第三章一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用ppt課件

1、第一章 一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 一元函數(shù)的積分一元函數(shù)的積分第二節(jié)第二節(jié) 積分的應(yīng)用積分的應(yīng)用第一節(jié) 一元函數(shù)的積分一、不定積分一、不定積分二、定積分二、定積分三、廣義積分三、廣義積分一、不定積分1. 不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì) ( )( )( )( ),F xf xdF xf xdxx I或定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f 與與F 在區(qū)間在區(qū)間I上有定義，假設(shè)上有定義，假設(shè)則稱(chēng)則稱(chēng)F為為f 在區(qū)間在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù)n問(wèn)題：n （1什么條件下，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在？ ( 2 )如果f (x)有原函數(shù)，一共有多少個(gè)？ ( 3 )任意兩個(gè)原函數(shù)之間有什么關(guān)系

2、？1)原函數(shù)與不定積分的概念任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量 )0(1ln xxxxln是是x1在在區(qū)區(qū)間間), 0(內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù). 定理定理1 1原函數(shù)存在定理）原函數(shù)存在定理） 如果函數(shù)如果函數(shù)f fx x在某個(gè)區(qū)間上連續(xù)，那么在某個(gè)區(qū)間上連續(xù)，那么f fx x在該區(qū)間上一定在該區(qū)間上一定存在原函數(shù)存在原函數(shù). . 簡(jiǎn)單理解：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)簡(jiǎn)單理解：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù) 定理定理2 2 如果函數(shù)如果函數(shù)F Fx x是函數(shù)是函數(shù)f fx x的一個(gè)的一個(gè)原函數(shù)，則原函數(shù)，則F Fx x）+C+CC C為任意數(shù)

3、是為任意數(shù)是f fx x的全的全部原函數(shù)部原函數(shù). . 如果如果Fx是是fx的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則Fx所對(duì)應(yīng)所對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)稱(chēng)為函數(shù)的曲線(xiàn)稱(chēng)為函數(shù)fx的一條積分曲線(xiàn)，將這條積分曲線(xiàn)的一條積分曲線(xiàn)，將這條積分曲線(xiàn)沿軸方向上下任意平行移動(dòng)，就得到沿軸方向上下任意平行移動(dòng)，就得到Fx）+C，即為積分，即為積分曲線(xiàn)族在每一條積分曲線(xiàn)上作橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處的切線(xiàn)，曲線(xiàn)族在每一條積分曲線(xiàn)上作橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處的切線(xiàn)，這些切線(xiàn)都是相互平行的這些切線(xiàn)都是相互平行的 fx的不定積分的幾何意義就表示相互平行的積分的不定積分的幾何意義就表示相互平行的積分曲線(xiàn)族這些積分曲線(xiàn)在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)曲線(xiàn)族這些積分曲線(xiàn)在橫坐標(biāo)

4、相同的點(diǎn)x處的切線(xiàn)相互平處的切線(xiàn)相互平行行2)不定積分的幾何意義性質(zhì)性質(zhì)1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 及及 的原函數(shù)存在，那么的原函數(shù)存在，那么 ( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx性質(zhì)性質(zhì)2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的原函數(shù)存在，的原函數(shù)存在， 為非零常數(shù)，那為非零常數(shù)，那么么)(xf)(xg)(xfk dxxfkdxxkf)()(性質(zhì)性質(zhì)3 3性質(zhì)性質(zhì)4 4)()(xfdxxf 或dxxfdxxfd)()(. 3)不定積分的性質(zhì)2. 不定積分直接積分法不定積分直接積分法不定積分的基本公式 利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和積分基本公式，利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和積分基本公式，直接求出不

5、定積分的方法。關(guān)鍵在于對(duì)被積函數(shù)直接求出不定積分的方法。關(guān)鍵在于對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形進(jìn)行恒等變形直接積分法3. 不定積分的換元積分法不定積分的換元積分法說(shuō)明說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將 dxxg)(化為化為.)()( dxxxf觀(guān)察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同觀(guān)察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.1)第一類(lèi)換元積分法湊微分法）（湊微分）（湊微分）2)第二類(lèi)換元積分法變量代換法）例例1 1 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,

