111正弦定理 (2)

1、1.1.1正弦定理ABC3C2C1CBC的長度與角A的大小有關嗎?三角形中角A與它的對邊BC的長度是否存在定量關系?在RtABC中,各角與其對邊的關系:caA sincbB sin1sinC不難得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有這樣的關系嗎?AcbaCB(1) 若直角三角形,已證得結論成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB圖1過點A作ADBC于D,此時有(2)若三角形是銳角三角形, 如圖1,由(1)(2)(3)知，結論成

2、立CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3) 若三角形是鈍角三角形,且角C是鈍角如圖2, 此時也有cADB sin交BC延長線于D,過點A作ADBC，CAcbB圖2正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即AasinBbsinCcsin（2R為為ABC外接圓直徑）外接圓直徑）2R思考求證:證明：證明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圓O,過B作直徑BC/,連AC/,證明：BacAbcCabSABCsi

3、n21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21證明:剖析定理、加深理解正弦定理可以解決三角形中哪類問題： 已知兩角和一邊，求其他角和邊. 已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角.CcBbAasinsinsin定理的應用例 1在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精確到0.01）.解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin

4、19.32=30sin105sin10已知兩角和任意邊，已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角求其他兩邊和一角CcAasinsina = CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b.23在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.a= ,c= 3434練習32, 33ba例 2 已知a=16， b= ， A=30 .求角B，C和邊c已知兩邊和其中一邊已知兩邊和其中一邊的對角的對角,求其他邊和角求其他邊和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAb

5、B所以60,或120當 時60C=90.32cC=30.16sinsinACac316當120時B16300ABC16316變式: a=30, b=26, A=30求角B，C和邊c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,C=124.30,57.49sinsinACaca b A B ,三角形中大邊對大角已知兩邊和其中一邊的對角已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和求其他邊和角角1.根據下列條件解三角形 (1)a=13，b=26，A=30.B=90，C=60，c= 313(2) b=40，c=20，C=45.練習無解已知

6、兩邊和其中一邊的對角已知兩邊和其中一邊的對角,求其求其他邊和角時他邊和角時,三角形三角形什么情況下有什么情況下有一解一解,二解二解,無解無解?ACababsinA無解無解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 兩解兩解BB1B2BACbaab一解一解aBABabCABabCABabCab 一解一解;135,70,52)4(;60,10, 9)3(;150,10, 5)2(;120, 4, 511CbcAbaAbaAba）（三角形的個數(shù)：不解三角形，判斷下列例正弦定理的綜合應用正弦定理的綜合應用的形狀，試判斷中，已知：在變式訓練ABCAbBaABC,tantan122的形狀。判

7、斷的對角，試、為邊、的兩邊，是、兩根之和，且的兩根之積等于：已知方程例題ABCaBAABCaBaxAbxbb0cos)cos(220coscoscoscoscoscos3222222ACacCBcbBAbaABC中，求證：在例0)sin(sin)sin(sin)sin(sin2BAcACbCBaABC中，求證：在變式訓練3., ,2 cos(60).oABCABCa b cbcaCA在中，設所對的邊分別為，若，求.120150302103030.21)30sin(1cossin30sinsinsin)cossin3(cossin3cossinsinsincoscossin)sin(sin)si

8、n60sincos60(cossin2sinsin000000000AAAAAACCCAACACACCACACABCCACB又即略解：由正弦定理得2214.().4ABCSbcABC已知的面積，試確定的形狀.20sin10)sin1 (21, 0)(410)sin1 (21)(41sin21)(412222為等腰直角三角形且解：ABCcbAAcbAbccbAbccbAbccbS)62sin()2( ,sin) 1 (54cos, 2, 35BBAbaABC求求中，已知、在本節(jié)小結本節(jié)小結:正弦定理的證明1.結構：正弦定理正弦定理的應用解三角形2.方法、技巧、規(guī)律(1)正弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關系， 是解三角形的重要工具;(2)兩類問題：一類已知兩角和一邊； 另一類是已知