第四章時(shí)變電磁場(chǎng)

1、第四章第四章 時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)1.1 1.1 波動(dòng)方程波動(dòng)方程1.2 1.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)電磁場(chǎng)的位函數(shù)1.3 1.3 電磁能量守恒定理電磁能量守恒定理1.4 1.4 唯一性定理唯一性定理1.5 1.5 時(shí)諧電磁場(chǎng)時(shí)諧電磁場(chǎng)1.6 1.6 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理4.1 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 在無(wú)源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線形、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒在無(wú)源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線形、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)，則有質(zhì)，則有 無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 二二階矢量微分方程，階矢量微分方程，揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性 麥克斯韋方程麥克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與

2、磁場(chǎng)一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng) 間的相互作用關(guān)系間的相互作用關(guān)系 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出2220HHt2220EEt電磁波動(dòng)方程電磁波動(dòng)方程2220HHt2220EEt22()HHHt 2()EHt 00HtHtH 同理可得同理可得 推證推證 問(wèn)題問(wèn)題 若為有源空間，結(jié)果如何？若為有源空間，結(jié)果如何？ 若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？4.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)電磁場(chǎng)的位函數(shù) 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的性質(zhì) 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程引入位函數(shù)來(lái)描述時(shí)變

3、電磁場(chǎng)，使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。引入位函數(shù)來(lái)描述時(shí)變電磁場(chǎng)，使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。 引入位函數(shù)的意義引入位函數(shù)的意義 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義BA AEt ()0At0BBt 位函數(shù)的不確定性位函數(shù)的不確定性()()()AAAAAAtttt A（ 、 ） 滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù) 和和 能描述同能描述同一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。A（ 、 ）AAt 即即也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。不同位也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換A 原因：未規(guī)定原因：未規(guī)定

4、的散度的散度為任意可微函數(shù)為任意可微函數(shù)除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即 在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件 造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)有規(guī)定造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)有規(guī)定 的散度。利用的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定 的散度使位函數(shù)滿足的方程得的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡(jiǎn)化。以簡(jiǎn)化。AA0A0AtDHJt()AAJtt 222()AAJAtt EBJt222AAJt 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程BDEH

5、ABAEt 2()AAA 0AtD()At 222t 同樣同樣ADEEt 、0At222t 說(shuō)明說(shuō)明222AAJt 若應(yīng)用庫(kù)侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程若應(yīng)用庫(kù)侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程? 具有什么特點(diǎn)具有什么特點(diǎn)? 問(wèn)題問(wèn)題 應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)：應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)： 位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱 的，且比較簡(jiǎn)單，易求解；的，且比較簡(jiǎn)單，易求解； 解的物理意義非常清楚，明確解的物理意義非常清楚，明確地地 反映出電磁場(chǎng)具有有限的傳遞速度；反映出電磁場(chǎng)具有有限的傳遞速度； 矢量位只決定于矢量位只決定于J，標(biāo)，標(biāo) 量位只決定于量位只決定于，這對(duì)求解方程特別有

6、利。只需解出這對(duì)求解方程特別有利。只需解出A，無(wú)需，無(wú)需 解出解出 就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。 電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)一種輔助函數(shù)，應(yīng)，應(yīng) 用不同的規(guī)范條件，矢量位用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位和標(biāo)量位 的解也不相同，但最的解也不相同，但最終終 得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。4.3 4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 坡印廷定理坡印廷定理 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系 坡印廷矢量坡印廷矢量 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的能量體積的能量體積V內(nèi)增加的能量體積

7、內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量?jī)?nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度電場(chǎng)能量密度：12ew E D 磁場(chǎng)能量密度磁場(chǎng)能量密度：12mw H B 電磁能量密度電磁能量密度：1122emwwwE DH B 空間區(qū)域空間區(qū)域V中的電磁能量中的電磁能量：11d()d22VVWw VE DVH B 特點(diǎn)特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨 時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng) 電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量守恒關(guān)系： 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系ddWtVS 其中其中： 單位時(shí)間內(nèi)體積單位時(shí)間內(nèi)體積V 中所增加中所增加 的

