000元，此時還不能確保誤差小于50元（為什么？）；第二次猜價：2750元，教師提示多了，手機(jī)價錢范圍縮小到25002750元，此時還不能確保誤差小于50元（為什么？）；一次類推到第五次的時候，學(xué)生成功的猜出誤差在50以內(nèi)的價錢。游戲結(jié)束。問題引導(dǎo)總結(jié)：問題3：大家如何猜誤差在50元內(nèi)的價格？問題4：猜價過程當(dāng)中，大家發(fā)現(xiàn)手機(jī)價錢的范圍有什么變化？問題5：我們?yōu)槭裁床碌降?次就停止？經(jīng)過三個問題的引導(dǎo)，大家很快便總結(jié)出猜價格的方法：不斷取中

9、點(diǎn)值與真實(shí)值比較，懂得判斷真實(shí)值所屬區(qū)間，區(qū)間長度不斷縮短，直到“猜值”與真實(shí)值的最大誤差小于50元為止。這種方法在數(shù)學(xué)中我們叫做“二分法”.【設(shè)計意圖】使學(xué)生更加輕松有趣的學(xué)習(xí)，通過猜價格游戲來引出二分法的概念，讓學(xué)生更容易接受二分法的思想和體會到學(xué)習(xí)二分法的顯示使用價值，借此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.回到“例求方程的近似解.（精確度為0.01）”。問題6：利用剛才我們猜價格的方法，借助計算器，你能“找函數(shù)在區(qū)間（2,3）內(nèi)的近似零點(diǎn)（精確度為0.0.1）”嗎？【設(shè)計意圖】從游戲把學(xué)生拉回本節(jié)主題，把游戲和本例的解決過程融合到一起對比分析比較，使學(xué)生真正的理解二分法的本質(zhì).模仿猜價格的方法，學(xué)

10、生很快找出“尋找近似零點(diǎn)”的方法，注意鼓勵學(xué)生用通俗的語言概括上面求方程近似解的方法的思想，理解二分法的本質(zhì)內(nèi)涵。給出教材上的規(guī)范的定義。（結(jié)論歸納）1.二分法的定義對于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似解（或?qū)?yīng)方程的近似根）的方法叫做二分法.注：結(jié)合例題來理解二分法的定義。2.利用二分法求方程近似解的步驟：1.確定初始區(qū)間a,b，驗證f(a)f(b)<0 2.求區(qū)間a,b的中點(diǎn)x13.計算：f(x1)判斷：(1)如果f(x1)=0，則x1就是f(x)的零點(diǎn)，計算終止；(2)如果f(a) f(x1)<

11、0，則令b=x1 (此時零點(diǎn)x0(a,x1)中)；(3)如果f(a) f(x1)>0，則令a= x1 (此時零點(diǎn)x0(x1,b)；4.判斷是否達(dá)到精確度：即若最終區(qū)間長度小于 ，則得到零點(diǎn)近似值是(a,b)區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)；否則重復(fù)24步驟。3.口訣 定區(qū)間，找中點(diǎn)， 中值計算兩邊看。 同號去，異號算， 零點(diǎn)落在異號間。 周而復(fù)始怎么辦？ 精確度上來判斷。【設(shè)計意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)用二分法求方程近似解的思維過程，歸納解題步驟，使學(xué)生由經(jīng)驗水平上升到理論水平。通過歸納總結(jié)形成二分法的理論知識，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。（三）、課堂練習(xí)課堂練習(xí)1：下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是