6、2t例例2 2 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 說(shuō)明說(shuō)明以上幾例所使用的均為三角代換以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax ;coslntan)14(Cxxdx;sinlncot)15(Cxx

7、dx;tanseclnsec)16(Cxxxdx;cotcsclncsc)17(Cxxxdx;arctan11)18(22Caxadxxa常用的基本公式表常用的基本公式表;2arcsin2)22(22222Cxaxaxadxxa;arcsin1)20(22Caxdxxa.ln1)21(2222Caxxdxax;ln211)19(22Caxaxadxax4. 不定積分的分部積分法不定積分的分部積分法問(wèn)題問(wèn)題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dx

8、vuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式例例2 2 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式5. 簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分法簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分法兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱(chēng)為有理函數(shù)兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱(chēng)為有理函數(shù). .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中

9、其中 都是非負(fù)整數(shù)；都是非負(fù)整數(shù)； 及及 都是實(shí)數(shù)，并且都是實(shí)數(shù)，并且 . .nm,naaa,10nbbb,100, 000 ba假定分子與分母之間沒(méi)有公因式假定分子與分母之間沒(méi)有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是假分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項(xiàng)式除法利用多項(xiàng)式除法, ,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和分式之和. .1)簡(jiǎn)單分式的積分法2)化有理真分式為簡(jiǎn)單分式3)有理函數(shù)的積分法二、定積分1.定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 曲邊梯形曲邊梯形 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上非負(fù)、

10、上非負(fù)、連續(xù)連續(xù). 由直線(xiàn)由直線(xiàn)xa、xb、y0及曲線(xiàn)及曲線(xiàn)yf (x)所圍成的圖所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形形稱(chēng)為曲邊梯形, 其其中曲線(xiàn)弧稱(chēng)為曲邊中曲線(xiàn)弧稱(chēng)為曲邊. 1定積分問(wèn)題舉例 觀(guān)察與思考 在曲邊梯形內(nèi)擺滿(mǎn)小的矩形, 當(dāng)小矩形的寬度減少時(shí), 小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化? 怎樣求曲邊梯形的面積？niiixfA10)(lim 求曲邊梯形的面積 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxi=xi-xi1; 小曲邊梯形的面積近似為fii i1ii; (2)近似代替: (4)取極限: 設(shè)maxDx1, Dx2, Dxn, 曲邊梯形的面積為 (3)求和: 曲邊梯形

11、的面積近似為 ;niiixfA10)(lim 變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程 已知物體直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度vv(t)是時(shí)間 t 的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計(jì)算物體在時(shí)間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, Dtititi1; (2)近似代替: 物體在時(shí)間段ti1, ti內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程近似為 Sivii i1 ii ; 物體在時(shí)間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程近似為 (3)求和: (4)取極限: 記maxDt1, Dt2, Dtn, 物體所經(jīng)過(guò)的路程為 niiitvS1)(; niiitvS10)(lim 在小區(qū)間xi1, xi上任取一點(diǎn)xi (i1

12、, 2, n), niiixf1)(; 作和maxDx1, Dx2,Dxn; 記Dxi=xi-xi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1xnb; 在區(qū)間a, b內(nèi)任取分點(diǎn): 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù). 若當(dāng)0時(shí), 上述和式的極限存在, 且極限值與區(qū)間a, b的分法和xi的取法無(wú)關(guān), 則此極限稱(chēng)為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上badxxf)( 的定積分, 記為niiibaxfdxxf10)(lim)( 即 2定積分的概念定積分各部分的名稱(chēng) 積分符號(hào), f(x) 被積函數(shù), f(x)dx 被積表達(dá)式, x 積分變量, a 積分下限, b 積分上限, a, b積分區(qū)間， nii

13、ixf1)(積分和. v函數(shù)的可積性v 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分存在, 則稱(chēng)f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理2 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. v定積分的定義niiibaxfdxxf10)(lim)( 3)一般地, f(x)在a, b上的定積分表示介于x軸、曲線(xiàn)yf(x)及直線(xiàn)xa、xb之間的各部分面積的代數(shù)和. 1當(dāng)f(x)0時(shí), 定積分 在幾何上表示由曲線(xiàn)yf(x)、直線(xiàn)xa、xb與y=0 所圍成的封閉圖形的面積. 2

