彈性力學試卷試題含標準規(guī)范答案

1、彈性力學與有限元分析復習題及其答案一、填空題1、彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、形變和位移。2、在彈性力學中規(guī)定，線應變以伸長時為正，縮短時為負，與正應力的正負號規(guī)定相適應。3、在彈性力學中規(guī)定，切應變以直角變小時為正，變大時為負，與切應力的正負號規(guī)定相適應。4、物體受外力以后， 其內部將發(fā)生內力，它的集度稱為應力。與物體的形變和材料強度直接有關的，是應力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應力和切應力。應力及其分量的量綱是 L-1MT-2 。5、彈性力學的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應力問題和平面應變問

2、題。7、已知一點處的應力分量x100 MPa，y50 MPa，xy10 50 MPa，則主應力1150MPa，2 0MPa， 1 35 16 。8、已知一點處的應力分量，x200 MPa，y0 MPa， xy400 MPa，則主應力1512 MPa，2 -312 MPa， 1 -37° 57。9、已知一點處的應力分量，x2000 MPa，y1000 MPa， xy400 MPa，則主應力11052MPa，2-2052 MPa，1-82°32。10、在彈性力學里分析問題，要考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應力分量與體力分量之間關系的方程為平衡

3、微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系式。分為位移邊界條件、應力邊界條件和混合邊界條件。13、按應力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結構，然后再用結構力學位移法進行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個單元的應變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點的位置坐標有關的，是各點不相同的，即所謂變量應變；另一部分是與位置坐標無關的，是各點相同的，即所謂常量應變。17、為了能從有限單元

4、法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應變，還應當盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標的單值連續(xù)函數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)， 就不僅要使它們在公共結點處具有相同的位移時， 也能在整個公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)Ni 在 i 結點 Ni=1；在其他結點Ni=0 及 Ni=1。20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應力變化情況；二是采用包含更高次項的位移模式，使位移和應力的精度提高。13二、判斷題 （請在正確命題后的括號內

5、打“”，在錯誤命題后的括號內打“×”）1、連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙。（）5、如果某一問題中，zzxzy0 ，只存在平面應力分量x ， y ， xy ，且它們不沿 z 方向變化，僅為 x， y 的函數(shù)，此問題是平面應力問題。 （）6、如果某一問題中，zzxzy0，只存在平面應變分量x ， y ， xy ，且它們不沿 z 方向變化，僅為 x， y 的函數(shù)，此問題是平面應變問題。（）9、當物體的形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。（）10、當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。（）14、在有限單元法中，結點力是指結點對單元的

6、作用力。（）15、在平面三結點三角形單元的公共邊界上應變和應力均有突變。（）三、分析計算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應力分量是否可能在彈性體中存在。（ 1）xAxBy ，yCxDy ， xy ExFy ；（）x(2y2 )，yB( x22) ，xy Cxy ；2A xy其中， A， B，C， D， E， F 為常數(shù)。xyx0xy解：應力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：；（1）在區(qū)域內的平衡微分方程yxy0yx22（ 2 ） 在 區(qū) 域 內 的 相 容 方 程y 2xy 0 ；（ 3 ） 在 邊 界 上 的 應 力 邊 界 條 件x 2l

7、x m yx s m y l xy sffxys；（4）對于多連體的位移單值條件。s（ 1）此組應力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F，D=-E。此外還應滿足應力邊界條件。（ 2）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2 。上兩式是矛盾的，因此，此組應力分量不可能存在。2、已知應力分量xQxy 2 C1 x3 ，y32 C2 xy 2 ， xyC2 y3 C3 x2 y ，體力不計， Q 為常數(shù)。試利用平衡微分方程求系數(shù)C1， C2，C3。解：將所給應力分量代入平衡微分方程xyx0xyyxy 0yx得Qy 23C1 x

8、2 3C2 y 2 C 3 x203C 2 xy 2C 3 xy 0即223C1 C 3 xQ 3C2 y0由 x，y 的任意性，得3C1 C3 0Q 3C 2 03C 22C 30QQQ由此解得，C1， C 2， C 36323、已知應力分量x q ，yq ， xy0 ，判斷該應力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應力分量可知，已知應力分量xxq ，yq ， xy0，代入平衡微分方程xyxX 0xyyxyyY 0xq ，yq ， xy0一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計時才滿足。按應力求解平面應力問題的相容方程：2222 (y )2 ( yx ) 2(1)xyyxxx y將

