第七章3數(shù)量積與向量積1ppt課件

1、數(shù)量積與向量積數(shù)量積與向量積 一一物物體體在在常常力力F作作用用下下沿沿直直線線從從點點1M移移動動到到點點2M，以以s表表示示位位移移，則則力力F所所作作的的功功為為 cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)啟示啟示向向量量a與與b的的數(shù)數(shù)量量積積為為ba cos|baba (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)實例實例兩向量作這樣的運算兩向量作這樣的運算, 結果是一個數(shù)量結果是一個數(shù)量.定義定義一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積ab cos|baba ,Prcos|bjba 方方向向上上的的投投影影在在向向量量向向量量ab,Prcos|ajab 方方向向上上的的投投影影在在

2、向向量量向向量量baajbbabPr| .Pr|bjaa 結論結論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. .數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積點積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.關于數(shù)量積的說明：關于數(shù)量積的說明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：（1 1交換律：交換律：;abb

3、a （2 2分配律：分配律：;)(cbcacba （3 3假設假設 為為數(shù)數(shù) ),()()(bababa 假設假設 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba 證明證明（1）、（）、（3由定義可證由定義可證余下證明余下證明2） 僅就下圖所示的情形給出證明，其它情形可僅就下圖所示的情形給出證明，其它情形可仿此證明仿此證明abba ccba )()(Pr|bajcc )Pr(Pr|bjajccc ajccPr| bjccPr| ca cb ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkj

4、jiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標表達式數(shù)量積的坐標表達式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為例例 1 1 已已知知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求求（1）ba ；（2）a與與b的的夾夾角角；（3）a在在b上上的的投投影影. 解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21

5、ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 證明向量證明向量c與向量與向量acbbca)()( 垂直垂直. 證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(例例3應用向量證明應用向量證明CauchySchwarz不等式不等式232221232221332211|bbbaaabababa 證證記記 321,aaaa 321,bbbb 那么那么232221|aaaa 232221|bbbb 332211babababa | ),cos(|bababa |ba 232221232221bbbaaa 232221232

6、221332211|bbbaaabababa 例例4 應用向量證明直徑所對的圓周角是直角應用向量證明直徑所對的圓周角是直角證證如下圖如下圖xyoABC圓的方程：圓的方程：222Ryx 設設 A 點的坐標為點的坐標為)0 ,(yx那么那么 0 , yxRAB 0 , yxRAC ACAB 0 ,0 ,yxRyxR 222Ryx 0 ACAB 例例5設設cba,是三個單位向量是三個單位向量始于同一點始于同一點O且且0 cba證明它們終點的連線證明它們終點的連線構成一等邊三角形構成一等邊三角形證一證一ABCOabcabAB bcBC caCA )()(|2ababAB baba 2|22又又cba

7、)()(baba baba 2|22)()(cc 2|c 由由1| cba21 ba3|2 AB同理同理3|2 BC3|2 AC故它們終點的連線構成等邊三角形故它們終點的連線構成等邊三角形證二證二由由0 cba得得0)()( cbacba23 cacbba又又acb 1 aacaba21 cb同理同理21 caba故由余弦定理，有故由余弦定理，有babaAB 2|2223 cbcbBC 2|2223 cacaAC 2|2223 故它們終點的連線構成等邊三角形故它們終點的連線構成等邊三角形 設設O為為一一根根杠杠桿桿L的的支支點點， 有有一一力力F作作用用于于這這杠杠桿桿上上P點點處處 力力F與

8、與OP的的夾夾角角為為 ， 力力F對對支支點點O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模 |FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP與與F所所決決定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.實例實例二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積LFPQO 向量向量a與與b的的向量積向量積為為 bac sin|bac (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)定義定義c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .關于向量積的說明：關于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也

9、稱為“叉積叉積”、“外積外積”.向量積符合下列運算規(guī)律：向量積符合下列運算規(guī)律：（1）.abba （2分配律：分配律：.)(cbcacba （3假設假設 為為數(shù)數(shù) ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標表達式向量積

10、的坐標表達式向量積還可借助于三階行列式表示向量積還可借助于三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba kbbaajbbaaibbaayxyxzxzxzyzy 由上式可推出由上式可推出ba/0 ba0 zyzyabba0 zxzxabba0 yxyxabbazzyyxxbababa xb、yb、zb不不能能同同時時為為零零，但但允允許許兩兩個個為為零零， 例如，例如，zzyxbaaa 000, 0 yxaa補充補充|ba 表表示示以以a和和b為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積.abbac 例例 6 6 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量.

11、解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例 7 7 在頂點為在頂點為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC邊上的高邊上的高BD. ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD例例 8 8 設向量設向量pnm,兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且兩兩垂直，符合右手規(guī)則

12、，且4| m，2| n，3| p，計算，計算pnm )(. 解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，定義定義 設已知三個向量設已知三個向量a、b、c，數(shù)量，數(shù)量cba )(稱為這三個向量的稱為這三個向量的混合積混合積，記為，記為cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設設,kcjcicczyx 混合積的坐標表達式混合積的坐標表達式三、向量的混合積三、向量的混合積（1向量混合積的幾何意義：向量混合積的幾何意義： 向量的

13、混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這樣的一個數(shù)，它的絕對值表的一個數(shù)，它的絕對值表示以向量示以向量a、b、c為棱的為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積.acbba 關于混合積的說明：關于混合積的說明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac 輪換對稱性輪換對稱性（3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba證明證明)(由由cba,共面共面cba )(0),cos( cbazyxzyxzyxcccbbbaaacba )(0 )(設設zyxzyxzyxcccbbbaaacba )(0 由混合積的幾何意義知由混合積的幾何意義知0|)( | cba0),cos( cbacba

14、 )(得得cba,共面共面 已已知知2 cba， 計計算算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例9例例 1 10 0 已已知知空空間間內(nèi)內(nèi)不不在在一一平平面面上上的的四四點點),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求求四四面面體體的的體體積積. 解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面

15、體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB ,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致.例例11設設dcba,是四個已知向量，其中是四個已知向量，其中cba,不共面，試利用矢量運算將不共面，試利用矢量運算將 d表示為表示為 cba,的線性組合的線性組合分析分析依題意依題意czbyaxd 其中其中 x , y , z 待定待定為求得為求得 x ，須消去，須消去 y , z 由上式可見，若能用一個與由上式可見，若能用一個與cb,都垂直的都垂直的向量，則向量，則y , z 可同時消去，自然想到可同時消去，自然想到 cb 解解設有設有czbyaxd 以以cb 與上式兩端作點積，得與上式兩端作點積，得)()(cbaxcbd 由于由于cba,不共面不共面0)( cba)()(cbacbdx 同理同理)()(acbacdy )()(bacbadz 又由輪換對稱性知又由輪換對稱性知)()()(bacacbcba )()()()(1cbadbacda