1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1、要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理 1.1.命題的概念命題的概念 在數(shù)學(xué)中用語(yǔ)言在數(shù)學(xué)中用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的符號(hào)或式子表達(dá)的, ,可以可以_ 的陳述句叫做命題的陳述句叫做命題. .其中其中_的語(yǔ)句叫真命題的語(yǔ)句叫真命題, , _ _的語(yǔ)句叫假命題的語(yǔ)句叫假命題. . 1.2 1.2 命題及其關(guān)系、充分條命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件件與必要條件 判斷真假判斷真假判斷為真判斷為真判斷為假判斷為假基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)2.2.四種命題及其關(guān)系四種命題及其關(guān)系（1 1）四種命題）四種命題命題命題表述形式表述形式原命題原命題若若p p，則，則q q逆命題逆命題_否命題否命題_逆否命題逆否命題_qp則若

2、,pq則若,若若q q, ,則則p p（2 2）四種命題間的逆否關(guān)系）四種命題間的逆否關(guān)系 逆命題逆命題逆否命題逆否命題否命題否命題 (3) (3)四種命題的真假關(guān)系四種命題的真假關(guān)系 兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有_的真假性的真假性; ; 兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假 性性_._.3.3.充分條件與必要條件充分條件與必要條件 (1)(1)如果如果p p q q, ,則則p p是是q q的的_,_,q q是是p p的的_;_; (2) (2)如果如果p pq q, ,q qp p, ,則則p p是是q q的的_.

3、_.4.4.特別注意：命題的否命題是既否定命題的條件特別注意：命題的否命題是既否定命題的條件, ,又又 否定命題的結(jié)論；而命題的否定是只否定命題的否定命題的結(jié)論；而命題的否定是只否定命題的 結(jié)論結(jié)論. .相同相同沒(méi)有關(guān)系沒(méi)有關(guān)系充分條件充分條件必要條件必要條件充要條件充要條件基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.下列語(yǔ)句是命題的是下列語(yǔ)句是命題的是 （ ） 求證求證 是無(wú)理數(shù)；是無(wú)理數(shù)； x x2 2+4+4x x+40+40； 你是高一的學(xué)生嗎？你是高一的學(xué)生嗎？ 一個(gè)正數(shù)不是素?cái)?shù)就是合數(shù)；一個(gè)正數(shù)不是素?cái)?shù)就是合數(shù)； 若若x xR R，則，則x x2 2+4+4x x+70.+70. A. A. B. B

4、. C. C. D. D. 3解析解析 不是命題，不是命題，是祈使句，是祈使句，是疑問(wèn)句是疑問(wèn)句. .而而 是命題，其中是命題，其中是假命題，如正數(shù)是假命題，如正數(shù) 既不是既不是 素?cái)?shù)也不是合數(shù)，素?cái)?shù)也不是合數(shù)，是真命題，是真命題，x x2 2+4+4x x+4=(+4=(x x+2)+2)2 200恒成立，恒成立，x x2 2+4+4x x+7=(+7=(x x+2)+2)2 2+30+30恒成立恒成立. .答案答案 C C 212.2.命題命題“若若x x2 2 y y2 2，則，則x x y y”的逆否命題是的逆否命題是 （ ） A.“A.“若若x x y y，則，則x x2 2 y y

5、, ,則則x x2 2 y y2 2” C.“ C.“若若x xy y，則，則x x2 2y y2 2” ” D.“ D.“若若x xy y, ,則則x x2 2y y2 2” ” C3.3.(2009(2009江西江西) )下列命題是真命題的為下列命題是真命題的為 （ ） A. A. B. B.若若x x2 2=1,=1,則則x x=1=1 C. C.若若x x= =y y, ,則則 D.D.若若x x y y, ,則則x x2 2 d d, ,則則 “ “a a b b”是是“a a- -c c b b- -d d”的的 （ ） A.A.充分而不必要條件充分而不必要條件 B.B.必要而不充