12、 （ ）問題7：根據(jù)練習(xí)，請思考用二分法求零點(diǎn)的條件是什么？【設(shè)計意圖】讓學(xué)生辨析什么情況下事宜用二分法求零點(diǎn)，辨析過程也是學(xué)生認(rèn)識完善的過程。課堂練習(xí)2：用二分法求函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)近似值的過程中得到，則零點(diǎn)落在區(qū)間 （ ） D.不能確定【設(shè)計意圖】進(jìn)一步鞏固如何判斷零點(diǎn)所屬區(qū)間的方法。課堂練習(xí)3：計算函數(shù)的一個正零點(diǎn)近似值，列表如下：中點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)函數(shù)值取區(qū)間若精確度為0.1，結(jié)果是 。【設(shè)計意圖】進(jìn)一步理解二分法的定義及解題步驟，理解精確度的含義。（四）、課堂小結(jié)問題8：這節(jié)課你有哪些收獲？（二分法的定義；用二分法求方程近似解的步驟）教師補(bǔ)充：（五）、作業(yè)1.在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到

13、防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障。這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。每查一個點(diǎn)要爬一次電線桿子，10km長，大約有200多根電線桿子呢。想一想，維修線路的工人師傅至少經(jīng)過幾次查找使故障范圍縮小到50100m左右？2.新課程學(xué)習(xí)與測評活頁二十三【教學(xué)反思】二分法是這次高中數(shù)學(xué)課改新增加的內(nèi)容引入二分法的主要目的是加強(qiáng)函數(shù)與方程的聯(lián)系，它是求方程近似解的一種方法由于二分法中逼近思想和算法思想非常明確，并且在大綱人教版中沒有涉及這部分內(nèi)容，設(shè)計利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解教學(xué)內(nèi)容時我遇到了很大的困難。如何安排本節(jié)的教學(xué)過程？如何達(dá)到良好

14、教學(xué)效果？如何利用現(xiàn)有的素材？等等問題一直圍繞著我。而我所追求的課堂風(fēng)格是“讓學(xué)生該學(xué)的都學(xué)到了，學(xué)的輕松，學(xué)的有趣，學(xué)的有意義”。一、經(jīng)過認(rèn)真查閱資料和研究教材及與同事討論后，我對本節(jié)課的初步理解1.本節(jié)地位。二分法是我們廣西新課程新增的知識，里邊還蘊(yùn)含著逼近思想、算法思想、數(shù)形思想等，因此應(yīng)該是高考必考點(diǎn)；2.重點(diǎn)的把握。本節(jié)課的核心是理解二分法的本質(zhì)思想，懂得用二分法就方程的近似解；3.難點(diǎn)的把握。本節(jié)課的難點(diǎn)是對精確度的理解、怎么取區(qū)間、理解步驟中蘊(yùn)含的算法思想，除此之外，本節(jié)還有一個難點(diǎn)就是計算，學(xué)生計算能力也較大程度影響本節(jié)的各個環(huán)節(jié)；4.找好學(xué)習(xí)動機(jī)。二分法是學(xué)生很陌生的東西，學(xué)

15、這東西有什么用，因此幫學(xué)生尋找學(xué)習(xí)的動機(jī)也很重要；5.教師角色要擺正。既然是一種方法，那就得讓學(xué)生多動手多動腦，因此教師應(yīng)該把課堂還給學(xué)生，把舞臺讓給學(xué)生，教師充當(dāng)“導(dǎo)演”的角色，這樣才能還原“一節(jié)真實(shí)的課堂”。二、基于以上的理解，我對本節(jié)的流程如下1.課前。由于本節(jié)計算較復(fù)雜，有些新概念需要學(xué)生理解，考慮到時間問題，故事先發(fā)一張導(dǎo)學(xué)案給學(xué)生課前復(fù)習(xí)前面所學(xué)知識和自主學(xué)習(xí)本節(jié)知識。先復(fù)習(xí)好“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”和“根存在性定理”，了解本節(jié)“預(yù)備概念”如精確度，后自主學(xué)習(xí)新課內(nèi)容。為本節(jié)的學(xué)習(xí)打好鋪墊；2.引入。本節(jié)采用復(fù)習(xí)引入，主要檢查課前學(xué)生完成學(xué)案的情況；3.過渡。由游戲引出話題，并由游

