初二軸對(duì)稱圖形難題總結(jié)新選

1、初二軸對(duì)稱圖形難題總結(jié)如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點(diǎn)A在。O上，/ACD=30,B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，貝UBP+AP的最小值為.（2）知識(shí)拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過(guò)程.2.（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（1）:若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P,使AP+

2、BP的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B；連接AB',與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,線段AB'的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值.*印RD匕圜）圖3）如圖（2）:在等邊三角形ABC中，AB=2,點(diǎn)E做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小,C或AD一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（3）:已知。的直徑CD為2,&C的度數(shù)為值最小，貝UBP+AP的值最小，貝UBP+AP的最小值為小二。阿（3）圖（4）飛（3）拓展延伸如圖（4）:點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別

3、在邊AB痕跡，/、寫作法.如圖（1）,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？60°,點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P,使BP+AP的BC上作出點(diǎn)M,點(diǎn)N,使PM+PN+MN的值最小，保留作圖A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法.他把管道l看成一條直線（圖（2）,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'.連接AB'交直線l于點(diǎn)巳則點(diǎn)P為所求.請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題.如圖

4、在4ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，BC=6,BC邊上的高為4,請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)巳使4PDE得周長(zhǎng)最小.（1）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）請(qǐng)直接寫出4PDE周長(zhǎng)的最小值：.4 .（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A,B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小.做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB',與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)巳使BP+PE的值最小.做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就

5、是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為.（2如（c）圖，已知。的直徑CD為4,/AOD的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是疝的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)巳使/APB=/APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.（處W仙5 .幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).2/32'sVc,/L一圖1圖3問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A狡l于點(diǎn)巳則PA+PB=AB的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形A

6、BCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接BD,由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于巳則PB+PE的最小彳1是;(2)如圖2,。的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。O上，OA，OB,/AOC=60,P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；(3)如圖3,/AOB=45,P是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求4PQR周長(zhǎng)的最小值.6.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,-3),B(4,-1).(1)若P(p,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p=時(shí)，4PAB的周長(zhǎng)最短；(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

7、則當(dāng)a=時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短；(3)設(shè)M,N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M(m,0)、N(0,n),使四邊形ABMN的7.需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，使飛機(jī)場(chǎng)到A,B兩個(gè)城市的距離之和最小，請(qǐng)作出機(jī)場(chǎng)的位置.周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m=,n=(不必寫解答過(guò)程)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.8 .如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角ZAON=30；新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.(1)新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為;(2)現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開發(fā)區(qū)A,B修兩條公路PA,PB,使點(diǎn)P到新開發(fā)區(qū)A

8、,B的距離之和最短.此時(shí)PA+PB=(千米).VCoM3/329 .如圖：(1)若把圖中小人平移，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)B,請(qǐng)你在圖中畫出平移后的小人；(2)若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后，再游到B,但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點(diǎn)P的位置.!iA11L_111鼻.*.T111汨十咨十1'1-114一11I1n;Hh-5J1'H:HJi110 .如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1A1的對(duì)稱軸為y軸.(1)請(qǐng)畫出：點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A2、B2(應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明)；(2)連接A1A2、B1B2(其中A2、B2為(1)中所畫

9、的點(diǎn))，試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2;(3)設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,4)、B(-4,2),連接(1)中A2B2,試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)C,使4A1B1C與4A2B2c的周長(zhǎng)之和最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)(不必說(shuō)明周長(zhǎng)之和最小的理由)；若不存在，11 .某大型農(nóng)場(chǎng)擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠，將該農(nóng)場(chǎng)兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益.請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置C,使A、B兩地到加工廠C的運(yùn)輸路程之和最短.(要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)12 .閱讀理解如圖1,4ABC中，沿/BAC的平分線A

10、B1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次4/32恰好重合，/BAC是ABC的好角.小麗展示了確定ZBAC是ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角/BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合.探究發(fā)現(xiàn)(1)4ABC中，/B=2/C,經(jīng)過(guò)兩次折疊，/BAC是不是4ABC的好角？(填是"或不是“).(2)

11、小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了/BAC是4ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄?B與/C(不妨設(shè)/B>/C)之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊/BAC是4ABC的好角，則/B與/C(不妨設(shè)/B>/C)之間的等量關(guān)系為應(yīng)用提升(3)小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15。、60。、105°,發(fā)現(xiàn)60。和105。的兩個(gè)角都是此三角形的好角.請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角.13 .如圖，4ABC中AB=AC,BC=6,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相