9、已知應力分量xq ，yq ，xy0 代入上式，可知滿足相容方程。按應力求解平面應變問題的相容方程：2222xyy2 ( xy )x2 ( yx )111x y將已知應力分量xq ，yq ，xy0代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應變分量是否可能存在。（ 1）xAxy ，yBy3 ， xy CDy 2 ；（ 2）xAy 2 ，yBx2 y ， xyCxy ；（ 3）x0 ， y0， xy Cxy ；其中， A， B，C， D 為常數(shù)。解：應變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調條件，即222xyxyy 2x 2x y將以上應變分量代入上面的形

10、變協(xié)調方程，可知：（ 1）相容。（ 2） 2A 2ByC （ 1 分）；這組應力分量若存在，則須滿足：B=0， 2A=C。（ 3） 0=C；這組應力分量若存在，則須滿足：C=0，則x 0 ，y 0 ， xy0 （1 分）。5、證明應力函數(shù)by2 能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計， b0 ）。h/2xOh/2l/2l/2y解：將應力函數(shù)by 2 代入相容方程444x42x 2 y 2y4 0可知，所給應力函數(shù)by 2 能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為222xy2 2b ，yx2 0 ， xyx y0對于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應

11、力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊， yh0 ， m1， f x ( xy )0 ， f y( y ) h 0 ；， lhyy下邊， yh， l0 ， m 1， f x(xy )h0 ， f y (y )h0 ；2y2y2左邊， xll1， m0 ，f x(x )l 2b， f y( xy ) l 0 ；，xx右邊， xl， l1 ， m 0 ， f x(x )l2b ， f y( xy )l0 。xx可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應力函數(shù)by 2 能解決矩形板在x 方向受均布拉力（b>0）和均布壓力（b<0）的問題。

12、6、證明應力函數(shù) axy 能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計， a 0 ）。h/2Oxh/2l/2l/2y解：將應力函數(shù)axy 代入相容方程444x42x2y2y40可知，所給應力函數(shù)axy 能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為222xy2 0 ，yx2 0 ， xyx ya對于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊， yh0 ， m 1， f x(xy )a ， f y(y )h0 ；， lhyy下邊， yh ， l0 ， m 1， f x (xy )ha ， f y (y )h0 ；2y

13、2y2左邊， xl1， m 0 ， f x(x )0， f y(xy )a ；， lllxx右邊， xl， l1 ， m 0 ， f x (x )l0 ， f y ( xy )la 。xx可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力 a。因此，應力函數(shù)axy 能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為，在一邊側面上受均布剪力，試求應力分量。Ox 解 ：根據(jù)結構的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設bx 0 。由此可知gq22 0xy將上式對 y 積分兩次，可得如下應力函數(shù)表達式x, yf1 ( x) y f 2 (

14、 x)y將上式代入應力函數(shù)所應滿足的相容方程則可得y d 4 f1 ( x) d 4 f2 ( x) 0dx4dx 4這是 y 的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內的y 值都應該滿足它） ，可見它的系數(shù)和自由項都應該等于零，即d 4 f1 (x) 0 ，d 4 f 2 ( x)0dx 4dx 4這兩個方程要求f1 (x) Ax 3 Bx 2 Cx I ，f 2 ( x) Dx 3 Ex 2 Jx K代入應力函數(shù)表達式，并略去對應力分量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得y( Ax3Bx 2 Cx)Dx 3Ex 2對應應力分量為2xy 2 02y2y( 6Ax2B)6Dx2Egyx2xy3

15、Ax 22Bx Cx y以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊， x 0， l1， m 0 ，沿 y 方向無面力，所以有( xy ) x 0 C0右邊， x b， l 1， m 0 ，沿 y 方向的面力為q，所以有( xy ) x b3Ab22Bb q上邊， y 0， l0 ， m1 ，沒有水平面力，這就要求xy 在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即b0將xy 的表達式代入，并考慮到C=0，則有( xy ) y 0 dx 0b22Bx)dxAx3Bx 20bAb 3 Bb20( 3Ax0bxy ) y 0 0dx 0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求而(y 在這部分邊界上0