16、戲推向高潮；4.高潮。這個環(huán)節(jié)主要解決本節(jié)重點(diǎn)和突破難點(diǎn)，為了突破重難點(diǎn)，我把游戲和例題融合到一起，將游戲的規(guī)則和方法與解決例題方法步驟對比講解，讓學(xué)生通過比較游戲和例題解答來突破本節(jié)重難點(diǎn)；5.總結(jié)本節(jié)內(nèi)容。充分利用例題和游戲，讓游戲和例題成為一條“線”貫穿整個新課討論過程。結(jié)合游戲和例題總結(jié)二分法求方程近似解的步驟和注意事項，使經(jīng)驗水平上升到理論水平，讓學(xué)生對二分法的理解由感性認(rèn)識向理性認(rèn)識發(fā)展。6.課堂鞏固訓(xùn)練。7.教師引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)進(jìn)行小結(jié)，補(bǔ)充學(xué)生的小結(jié)，最后布置作業(yè)。三、實(shí)踐反饋在實(shí)際教學(xué)中，由教師通過游戲和實(shí)例混合講授方法和過程，很容易使學(xué)生總結(jié)和掌握“二分法”的基本算法和注意事

17、項。經(jīng)過對練習(xí)的跟蹤檢查，基本達(dá)到預(yù)想的效果。雖然，教學(xué)內(nèi)容安排不是很多，但通過學(xué)生的親歷親為，獨(dú)立思考并在教師引導(dǎo)下總結(jié)出用二分法求方程近似解的步驟，在40分鐘的課堂教學(xué)過程中，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑，提倡獨(dú)立思考、自主探索，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師指導(dǎo)下的“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”過程。當(dāng)然本節(jié)課還有很多需要改進(jìn)的地方，比如1.板書問題。作為一個年輕教師，我的板書還存在很多問題，比如粉筆字不夠工整，黑板安排還不夠合理。2.語言表達(dá)方面。語言表達(dá)主要是我的語速有點(diǎn)偏快，有時普通話不夠標(biāo)準(zhǔn)，還有在對學(xué)生回答問題或者發(fā)表看法的后的處理還不夠巧妙。3.重難點(diǎn)處理上。在高潮環(huán)節(jié)，沒能很好的

18、利用“游戲”來突破重難點(diǎn)，在這塊還不夠靈活。4.課堂練習(xí)留下最大的遺憾。由于學(xué)生對計算器的使用還不熟悉，好多學(xué)生手頭上還沒有計算器，因此課堂練習(xí)只有選擇和填空，應(yīng)該設(shè)一個計算題，讓學(xué)生由頭到尾完整的解決一個問題，這里反應(yīng)了本節(jié)課學(xué)生動手上還不夠。四、本節(jié)給我的啟示1.數(shù)學(xué)是思維的體操。某種程度上數(shù)學(xué)教育可以看做思維的教育，因此在數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)出學(xué)科的特殊，實(shí)現(xiàn)學(xué)科教育價值。2.數(shù)學(xué)課要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。如果我們老師說學(xué)數(shù)學(xué)是有用的，但是沒有具體事例佐證，這樣的話變成空話，新課改要求數(shù)學(xué)課上要注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)有用意識和數(shù)學(xué)文化。讓學(xué)生“知其然和知所以然”還不夠，因為學(xué)生沒有意識到學(xué)習(xí)的重要性，就會認(rèn)為這“知所以然”是可有可無的，在這種錯誤思想下學(xué)習(xí)，效果是很達(dá)到教學(xué)要求的。因此讓學(xué)生知道“學(xué)數(shù)學(xué)是有用的”是非常重要的，個人認(rèn)為這點(diǎn)才是維持學(xué)生長久學(xué)習(xí)動機(jī)的主要因素，也是學(xué)生有學(xué)習(xí)動力的根本保障。3.數(shù)學(xué)課要盡量體現(xiàn)數(shù)學(xué)