14、當(dāng)f(x)0時(shí), 定積分 在幾何上表示曲邊梯形面積的負(fù)值. ( )baf x dx( )baf x dx3定積分的幾何意義 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( 性質(zhì)1 性質(zhì)2 2 babadxxfkdxxkf)()( 性質(zhì)3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 4 abdxdxbaba1 性質(zhì)4 性質(zhì)5 如果在區(qū)間a b上 f (x)0 那么 badxxf0)(ab) 1定積分問(wèn)題舉例 推論 如果在區(qū)間a b上 f (x)g(x) 那么 babadxxgdxxf)()(ab) 性質(zhì)6 設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的最大值及最小值 那么 b

15、aabMdxxfabm)()()(ab) 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a b上連上連續(xù)續(xù) 則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間a b上至少存在一個(gè)點(diǎn)上至少存在一個(gè)點(diǎn)x 使下式成使下式成立立 性質(zhì)7(定積分中值定理) baabfdxxf)()( 積分中值公式 2. 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式1變上限積分函數(shù) 2積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) xf ba, dttfxxa ba, xfx bxa (1)(1)定理定理1 1 假設(shè)假設(shè) 在在 上連續(xù)，則積分上連續(xù)，則積分上限函數(shù)上限函數(shù) 在在 上具有導(dǎo)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù) . .證證 dttfxxxxa xxx65圖 dttfdttfxa

16、xxa fxxx00limlim fx lim xf即：即： xfxdxxd xaxxxxadttfdttfdttf xfdttfxxxxxx,此定理一方面說(shuō)明了連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，此定理一方面說(shuō)明了連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，另一方面也說(shuō)明了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，另一方面也說(shuō)明了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，從而可能用原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分從而可能用原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分. .(2)(2)定理定理2 2 若函數(shù)若函數(shù) 在在 上連續(xù)，則積上連續(xù)，則積分上限函數(shù)分上限函數(shù) 是是 在區(qū)間在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù). . dttfxxa ba, xf xf ba,上的一個(gè)原在是連續(xù)函數(shù)設(shè),)()(

17、baxfxF)()(d)(aFbFxxfba證證: 根據(jù)定理 1,)(d)(的一個(gè)原函數(shù)是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因而)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba記作)(xFab)(xFab定理定理3函數(shù) , 那么3牛頓-萊布尼茨公式 3. 定積分的積分方法定積分的積分方法1定積分的換元積分法2定積分的分部積分法 三、廣義積分1. 無(wú)限區(qū)間上的廣義積分無(wú)限區(qū)間上的廣義積分 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù)取取 ，如果極限如果極限 存在，則稱(chēng)此極限為函存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)數(shù) 在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間

18、上的廣義積分記上的廣義積分記作作 ，即即)(xf , )aab babdxxf )(lim)(xf )(adxxf , )a )(adxxf babdxxf )(lim此時(shí)也稱(chēng)廣義積分此時(shí)也稱(chēng)廣義積分 存在或收斂；如果極限存在或收斂；如果極限不存在，就稱(chēng)廣義積分不存在，就稱(chēng)廣義積分 不存在或發(fā)散。不存在或發(fā)散。 )(adxxf )(adxxf 類(lèi)似的，可以定義類(lèi)似的，可以定義 在區(qū)間在區(qū)間 及及 上上的廣義積分。的廣義積分。)(xf , ,b bdxxf )( baadxxf )(lim )(dxxf cdxxf )( )(cdxxf bcbcaadxxfdxxf )(lim)(lim 注注 廣義積分廣義積分 收斂的充分必要條收斂的充分必要條件是上式右端的兩個(gè)廣義積分都收斂，若兩個(gè)積件是上式右端的兩個(gè)廣義積分都收斂，若兩個(gè)積分之一發(fā)散，則左端的廣義積分發(fā)散。分之一發(fā)散，則左端的廣義積分發(fā)散。 )(dxxf2. 無(wú)界函數(shù)的廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，而上連續(xù)，而 取取 ，如果極限，如果極限 存在，則稱(chēng)此極限為存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的廣義積分。記作上的廣義積分。記作 即即)(xf ,(ba0 badxxf 0)(li