12、同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE、DE、CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由；14 .(2012?東城區(qū)二模)已知：等邊ABC中，點(diǎn)O是邊AC,BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M,N分別在直線AC,BC上，且/MON=60.(1)如圖1,當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請(qǐng)寫出AM、CNMN三者之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,當(dāng)CWCN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在邊

13、AC上，點(diǎn)N在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.5/3215.如圖，線段CD垂直平分線段求證：DE=DFAB,CA的延長(zhǎng)線交BD的延長(zhǎng)線于E,CB的延長(zhǎng)線交AD的延長(zhǎng)線于F,16.如圖，在4ABC和4DCB中,AB=DC,AC=DB,AC與DB交于點(diǎn)M.求證:(1)AABCADCB;(2)點(diǎn)M在BC的垂直平分線上.AD于D,E為垂足，DFLAB于F,且AB>AC,求證：BF=AC+AF17 .如圖，4ABC的邊BC的垂直平分線DE交ABAC的外角平分線P,彳PCAB,PL.XAC,垂足分別是K、L,18 .已知ABC的角平分線AP與邊BC的垂直平分線PM

14、相交于點(diǎn)求證：BK=CLA、B的距離必須相等，且到兩條公路m、19 .某私營(yíng)企業(yè)要修建一個(gè)加油站，如圖，其設(shè)計(jì)要求是，加油站到兩村6/32（要有作圖痕跡）n的距離也必須相等，那么加油站應(yīng)修在什么位置，在圖上標(biāo)出它的位置.ZA=120°,BC=9cm,AB的垂直平分線MN交BC于M,交AB于N,求BM的長(zhǎng).21.如圖，在4ABC中，/BAC的平分線與BC的垂直平分線PQ相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分另作PNLAB于N,PMXAC于點(diǎn)M,求證：BN=CM.22.如圖己知在ABC中，Z0=90°,ZB=15°,DE垂直平分AB,E為垂足交BC于D,BD=16cm,求AC長(zhǎng).參考答

15、案與試題解析一.解答題（共22小題）1.（2013?日照）問(wèn)題背景：如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.7/32（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點(diǎn)A在。O上，/ACD=30,B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn),貝UBP+AP的最/、值為2-萬(wàn)（2）知識(shí)拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),求BE+EF的最小值，并寫出解答過(guò)程.考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線

16、問(wèn)題.3113559分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置.根據(jù)題意先求出/C'AE再根據(jù)勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊AC上截取AB'=AB連結(jié)BB',再過(guò)點(diǎn)B作B'LAB,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE,則線段B'的長(zhǎng)即為所求.解答：解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P此時(shí)PA+PB最小，且等于AE.作直徑AC,連接C'E根據(jù)垂徑定理得弧BD=MDE./ACD=30,°/AOD=60；DDOE=30；/AOE=90,

17、°/CAE=45°又AC為圓的直徑，ZAEC=90；CC1CC1AE=45°.Ce=aE=ac匹即AP+BP的最/、值是2n.故答案為：2/2；（2）如圖，在斜邊AC上截取AB'=AB連結(jié)BB'. .AD平分ZBAC, 點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于直線AD對(duì)稱.過(guò)點(diǎn)B作B'1AB,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE,則線段B'的長(zhǎng)即為所求.（點(diǎn)到直線的距離最短）在RtAFB中，./BAC=45,AB'=AB=10嗎 .B/F=AB，？sin45°=AB?s蕭455V=10XBE+EF的最/、值為2.8/32點(diǎn)評(píng):此題主要考查了利用軸

18、對(duì)稱求最短路徑問(wèn)題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.2.（2013?六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（1）:若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B；連接AB',與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,線段AB'的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值.宜1)國(guó)U)如圖（2）:在等邊三角形ABC中，AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小,做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為Vs（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（3）

19、:已知。O的直徑CD為2,g的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是度的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P,使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為及（3）拓展延伸如圖（4）:點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊ARBC上作出點(diǎn)M,點(diǎn)N,使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法.9/32考點(diǎn)：圓的綜合題；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.3113559專題：壓軸題.分析：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值；由AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE1AB,/BCE=?/BCA=30,BE=1,再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=/3;(2)

