二面角大小求法的歸類分析

1、二面角大小的求法的歸類分析二面角大小的求法中知識的綜合性較強，方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內角大小，在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等重要知識。求二面角大小的關鍵是，根據(jù)不同問題給出的幾何背景，恰在此時當選擇方法，作出二面角的平面角，有時亦可直接運用射影面積公式求出二面角的大小?，F(xiàn)將二面角大小的求法歸類分析如下：一、定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；例1 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，

2、求二面角B-PC-D的大小。二、三垂線法：已知二面角其中一個面內一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA平面ABCD，PA=AB=a，ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。三、垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；例3 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。四、射影法：利用面積射影公式S射S原cos,其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面

3、角；例3 在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。五、:對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例5、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。（補形化為定義法）由此可見，二面角的類型和求法可用框圖展現(xiàn)如下：基礎練習1 二面角是指 （ ）A 兩個平面相交所組成的圖形B 一個平面繞這個平面內一條直線旋轉所組成的圖形C 從一個平面內的一條直線出發(fā)的一個半平面與這個平面所組成的圖形D 從一條直

4、線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形2平面與平面、都相交，則這三個平面可能有 （ ） A 1條或2條交線 B 2條或3條交線C 僅2條交線 D 1條或2條或3條交線3在300的二面角的一個面內有一個點，若它到另一個面的距離是10，則它到棱的距離是( ) A 5 B 20 C D4在直二面角-l-中，RtABC在平面內，斜邊BC在棱l上，若AB與面所成的角為600，則AC與平面所成的角為 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200ABCD5如圖，射線BD、BA、BC兩兩互相垂直，AB=BC=1，BD=，則弧度數(shù)為的二面角是（ ） A D-AC-B B A-CD-B C A-BC-D D

5、A-BD-C6ABC在平面的射影是A1B1C1，如果ABC所在平面和平面成角，有 A SA1B1C1=SABC·sin B SA1B1C1= SABC·cosABMNPlC SABC =SA1B1C1·sin D SABC =SA1B1C1·cos7如圖，若P為二面角M-l-N的面N內一點，PBl，B為垂足，A為l上一點，且PAB=，PA與平面M所成角為，二面角M-l-N的大小為，則有 （ ） Asin=sinsin Bsin=sinsinC sin=sinsin D 以上都不對8在600的二面角的棱上有兩點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內

6、垂直于AB的線段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，則CD= 。9已知ABC和平面，A=300，B=600，AB=2，AB，且平面ABC與所成角為300，則點C到平面的距離為 。10正方體ABCDA1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面A1BCD1所成的二面角（銳角）為 。11已知菱形的一個內角是600，邊長為a，沿菱形較短的對角線折成大小為600的二面角，則菱形中含600角的兩個頂點間的距離為 。12如圖，ABC在平面內的射影為ABC1，若ABC1=，BC1=a,且ABC1C平面ABC與平面所成的角為，求點C到平面的距離13在二面角-AB-的一個平面內，有一直線AC，它與棱AB成450角

7、，AC與平面成300角，求二面角-AB-的度數(shù)。 深化練習14若二面角內一點到二面角的兩個面的距離分別為a和，到棱的距離為2a，則此二面角的度數(shù)是 。15把等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，若BAC=600，則此二面角的度數(shù)是 。AFEBDC16如圖，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直線BD與平面ABEF所成角的正弦值。ABCDA1D1C1B117如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1與面ABCD所成角的大??；（2）二面角C1BDC的正切值。 二面角大小的求法答案1.、AB=AD=a，過B作BHPC于H，

8、連結DHDHPC故BHD為二面角B-PC-D的平面角因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=SPBC=PC·BH則BH=DH又BD=在BHD中由余弦定理，得：cosBHD又0BHD 則BHD=，二面角B-PC-D的大小是。2解：（三垂線法）如圖PA平面BD，過A作AHBC于H，連結PH，則PHBC 又AHBC，故PHA是二面角P-BC-A的平面角，在RtABH中，AH=ABsinABC=aSin30°=在RtPHA中，tanPHA=PA/AH= ，則PHA=arctan2. 3解（垂面法）如圖PA平面BDBDAC BDBC過BD作平面BDHPC于HPCDH、BHBHD為二面角B-PC-D的平面角，因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=SPBC=PC·BH則BH=DH，又BD=在BHD中由余弦定理，得：cosBHD又0BHD 則BHD=，二面角B-PC-D的大小是。4解（面積法）如圖同時，BC平面BPA于B ，故PBA是PCD在平面PBA上的射影設平面PBA與平面PDC所成二面角大小為，則cos= =45°5解（補形化為定義法）如圖將四棱錐P-ABCD補形得正方體ABCD-PQMN，則PQPA、PD，于是APD是兩面所成二面角的平面角。在RtPAD中，PA