6、分條件必要而不充分條件 C.C.充要條件充要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 c c d d,-,-c c- b b, , a a- -c c與與b b- -d d的大小無(wú)法比較；的大小無(wú)法比較； 當(dāng)當(dāng)a a- -c c b b- -d d成立時(shí)，假設(shè)成立時(shí)，假設(shè)a ab b,-,-c c-d d, , a a- -c c b b. . 綜上可知，綜上可知，“a a b b”是是“a a- -c c b b- -d d”的必要不充分的必要不充分 條件條件. .B題型一題型一 命題的關(guān)系及命題真假的判斷命題的關(guān)系及命題真假的判斷【例例1 1】分別寫出下列命題的逆命

7、題、否命題、逆否分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否 命題，并判斷它們的真假命題，并判斷它們的真假. .（1 1）面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形）面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形. .（2 2）若）若q q1,1,則方程則方程x x2 2+2+2x x+ +q q=0=0有實(shí)根有實(shí)根. .（3 3）若）若x x2 2+ +y y2 2=0=0，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)x x、y y全為零全為零. . 寫成寫成“若若p p，則，則q q”的形式的形式寫出逆命題、否命題、逆否命題寫出逆命題、否命題、逆否命題判斷真假判斷真假思維啟迪思維啟迪題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解解 （1 1）逆命題：全等三角

8、形的面積相等）逆命題：全等三角形的面積相等, ,真命題真命題. . 否命題：面積不相等的兩個(gè)三角形不是全等三角形，否命題：面積不相等的兩個(gè)三角形不是全等三角形，真命題真命題. .逆否命題：兩個(gè)不全等的三角形的面積不相等，假命逆否命題：兩個(gè)不全等的三角形的面積不相等，假命題題. .(2)(2)逆命題：若方程逆命題：若方程x x2 2+2+2x x+ +q q=0=0有實(shí)根有實(shí)根, ,則則q q1, b b+ +d d, ,q q: :a a b b且且c c d d B. B.p p: :a a1,1,b b1,1,q q: :f f( (x x)=)=a ax x- -b b( (a a0,0

9、,且且a a1)1)的圖象不過(guò)的圖象不過(guò) 第二象限第二象限 C.C.p p: :x x=1=1，q q: :x x2 2= =x x D. D.p p: :a a1,1,q q: :f f( (x x)=log)=loga ax x( (a a0,0,且且a a1)1)在（在（0,+0,+）上）上 為增函數(shù)為增函數(shù) 解析解析 由于由于a a b b, ,c c d d a a+ +c c b b+ +d d，而，而a a+ +c c b b+ +d d卻不一定卻不一定 推出推出a a b b, ,c c d d. .故故A A中中p p是是q q的必要不充分條件的必要不充分條件.B.B中中,

10、,當(dāng)當(dāng)a a1,1,b b11時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f f( (x x)=)=a ax x- -b b不過(guò)第二象限不過(guò)第二象限, ,當(dāng)當(dāng)f f( (x x)=)=a ax x- -b b不過(guò)第二象限時(shí)，有不過(guò)第二象限時(shí)，有a a1,1,b b1.1.故故B B中中p p是是q q的充分不的充分不必要條件必要條件.C.C中，因?yàn)橹?，因?yàn)閤 x=1=1時(shí)有時(shí)有x x2 2= =x x，但，但x x2 2= =x x時(shí)不一定有時(shí)不一定有x x=1=1，故，故C C中中p p是是q q的充分不必要條件的充分不必要條件.D.D中中p p是是q q的充要條的充要條件件. . 答案答案 A題型三題型三 充要條件的