20、實(shí)踐運(yùn)用：過(guò)B點(diǎn)作弦BEXCD,連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB,根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱，則AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值；由于AC的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)得到ZBOC=30,ZAOC=60,所以/AOE=60+30°=90°,于是可判斷4OAE為等腰直角三角形，則AE=/2OA=/2;(3)拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱點(diǎn)E和F,然后連結(jié)EF,EF交AB于M、交BC于N.解答：解：(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖(2),CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值，.在等邊三角形ABC中，AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)1.-.C

21、E±AB,/BCE=2/BCA=30；BE=1,.，ce=be='/3；故答案為.二;(2)實(shí)踐運(yùn)用如圖(3),過(guò)B點(diǎn)作弦BEXCD,連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB,.BEXCD,CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱， AC的度數(shù)為60；點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，/BOC=30,°/AOC=60；/EOC=30,°/AOE=60，30=90； .OA=OE=1, .AE=：%OA=.AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值.故答案為-二:；(3)拓展延伸如圖(4).10/32點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何

22、證明中經(jīng)常用到，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題.3. （2012?涼山州）在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題.如圖（1）,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法.他把管道l看成一條直線（圖（2）,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的:作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'.連接AB'交直線l于點(diǎn)巳則點(diǎn)P為所求.請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題.如圖在4AB

23、C中，點(diǎn)D、E分別是ABAC邊的中點(diǎn)，BC=6,BC邊上的高為4,請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)巳使4PDE得周長(zhǎng)最小.（1）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）請(qǐng)直接寫出4PDE周長(zhǎng)的最小值：8.考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.3113559專題：壓軸題.分析：（1）根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D',連接D'¥與BC交于點(diǎn)P,P點(diǎn)即為所求；（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出D'的值，即可得出答案.解答：解：（1）作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D',連接D'¥與BC交于點(diǎn)P,P點(diǎn)即為所求；（2

24、）二點(diǎn)D、E分別是ARAC邊的中點(diǎn),.DE為4ABC中位線，11/32.BC=6,BC邊上的高為4,.DE=3,DD'=4.DE=|,'1'，；'=5,.PDE周長(zhǎng)的最小值為：DE+D'E=3+5=8故答案為：8.點(diǎn)評(píng):PDE周長(zhǎng)的最小此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑以及三角形中位線的知識(shí)，根據(jù)已知得出要求值，求出DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵.4. （2010?淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A,B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小.做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB',與直線l的交點(diǎn)就是所求

25、的點(diǎn)P.再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)巳使BP+PE的值最小.做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為啟.（2）實(shí)踐運(yùn)用：如（c）圖，已知。的直徑CD為4,/AOD的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是疝的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)巳使/APB=/APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.3113559分析：（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)

26、知，CE1AB,在直角4BCE中，/BEC=90BC=2BE=1,由勾股定理可求出CE的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)果；（2）要在直徑CD上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小，設(shè)A'是A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接A'B與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.此時(shí)PA+PB=AB是最小值，可證AOAB是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果.（3）畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B',延長(zhǎng)DB交AC于點(diǎn)P.則點(diǎn)P即為所求.解答:解:1)BP+PE的最小值=，：12/32(2)作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'H交CD于點(diǎn)巳連接OA,AA',OB. 點(diǎn)A與A關(guān)于CD對(duì)稱，/AOD的度數(shù)為60°,

27、./A'OD=AOD=60；PA=PA,' .點(diǎn)b是AD的中點(diǎn)，/BOD=30；./A'OB=A'OD+BOD=90,°.OO的直徑CD為4, .OA=OA'=2.A'B=史. .PA+PB=PA'+PB=A'Z.B=2(3)如圖d:首先過(guò)點(diǎn)B作BBXAC于O,且OB=OB,連接DB并延長(zhǎng)交AC于P.(由AC是BB'的垂直平分線，可得/APB=/APD).點(diǎn)評(píng)：此題主要考查軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，解決此類問(wèn)題，一般都是運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將求折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段問(wèn)題，其說(shuō)明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊.5.