8、電磁能量的電磁能量 單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所作的功；中的電流所作的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率內(nèi)總的損耗功率 通過(guò)曲面通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V 的電磁功率的電磁功率 表征電磁能量守恒關(guān)系的定理表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：積分形式：d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J dVVE J d11()dd22VVtE DH B () dSE HS11()()22tE HE DH BE J 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式： 其中其中： 單位時(shí)間內(nèi)體積單位時(shí)間內(nèi)體積V 中所增加中所增加 的電

9、磁能量的電磁能量 單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所作的功；中的電流所作的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積為體積V內(nèi)總的損耗功率內(nèi)總的損耗功率 通過(guò)曲面通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V 的電磁功率的電磁功率 表征電磁能量守恒關(guān)系的定理表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：積分形式：d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J dVVE J d11()dd22VVtE DH B () dSE HS11()()22tE HE DH BE J 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式： 在線性和各向同性的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有在線性和各向同性

10、的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有將以上兩式相減，得到將以上兩式相減，得到由由DHJtBt DH JtBHHt DBHH JHtt 1()1()22D Dtttt1()1()22BHH HHHH Btttt 推證推證即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：()HHH 11()()22H DH B Jt 在任意閉曲面在任意閉曲面S 所包圍的體積所包圍的體積V上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE

11、 J 物理意義：物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過(guò)曲面單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的電磁能量等于的電磁能量等于 體積體積V 中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。 定義：定義： ( W/m2 )SH 物理意義物理意義： 的方向的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较螂姶拍芰總鬏數(shù)姆较騍 的大小的大小 通過(guò)垂直于能量傳輸方通過(guò)垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率S 描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量 坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）坡印廷矢量（電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢

12、矢量量 E 例例4.3.1 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流過(guò)的電，導(dǎo)體中流過(guò)的電流為流為I 。（。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)模┰趯?dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β?；（功率；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線同軸線 解解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存）在內(nèi)外導(dǎo)體

13、為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無(wú)切向分在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無(wú)切向分量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為,ln()UEeb a()ab2IHe2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量?jī)?nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源向負(fù)電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即

14、由電源向負(fù)載，如圖所示。載，如圖所示。2d2d2ln()bzSaUIPS eSUIb a 穿過(guò)任意橫截面的功率為穿過(guò)任意橫截面的功率為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況） （2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)向的電場(chǎng)內(nèi)內(nèi)2zJIEea根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，即根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為zzEE外 內(nèi)2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁場(chǎng)則仍為

15、磁場(chǎng)則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）22122320()d2d2SaIIPSSa zRIaa 外e21Ra式中式中 是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見(jiàn)，是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見(jiàn)，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外

16、側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。向分量，如圖所示。 以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。4. 5 時(shí)諧電磁場(chǎng)時(shí)諧電磁場(chǎng) 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù) 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程

17、 平均能流密度矢量平均能流密度矢量 時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念 如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。場(chǎng)。 研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義 在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣播、電視和通信廣播、電視和通信的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。的載波等都是時(shí)

18、諧電磁場(chǎng)。 任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅立葉分析方法展開(kāi)為任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅立葉分析方法展開(kāi)為不同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。不同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。4.5.1 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題得分析得以簡(jiǎn)化。題得分析得以簡(jiǎn)化。 設(shè)設(shè) 是一個(gè)以角頻率是一個(gè)以角頻率 隨時(shí)間隨時(shí)間t t 作正弦變化的場(chǎng)量，它作正弦變化的場(chǎng)量，它可以是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，可以是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成它與

19、時(shí)間的關(guān)系可以表示成( , )A r t 0( , )cos( )A r tAtr( )0( , )ReRe( )ejtrjtA r tA eA r其中其中( )0( )ejrA rA時(shí)間因子時(shí)間因子空間相位因子空間相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0為振幅、為振幅、 為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。( )r 實(shí)數(shù)表示法或?qū)崝?shù)表示法或瞬時(shí)表示法瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅復(fù)振幅 復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng)復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng) 真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式 由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用