16、合成的主矢量和主矩均為零，即by ) y 0 dxby ) y 0 xdx 0(0 ，(00將 y 的表達式代入，則有b2E) dx3Dx 22Ex 0b3Db 22Eb0( 6Dx0b2E) xdx2Dx 3Ex20b2Db 3Eb 20(6Dx0由此可得A應力分量為x0 ,qqb2 ， B， C 0 ， D 0 ， E 0by2q y 1 3 xgy ,xyq x 3 x2bbb b雖然上述結果并不嚴格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠離y=0 處這一結果應是適用的。8 、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為f xV，xV22f yV

17、 ， yV ，其中 V 是勢函數(shù)， 則應力分量亦可用應力函數(shù)表示為，xy22yx2xy，試導出相應的相容方程。x y證明 ：在體力為有勢力的情況下，按應力求解應力邊界問題時，應力分量x ，y ， xy 應當滿足平衡微分方程xyxV 0xyx分）（ 1yxyVyx0y還應滿足相容方程22x 2y 2xy22x2y 2xy1f xf y（對于平面應力問題）xy1f xf y（對于平面應變問題）1xy并在邊界上滿足應力邊界條件（1 分）。對于多連體，有時還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為Vyxx0xyVxyy0yx這是一個齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個方程改寫為xV

18、yxxy根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A（ x，y），使得AAx V，yxyx同樣，將第二個方程改寫為yVyx（1 分）yx可見也一定存在某一函數(shù)B（ x， y），使得BByV，yxxy由此得ABxy因而又一定存在某一函數(shù)x, y ，使得A ， Byx代入以上各式，得應力分量222xy 2 V ，yx 2V ， xyx y為了使上述應力分量能同量滿足相容方程，應力函數(shù)x, y 必須滿足一定的方程，將上述應力分量代入平面應力問題的相容方程，得222222x2y2y2Vx2 V1x2y2V22222222x2y2y2x22x2y2 V 1x2y2 V簡寫為4 (1 ) 2V將上述應力分量代入平

19、面應變問題的相容方程，得22221222 VVx2y2yx2Vx2y212222221222y2 Vy 2 Vx2y 2y2x2x 21x 2簡寫為41 22V19、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純三次的應力函數(shù)求解。Oxgy解：純三次的應力函數(shù)為ax 3bx2 y cxy2 dy 3相應的應力分量表達式為222xy2 xf x 2cx 6dy ,yx2yf y 6ax 2by gy , xyx y2bx 2cy這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當選擇各個系數(shù)，是否能滿足應力邊界條件。上邊， y 0， l0 ， m1，沒有水平面力，所以有( x

20、y ) y 02bx 0對上端面的任意x 值都應成立，可見b 0同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有(y ) y 0 6ax 0對上端面的任意x 值都應成立，可見a 0因此，應力分量可以簡化為x2cx 6dy ，ygy ，xy2cy斜面， y xtan， l cossin， m coscos ，沒有面力，所以有2lx m yxy xtan0myl xyy x tan0由第一個方程，得2cx 6dxtan sin 2cxtancos4cxsin 6dxtan sin 0對斜面的任意x 值都應成立，這就要求4c 6d tan0由第二個方程，得2cxtansingxtancos2cxtan singx

21、sin0對斜面的任意x 值都應成立，這就要求2ctang 0 （ 1 分）由此解得c1gcot （ 1 分）， d1gcot 223從而應力分量為xgxcot2 gycot 2,ygy ,xygy cot設三角形懸臂梁的長為l ，高為 h，則 tanhx 方。根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束反力沿1l向的分量為 0，沿 y 方向的分量為glh 。因此， 所求x 在這部分邊界上合成的主矢應為零，xy12應當合成為反力glh 。2hdyhgl cot2 gy cot 2dyglh cotgh2 cot 200xx l0hh1gh 2 cot1 glh0xyx ldygycotdy022可見，所求應力

22、分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角，下端作為無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為1 ，液體的密度為2 ，試求應力分量。Ox解：采用半逆解法。首先應用量綱分析方法來假設應力分量的函數(shù)形式。取坐標軸如圖所示。在楔形體的任意一點，每一個應力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應當與1 g成正比 （ g 是重力加速度） ；另一部分由液體壓力引起，應當與2 g 成正比。此外，每一部分還與， x， y 有關。由于應力的量綱是 L-1MT-2 ， 1 g 和 2g 的量綱是 L-2 MT-2 ，是量綱一的量，而 x 和 y 的量綱是 L，因此，如果應力分量具有多項式的解答，那么它們的表達式只可能是A 1 gx ，B 1