28、(2009?漳州)幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'狡l于點(diǎn)巳則PA+PB=AB的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接BD,由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于巳則PB+PE的最小值是；(2)如圖2,。的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。O上，OA.LOB,/AOC=60,P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；(3)如圖3,/AOB=45,P是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10,Q、R

29、分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求4PQR周長(zhǎng)的最小值.考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.3113559專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.分析：(1)由題意易得PB+PE=PD+PE=DE在ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；(2)作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'C交OB于P,求A'的勺長(zhǎng)，即是PA+PC的最小值;13/32(3)作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)M,關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN,它分別與OA,OB的交點(diǎn)Q、R,這時(shí)三角形PEF的周長(zhǎng)=MN,只要求MN的長(zhǎng)就行了.解答：解：(1)二.四邊形ABCD是正方形，AC垂直平分BD,，PB=PD,由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE在A

30、DE中，根據(jù)勾股定理得，DE=J22+12=而；(2)作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'，交OB于P,PA+PC勺最小彳直即為A'的勺長(zhǎng)，/AOC=60°./A'OC=120°作OD±A'什D,則/A'OD=60.OA'=OA=2.A'畫.VC=2；(3)分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N,連接OM、ON、MN,MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R,連接PRPQ,此時(shí)4PQR周長(zhǎng)的最小值等于MN.由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10,/MOA=/POA,/NOB=/POB,./MON=2/AOB=2X4

31、590；即PQR周長(zhǎng)的最小值等于1小歷.此題綜合性較強(qiáng)，主要考查有關(guān)軸對(duì)稱-最短路線的問(wèn)題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識(shí).在RtAMON中，MnNoh'+ON”10，+102=10x2.點(diǎn)評(píng):6. (2006?湖州)如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,-3),B(4,-1).7(1)若P(p,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p=2時(shí)，4PAB的周長(zhǎng)最短；(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a=4時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短；(3)設(shè)M,N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M(m,0)、N(0,n),使四邊形ABM

32、N的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m=2,n=-3(不必寫解答過(guò)程)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.14/32考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).3113559專題：壓軸題.分析：(1)根據(jù)題意，設(shè)出并找到B(4,-1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B',其坐標(biāo)為(4,1),進(jìn)而可得直線AB'的解析式，進(jìn)而可得答案；(2)過(guò)A點(diǎn)作AE，x軸于點(diǎn)E,且延長(zhǎng)AE,取A'E=AE做點(diǎn)F(1,-1),連接A'F.利用兩點(diǎn)間的線段最短，可知四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短等于A'F+CD+AB,從而確定C點(diǎn)的坐標(biāo)值.回國(guó)(3)根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形ABMN周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M、N,當(dāng)

33、且僅當(dāng)m=2,n=-3;時(shí)成立.解答：解：(1)設(shè)點(diǎn)B(4,-1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B',其坐標(biāo)為(4,1),設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b,r2k+b=-3把A(2,-3),B'(4,1)代入得：=1,k毛解得1b二一7,y=2x-7,7令y=0得x=2,即p=2.A'(2,(2)過(guò)A點(diǎn)作AE±x軸于點(diǎn)E,且延長(zhǎng)AE,取A'E=AE.做點(diǎn)F(1,-1),連接A'F.那么3).直線A'F的解析式為L(zhǎng)-i=3"Cx-i),即y=4x-5,.C點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0),且在直線A'F上,5-a=4a-(3)存在使四

34、邊形ABMN周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M、N,作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A',作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B',連接A'B'與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N,A'(2,-3),B'(4,1),2至直線A'的解析式為：y-3x-3,.M(2,0),N(0,-3)15/32m=£,n=一>.點(diǎn)評(píng):考查圖形的軸對(duì)稱在實(shí)際中的運(yùn)用，同時(shí)考查了根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線解析式，運(yùn)用解析式求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識(shí).A,B兩個(gè)城市的距離之和最小，請(qǐng)作出機(jī)場(chǎng)的7. (2007?慶陽(yáng))需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，使飛機(jī)場(chǎng)到考點(diǎn)專題分析解答軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.31135

35、59作圖題.A關(guān)于公路的對(duì)稱點(diǎn)A,連接A'B與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置.利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可作點(diǎn)點(diǎn)評(píng):本題主要是利用軸對(duì)稱圖形來(lái)求最短的距離.用到的知識(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短.8. (2006?貴港)如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角ZAON=30,新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.(1)新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為8;(2)現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開發(fā)區(qū)A,B修兩條公路PA,PB,使點(diǎn)P到新開發(fā)區(qū)A,B的距離之和最短.此時(shí)PA+PB=14（千米）.NC（9V16/32考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.3113559專題