20、寫出來(lái)，只用與坐標(biāo)有關(guān)由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫出來(lái)，只用與坐標(biāo)有關(guān) 的部份就可表示復(fù)矢量的部份就可表示復(fù)矢量照此法，矢量場(chǎng)的各分量照此法，矢量場(chǎng)的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 ( )( , )Re( )eReijtrjtiiimE r tE rE e( , )Re( )ejtmE r tEr( )( )( )( )( )( )( )yxzjrjrjrmxxmyymzzmEre Er ee Er ee Er e各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為 有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明復(fù)矢量復(fù)矢量 例例4.5.1 將下列場(chǎng)矢量的

21、瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式( , )cos()sin()xxmxyymyE z te Etkze Etkz（2）00( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta解解：（1）由于）由于( , )cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz(/2)()Reeeyxjt kzjt kzxxmyyme Ee E(/2)()( )eeyxjkzjkzmxxmyymEze Ee E()eyxjjjkzxxmyyme E ee jE e（1）所以所以（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?cos()c

22、os()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkz200( , )()sin()ecos()ejkzjjkzmxzaxxHx ze H ke Haa故故 00( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta所以所以 00()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza 例例4.5.2 已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量( )cos()mxxmzEze jEk z解解()2( , )Recos()eRecos()ejtxxmzjtxxmzE z te jEk ze E

23、k zcos()cos()2xxmze Ek zt其中其中kz和和Exm為實(shí)常數(shù)。寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量為實(shí)常數(shù)。寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量cos()sin()xxmze Ek zt 以電場(chǎng)旋度方程以電場(chǎng)旋度方程 為例，代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量，可得為例，代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量，可得BEtRe(e)Re(e)j tj tmmEBt Re(e)Re(e)Reej tj tj tmmmEBjBt mmEj B tRe 將將 、 與與 交換次序，得交換次序，得上式對(duì)任意上式對(duì)任意 t 均成立。令均成立。令 t0 ，得，得4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程ReRemmEjB 令令t/2 ，得，得R

24、eRe ()mmjEjjB ImIm()mmEjB 即即0mmmmmmmmHJjDEjBBD 0tt DHJBEBD0HJjDEjBDB 從形式上講，只要把微分算子從形式上講，只要把微分算子 用用 代替，就可以把時(shí)諧電磁代替，就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)的場(chǎng)量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量場(chǎng)的場(chǎng)量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程的麥克斯韋方程jtjt 略去略去“.”和下標(biāo)和下標(biāo)m 例題例題：已知正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為已知正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為),(),(),(21tzEtzEtzE8182( , )0.03sin(10)( , )0.04cos(10/

25、 3)xxEz tetkzEz tetkz式中式中888888(10/2)(10/3)(/2)(/3)( , )0.03sin(10)0.04cos(10/ 3)0.03cos(10)0.04cos(10/ 3)2Re0.03eRe0.04eRe0.03e0.04eexxxxjt kzjt kzxxj kzj kzjxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee810t 解解：（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?2/3( )0.030.04ejjjkzxE zeee故電場(chǎng)的復(fù)矢量為故電場(chǎng)的復(fù)矢量為試求：（試求：（1）電場(chǎng)的復(fù)矢量）電場(chǎng)的復(fù)矢量;（2）磁場(chǎng)的復(fù)矢量和瞬時(shí)值。）磁場(chǎng)的復(fù)矢量和瞬時(shí)值。（2）由

26、復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場(chǎng)的復(fù)矢量）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場(chǎng)的復(fù)矢量0032054321( )( )0.03e0.04ee7.6 10e1.01 10eexyjjjkzyjjjkzyEjH zE zejzkee k 58( , )Re( )e7.6 10sin(10)j tyH z tH ze ktkz481.01 10cos(10)3tkz磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗：實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗： 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí)，存在歐姆損耗當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí)，存在歐姆損耗 電介質(zhì)電介質(zhì)受到極化時(shí)，存在電極化損耗受到極化時(shí)，存在電極化損耗 磁介質(zhì)磁介質(zhì)受到磁化時(shí)，存