11、證明充要條件的證明 【例例3 3】 （1212分）求證方程分）求證方程axax2 2+2+2x x+1=0+1=0有且只有一個(gè)有且只有一個(gè) 負(fù)數(shù)根的充要條件為負(fù)數(shù)根的充要條件為a a00或或a a=1.=1. 思維啟迪思維啟迪 （1 1）注意討論）注意討論a a的不同取值情況；的不同取值情況；（2 2）利用根的判別式求）利用根的判別式求a a的取值范圍的取值范圍. . 證明證明 充分性：充分性： 當(dāng)當(dāng)a a=0=0時(shí)，方程變?yōu)闀r(shí)，方程變?yōu)? 2x x+1=0+1=0，其根為，其根為 方程只有一負(fù)根方程只有一負(fù)根. 2. 2分分 當(dāng)當(dāng)a a=1=1時(shí)，方程為時(shí)，方程為x x2 2+2+2x x+

12、1=0+1=0，其根為，其根為x x=-1,=-1, 方程只有一負(fù)根方程只有一負(fù)根. 4. 4分分 當(dāng)當(dāng)a a00)0，方程有兩個(gè)不相等的根，方程有兩個(gè)不相等的根，,21x且且 0 | 這個(gè)條件是其充分條件這個(gè)條件是其充分條件 嗎？為什么？嗎？為什么？ 證明證明 設(shè)設(shè)x x2 2+ +axax+1=0+1=0的兩實(shí)根為的兩實(shí)根為x x1 1, ,x x2 2, , 則平方和大于則平方和大于3 3的等價(jià)條件是的等價(jià)條件是 | |a a| | 這個(gè)條件是必要條件但不是充分條件這個(gè)條件是必要條件但不是充分條件. . 55|. 55, 32)(2)(0422122122212aaaaaaxxxxxxa

13、或或即,3|aa3,31.1.當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其它三種命題時(shí)當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其它三種命題時(shí), ,必必 須保留大前提，也就是大前提不動(dòng)；對(duì)于由多個(gè)并須保留大前提，也就是大前提不動(dòng)；對(duì)于由多個(gè)并 列條件組成的命題，在寫其它三種命題時(shí)，應(yīng)把其列條件組成的命題，在寫其它三種命題時(shí)，應(yīng)把其 中一個(gè)（或中一個(gè)（或n n個(gè)）作為大前提個(gè)）作為大前提. .2.2.數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題, ,但命但命 題與定理是有區(qū)別的；命題有真假之分，而定理都題與定理是有區(qū)別的；命題有真假之分，而定理都 是真的是真的. . 方法與技巧方法與技巧思想方法

14、思想方法 感悟提高感悟提高3.3.命題的充要關(guān)系的判斷方法命題的充要關(guān)系的判斷方法 (1)(1)定義法：直接判斷若定義法：直接判斷若p p則則q q、若、若q q則則p p的真假的真假. . (2) (2)等價(jià)法：即利用等價(jià)法：即利用 的等價(jià)關(guān)系，對(duì)的等價(jià)關(guān)系，對(duì) 于條件或結(jié)論是否定式的命題于條件或結(jié)論是否定式的命題, ,一般運(yùn)用等價(jià)法一般運(yùn)用等價(jià)法. . (3) (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷利用集合間的包含關(guān)系判斷: :若若A AB B, ,則則A A是是B B的的 充分條件或充分條件或B B是是A A的必要條件的必要條件; ;若若A A= =B B, ,則則A A是是B B的充要的充要

15、條件條件. . 1.1.否命題是既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論，否命題是既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論， 而命題的否定是只否定命題的結(jié)論而命題的否定是只否定命題的結(jié)論. .要注意區(qū)別要注意區(qū)別. .2.2.判斷判斷p p與與q q之間的關(guān)系時(shí)之間的關(guān)系時(shí), ,要注意要注意p p與與q q之間關(guān)系的方之間關(guān)系的方 向性向性, ,充分條件與必要條件方向正好相反充分條件與必要條件方向正好相反, ,不要混淆不要混淆. .失誤與防范失誤與防范 一、選擇題一、選擇題1.1.（20092009重慶）重慶）命題命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則 它的它的 平方是正數(shù)平方是正數(shù)”的逆命題是的逆命