36、：計(jì)算題；壓軸題.分析：(1)先求出OB的長(zhǎng)，從而得出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離.(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得EF=CD=BC=3AF=AE+EF=AE+BC=1,1再根據(jù)余弦概念求解.解答：解：(1)BC=3,ZAOC=30,.OB=6.過(guò)點(diǎn)A作AE±MN于點(diǎn)E,AO=AB+OB=1Q.AE=8.即新開發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；（2）過(guò)D作DF,AE的延長(zhǎng)線（點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)），垂足為F.則EF=CD=BC=3AF=AE+EF=AE+BC=1,1過(guò)B作BGJ±AE于G,.BG=DF, BG=AB?cos305 ?連接PB,貝UPB=PD, .PA+PB

37、=PA+PD=AD=14千米）.點(diǎn)評(píng):此題主要考查學(xué)生利用軸對(duì)稱的性質(zhì)來(lái)綜合解三角形的能力.9. (2006?巴中)如圖：(1)若把圖中小人平移，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)B,請(qǐng)你在圖中畫出平移后的小人；(2)若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后，再游到B,但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點(diǎn)P的位置.17/3211一一111-*11.J44-rq1iNq4-4-44-k：>1;:11'1-11111L11A11q4u-L.i|)141IIur4;:;1；!；i1；一二一:一，一，一工_；：；11：J-:1考點(diǎn):專題:分析:解答:點(diǎn)評(píng):軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；作圖-軸對(duì)

38、稱變換；作圖-平移變換.3113559作圖題.根據(jù)平移的規(guī)律找到點(diǎn)B,再利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),連接A1B與l相交于點(diǎn)P,即為所求.解:本題考查的是平移變換與最短線路問(wèn)題.最短線路問(wèn)題一般是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解題，通過(guò)作軸對(duì)稱圖形，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可求出所求的點(diǎn).作平移圖形時(shí)，找關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步.平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)；確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；利用第一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；按原圖形順序依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形即為平移后的圖形.10. （2003?泉州）如圖，在直角坐標(biāo)

39、系中，等腰梯形ABB1A1的對(duì)稱軸為y軸.（1）請(qǐng)畫出：點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A2、B2（應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（2）連接A1A2、B1B2（其中A2、B2為（1）中所畫的點(diǎn)），試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2;（3）設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2,4）、B（-4,2）,連接（1）中A2B2,試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)C,使4A1B1C與4A2B2c的周長(zhǎng)之和最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（不必說(shuō)明周長(zhǎng)之和最小的理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18/32考點(diǎn)：作圖-軸對(duì)稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.3113559專題：作圖題；證明題；壓軸題

40、；探究型.分析：(1)根據(jù)中心對(duì)稱的方法，找點(diǎn)A2,B2,連接即可.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)依題意與(1)可得A1(-x1,y1),B1(-x2,y2),A2(-x1,-y1),B2(-x2,-y2),得到A1、B1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A2、B2,所以x軸垂直平分線段A1A2、B1B2.(3)根據(jù)A1與A2,B1與B2均關(guān)于x軸對(duì)稱，連接A2B1交x軸于C,點(diǎn)C為所求的點(diǎn).根據(jù)題意得B1(4,2),A2(2,4)設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法.解得b=，所以可求直線A2B1的解析式101010為y=3xT0.令y=0,得x=3,所以C的坐標(biāo)為(3,0).即

41、點(diǎn)C(3,0)能使4A1B1C與A2B2c的周長(zhǎng)之和最小.解答：解：(1)如圖，A2、B2為所求的點(diǎn).(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)依題意與(1)可得A1(-x1,y1),B1(-x2,y2),A2(-x1,-y1),B2(-x2,-y2).A1、B1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A2、B2,，x軸垂直平分線段A1A2、B1B2.(3)存在符合題意的C點(diǎn).由(2)知A1與A2,B1與B2均關(guān)于x軸對(duì)稱，連接A2B1交x軸于C,點(diǎn)C為所求的點(diǎn).A(-2,4),B(-4,2)依題意及(1)得：B1(4,2),A2(2,-4).r4kb=2設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b貝U有4fk?解得b=-