27、在磁化損耗受到磁化時(shí)，存在磁化損耗 損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì) 的損耗在低頻時(shí)可以忽略，但在高頻時(shí)就不能忽略。的損耗在低頻時(shí)可以忽略，但在高頻時(shí)就不能忽略。4.5.3 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 ()cjjjj HEEEE 導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù) 對(duì)于介電常數(shù)為對(duì)于介電常數(shù)為 、電導(dǎo)率為、電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)，有的導(dǎo)電媒質(zhì)，有其中其中 c= -j/、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。 電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù) 對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有對(duì)于存在電

28、極化損耗的電介質(zhì)，有 ，稱為復(fù)介電，稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。 cj 同時(shí)存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)同時(shí)存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì) 對(duì)于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)對(duì)于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為為 (+)cj 磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率 對(duì)于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為對(duì)于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為 ，其虛部為大于零，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。的數(shù)，表示

29、磁介質(zhì)的磁化損耗。 cj 損耗角正切損耗角正切 工程上通常用損耗角正切來(lái)表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為工程上通常用損耗角正切來(lái)表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比，即有復(fù)介常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比，即有 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對(duì)性導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對(duì)性 導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對(duì)性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對(duì)性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。tantan，電介質(zhì)電介質(zhì)tan，導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì)磁介質(zhì)1 弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體1 一般導(dǎo)電媒質(zhì)一般導(dǎo)電媒質(zhì)1 良導(dǎo)體良導(dǎo)體4.5.4 亥

30、姆霍茲方程亥姆霍茲方程 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)理想介質(zhì) 在時(shí)諧時(shí)情況下，將在時(shí)諧時(shí)情況下，將 、 ，即可得到復(fù)矢即可得到復(fù)矢量的波動(dòng)方程，稱為亥姆霍茲方程。量的波動(dòng)方程，稱為亥姆霍茲方程。222t jt 瞬時(shí)矢量瞬時(shí)矢量復(fù)矢量復(fù)矢量222200kkEEHH()k 22222200ttEEHH()cck 22222200ttttEEEHHH222200cckkEEHH4.5.5 時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù) 在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。表示成復(fù)數(shù)形式。t BAAE洛侖茲條件洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾

31、方程瞬時(shí)矢量瞬時(shí)矢量復(fù)矢量復(fù)矢量j BAEAj At A222222tt AAJ2222kk AAJ4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 時(shí)諧場(chǎng)中時(shí)諧場(chǎng)中二次式的表示方法二次式的表示方法 二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場(chǎng)量必須是實(shí)數(shù)形二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場(chǎng)量必須是實(shí)數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量直接代入。式，不能將復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量直接代入。00( , )cos( )( , )cos( )ttttE rErH rHr 設(shè)某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為設(shè)某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為 電磁場(chǎng)能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場(chǎng)

32、量的平方電磁場(chǎng)能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場(chǎng)量的平方 關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。則能流密度為則能流密度為 200cos( )tSEHEHr如把電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有如把電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有( )0( )ejrE rE( )0( )ejrH rH( )( )002( )0000Re( ee)ReeeRe ecos 22 ( )jtjtj tj tjttrrrSEHEHEHEHr( )( )00200ReeReecos( )jtjttrrSEHEHr先取實(shí)部，再代入先取實(shí)部，再代入 使用二次式時(shí)需要注意的問(wèn)題使用二次式時(shí)需要注意的問(wèn)題