16、題是 （ ） A.“A.“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B.“B.“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” C.“C.“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D.“D.“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)” 解析解析 原命題的逆命題原命題的逆命題: :若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)， 則它是負(fù)數(shù)則它是負(fù)數(shù). . B定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)2.2.（20092009浙江）浙江）已知已知a a, ,b b是實(shí)數(shù)，則是實(shí)數(shù)，則“a a00且且 b b0

17、”0”是是“a a+ +b b00且且abab0”0”的的 （ ） A.A.充分而不必要條件充分而不必要條件 B.B.必要而不充分條件必要而不充分條件 C.C.充分必要條件充分必要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 當(dāng)當(dāng)a a00且且b b00時(shí)，一定有時(shí)，一定有a a+ +b b00且且abab0.0.反之，反之， 當(dāng)當(dāng)a a+ +b b00且且abab00時(shí)，一定有時(shí)，一定有a a0,0,b b0.0.故故“a a00且且b b0”0” 是是“a a+ +b b00且且abab0”0”的充要條件的充要條件. . C3.3.(2008(2008廣東廣東) )命題

18、命題“若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x)=log)=loga ax x( (a a0,0,a a1) 1) 在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則logloga a20”20,0,a a1)1)在其定在其定 義域內(nèi)不是減函數(shù)義域內(nèi)不是減函數(shù) B.B.若若logloga a2020,0,a a1)1)在其定在其定 義域內(nèi)不是減函數(shù)義域內(nèi)不是減函數(shù) C.C.若若logloga a2020，則函數(shù)，則函數(shù)f f( (x x)=log)=loga ax x( (a a0,0,a a1)1)在其定在其定 義域內(nèi)是減函數(shù)義域內(nèi)是減函數(shù) D.D.若若logloga a20,20,0,a a1)1)在

19、其定義在其定義 域內(nèi)是減函數(shù)域內(nèi)是減函數(shù) 解析解析 由互為逆否命題的關(guān)系可知由互為逆否命題的關(guān)系可知, ,原命題的逆否命原命題的逆否命 題為：若題為：若logloga a2020，則函數(shù)，則函數(shù)f f（x x）=log=loga ax x( (a a0,0,a a1)1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù). . 答案答案 A A4.4.已知已知A A=x x|x x-1|1,-1|1,x xR R,B B=x x|log|log2 2x x1,1,x xR R, , 則則“x xA A”是是“x xB B”的的 （ ） A.A.充分不必要條件充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要

20、不充分條件 C.C.充分必要條件充分必要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 A A=x x| |x x22或或x x00，B B=x x| |x x22， x xA xA xB B，但，但x xB B x xA A. . B5.5.集合集合A A=x x|x x|4,|4,x xR R,B B=x x| |x x 5”5”的的 （ ） A.A.充分不必要條件充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要不充分條件 C.C.充要條件充要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 A A=x x|-4|-4x x4,4,若若A AB B，則，則a a

21、4,4, a a4 4 a a5,5,但但a a55a a4.4. 故故“A A B B”是是“a a5”5”的必要不充分條件的必要不充分條件. . B6.6.（20092009北京）北京） 的的 ( ) ( ) A. A.充分而不必要條件充分而不必要條件 B.B.必要而不充分條件必要而不充分條件 C.C.充分必要條件充分必要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 這說(shuō)明這說(shuō)明 外外 還可以取其他的值還可以取其他的值. .所以所以 的的 充分而不必要條件充分而不必要條件. .cos2126 是是,21)3cos(2cos,6;213cos2cos,6時(shí)而當(dāng)時(shí)當(dāng)6,212cos除時(shí)cos2126 是是A二、填空題二、填空題 7.7.若若“x x2,52,5或或x xx x| |x x14”4”是假命題，則是假命題，則x x 的取值范圍是的取值范圍是_._. 解析解析 x x2 2，5 5且且x x x x| |x x144是真命題是真命題. . 由由 得得11x x2 . 0, 0, 若若 的必要不充分條件的必要不充分條件, ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m m的取值范圍的取值范圍. . 解解 p p：x x-2,10-2,10，q q：x x1-1-m m,1+,1+m m,m m0,0, 的必要不充分條件，的必