42、1°直線A2B1的解析式為y=3x-10,10令y=0,得x=*,19/3210，C的坐標(biāo)為（3,0）10綜上所述，點(diǎn)0（3,0）能使4A1B1C與4A2B2c的周長(zhǎng)之和最小.點(diǎn)評(píng):主要考查了軸對(duì)稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì).要知道對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線.會(huì)根據(jù)此性質(zhì)求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.11. （2001?宜昌）某大型農(nóng)場(chǎng)擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠，將該農(nóng)場(chǎng)兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益.請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置工廠C的運(yùn)輸路程之和最短.（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不

43、寫作法和證明）C,使A、B兩地到加考點(diǎn)專題分析解答軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.3113559作圖題.作A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)E,連接BE交直線L于C,則C為所求.點(diǎn)評(píng):本題主要考查對(duì)軸對(duì)稱-最短路線的問(wèn)題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵,12. （2012?淮安）閱讀理解如圖1,4ABC中，沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是ABC的好角.小麗展示了確定/BAC是ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿

44、等腰三角形ABC頂角/BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合.探究發(fā)現(xiàn)（1）4ABC中，/B=2/C,經(jīng)過(guò)兩次折疊，/BAC是不是4ABC的好角？是（填是“或不是“）.20/32（2）小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了/BAC是4ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄?B與/C（不妨設(shè)/B>/C）之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊/BAC是4ABC的好角，則/B與/C（不妨設(shè)/B>/C）之間的等量關(guān)系為/B=nZC.應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15。、

45、60。、105°,發(fā)現(xiàn)60。和105。的兩個(gè)角都是此三角形的好角.請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角.mi闔2度Im考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）.3113559專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：（1）在小麗展示的情形二中，如圖3,根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知/B=2/C;（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知/A1A2B2=/C+/A2B2c=2ZC;根據(jù)四邊形的外角定理知/BAC+2ZB-2c=180，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知/BAC+/B+ZC=180°由可以求得/B=3/C;利用數(shù)

46、學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：/B=nZC;（3）利用（2）的結(jié)論知/B=n/C,/BAC是4ABC的好角，ZC=nZA,/ABC是ABC的好角，ZA=nZB,/BCA是4ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù)可以是4、172;8、168;16、160;44、132;88°、88°.解答：解：（1）4ABC中，/B=2/C,經(jīng)過(guò)兩次折疊，/BAC是4ABC的好角；理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，/ B=/AA1B1;又.將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合，/ A1B1C=ZC

47、;/AA1B1=/C+/A1B1C（外角定理）,，/B=2/C,/BAC是ABC的好角.故答案是：是；（2） /B=3/C;如圖所示，在4ABC中，沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿/B2A2c的平分線A2B3折疊，點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合，則/BAC是4ABC的好角.證明如下：二.根據(jù)折疊的性質(zhì)知，/B=/AA1B1,/C=/A2B2C,ZA1B1C=ZA1A2B2,，根據(jù)三角形的外角定理知，ZA1A2B2=ZC+ZA2B2C=2ZC;.根據(jù)四邊形的外角定理知，ZBAC+ZB+ZAA1B1-/A1B1C=ZBAC+2Z

48、B-2/C=180,°根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，/BAC+ZB+ZC=18CF,/B=3/C;由小麗展示的情形一知，當(dāng)/B=/C時(shí)，/BAC是4ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)/B=2/C時(shí)，/BAC是4ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)/B=3/C時(shí)，/BAC是4ABC的好角；故若經(jīng)過(guò)n次折疊/BAC是4ABC的好角，則/B與/C（不妨設(shè)ZB>ZC）之間的等量關(guān)系為ZB=nZC;21/32(3)由(2)知設(shè)/A=4°,./C是好角，./B=4n°:/A是好角，/C=m/B=4mn°其中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180，如果

49、一個(gè)三角形的最小角是4°,三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是4、172;8、168;16、160;44、132;88°、88°.點(diǎn)評(píng):.解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理本題考查了翻折變換(折疊問(wèn)題)以及折疊的性質(zhì).難度較大.13.(2013?青羊區(qū)一模)如圖，4ABC中AB=AC,BC=6,5,點(diǎn)p從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE、DE、C