33、 二次式只有實(shí)數(shù)的形式，沒(méi)有復(fù)數(shù)形式二次式只有實(shí)數(shù)的形式，沒(méi)有復(fù)數(shù)形式 場(chǎng)量是實(shí)數(shù)式時(shí)，直接代入二次式即可場(chǎng)量是實(shí)數(shù)式時(shí)，直接代入二次式即可 場(chǎng)量是復(fù)數(shù)式時(shí)，應(yīng)先取實(shí)部再代入，即場(chǎng)量是復(fù)數(shù)式時(shí)，應(yīng)先取實(shí)部再代入，即“先取實(shí)后相乘先取實(shí)后相乘” 如復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量中沒(méi)有時(shí)間因子，取實(shí)前先補(bǔ)充時(shí)間因子如復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量中沒(méi)有時(shí)間因子，取實(shí)前先補(bǔ)充時(shí)間因子 二次式的時(shí)間平均值二次式的時(shí)間平均值 在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，常常要在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，常常要關(guān)心關(guān)心二次式二次式在一個(gè)時(shí)間周期在一個(gè)時(shí)間周期 T 中中的的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量0011d()dTTavtEHtTTSS平均電場(chǎng)能量

34、密度平均電場(chǎng)能量密度00111dd2TTeavewwtE D tTT平均磁場(chǎng)能量密度平均磁場(chǎng)能量密度00111dd2TTmavmwwtH B tTT 在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，二次式在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，二次式的時(shí)間平均值可以直接由復(fù)矢量計(jì)的時(shí)間平均值可以直接由復(fù)矢量計(jì) 算，有算，有1Re() ,2avEHS1Re()4mavwH B1Re() ,4eavwE D則平均能流密度矢量為則平均能流密度矢量為 2000000111()dcos ( )d2TTavttrtTTSEHEHEH如果電場(chǎng)和磁場(chǎng)都用復(fù)數(shù)形式給出，即有如果電場(chǎng)和磁場(chǎng)都用復(fù)數(shù)形式給出，即有 ( )0( )0( )e( )ejjrrE rEH rH

35、001Re( e) Re(e)2j tj tavavSEHEH*1Re()2avSEH( )( )000011Reee22jjrrEHEH時(shí)間平均值與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)間平均值與時(shí)間無(wú)關(guān)00( , )cos( ),( , )cos( )ttttE rErH rHr 例如某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度例如某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度都用實(shí)數(shù)形式給出都用實(shí)數(shù)形式給出 具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場(chǎng)，也適用于其它具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場(chǎng)，也適用于其它 時(shí)變電磁場(chǎng)；而時(shí)變電磁場(chǎng)；而 只適用于時(shí)諧電磁場(chǎng)。只適用于時(shí)諧電磁場(chǎng)。 ( , ) tS r( )avSr 在在 中，中， 和和 都是實(shí)數(shù)

36、形式且是都是實(shí)數(shù)形式且是 時(shí)間的函數(shù)，所以時(shí)間的函數(shù)，所以 也是時(shí)間的函數(shù)，反映的是能流密度也是時(shí)間的函數(shù)，反映的是能流密度 在某一個(gè)瞬時(shí)的取值；而在某一個(gè)瞬時(shí)的取值；而 中的中的 和和 都是復(fù)矢量，與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以都是復(fù)矢量，與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以 也與時(shí)間無(wú)也與時(shí)間無(wú) 關(guān)，反映的是能流密度在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)的平均取值。關(guān)，反映的是能流密度在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)的平均取值。( , )( , )( , )tttS rE rH r( , ) tH r( , ) tE r( , ) tS r1( )Re( )( )2avSrE rHr( )E r( )H r( )avSr01( )( , )dTavttTSrS r 利用利用 ，可由，可由 計(jì)算計(jì)算 ，但不能直，但不能直 接由接由 計(jì)算計(jì)算 ，也就是說(shuō)，也就是說(shuō)( , ) tS r( )avSr( )avSr( , ) tS r( , )Re( )ej tavtS rSr( , ) tS r( )avSr 關(guān)于關(guān)于 和和 的幾點(diǎn)說(shuō)明的幾點(diǎn)說(shuō)明 例例4.5.4已知無(wú)源的自由空間中，電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量已知無(wú)源的自由空間中，電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為為 ，其中，其中k 和和 E0 為常數(shù)。求：為常數(shù)。求：（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢）磁場(chǎng)強(qiáng)