50、D中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由;考點(diǎn)專題分析等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).3113559幾何綜合題；壓軸題；分類討論.(1)過(guò)點(diǎn)P做PF平行與AQ,由平行我們得出一對(duì)同位角和一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的相等，再由AB=AC,根據(jù)等邊對(duì)等角得角B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對(duì)等邊得BP=PF又因點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同即BP=CQ等量彳弋換得PF=CQ在加上對(duì)等角的相等，證得11三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊邊相等得出DF=CD=CF,而又因P是AB的中點(diǎn)，PF/AQ得出F是BC的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)已知的BC的長(zhǎng)，求出CF,即

51、可得出CD的長(zhǎng).(2)分兩種情況討論，第一種情況點(diǎn)P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得一問(wèn)的全等可知EF+FFBEHK二）改二3DF=CR所以ED=,得出線段DE的長(zhǎng)為定值;BE=EF再又第第二種情況，M,根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角PMBABC等于角PMB,根據(jù)等角對(duì)等邊得到PMP在BA的延長(zhǎng)線上，作PM平行于AC交BC的延長(zhǎng)線于等于角ACB,而角ACB等于角ABC,根據(jù)等量代換得到角等于PB,根據(jù)三線合一，得到BE等于EM,同理可得4PMD全等于4QUD,得到CD等于DM,根據(jù)DE等于EMMDM,把EM換為BC加CM的一半，化簡(jiǎn)后得到值為定值.解答：解：(1)如圖，過(guò)P點(diǎn)作PF/

52、AC交BC于F,點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同,.BP=CQ1.PF/AQ,/PFB=ZACB,/DPF=ZCQD,又AB=AC,/B=ZACB,22/32/B=/PFB,，BP=PFPF=CQ又/PDF=ZQDC, 證得PFgQCD, .DF=CD=：CF,又因P是AB的中點(diǎn)，PF/AQ,1 .F是BC的中點(diǎn)，即FC=2bC=3,1 3.CD=2cf=2；(2)分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段如圖，如果點(diǎn)P在線段AB上，過(guò)點(diǎn)P作PF/AC交BC于F,PBF為等腰三角形，.PB=PFBE=EF.PF=CQFD=DC,EF+FDRE+DC二為C=3.ED=上,二.ED為定值，/PMC=

53、ZACB,又AB=AC,/B=ZACB,/B=/PMC,PM=PB,根據(jù)三線合一得BE=EM,同理可得PMDQCD,所以CD=DM,-D忙3+DM-DM二3綜上所述，線段ED的長(zhǎng)度保持不變.23/32點(diǎn)評(píng):此題考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判斷與性質(zhì),題.考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,是一道綜合考點(diǎn):分析:解答:14.(2012?東城區(qū)二模)已知：等邊ABC中，點(diǎn)O是邊AC,BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M,N分別在直線AC,BC上，且/MON=60.(1)如圖1,當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請(qǐng)寫出AM、CNMN三者之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,當(dāng)CWCN時(shí)，M、N分別在邊AC、

54、BC上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).3113559(1)在AM上截取AN=CN連接ON,OC,OA,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線得出/OCN=/OAN'=30OC=OA證OCNOAN推出ON=ON；/CON=/AON',求出/NOM=/MON',根據(jù)SASffiMONAMON,推出MN=MN,即可求出答案；(2)結(jié)論還成立，證明過(guò)程與(1)類似；(3)結(jié)論是MN=CN+A

55、M,延長(zhǎng)CA至UN',使AN=CN連接OC,OA,ON，證OCNAOAN推出ON=ON,/CON=/AON；求出/NOM=/MON',根據(jù)SAS證MONMON',推出MN=MN',即可求出答案；解：(1)MN=AM-CN,理由是：在AM上截取AN=CN連接ON,OC,OA,.O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，ABC是等邊三角形,OC=OAO也是等邊三角形三個(gè)角的平分線交點(diǎn)，/OCA=ZOAB=ZOCN=2x6=30；/AOC=180-30°-30=120；24/32/NCO=ZCAN； 在4OCN和OAN中0C=0AZNC0=Z0ANJ,AN，=CK .OCNOAN'(SAS, .ON'=ONZCON=ZAON； /COA=120；/NOM=60°, /CON+ZCOM=60°, /AO