（精心整理）小學數(shù)論基礎(chǔ)知識

1、數(shù)論基礎(chǔ)知識一 質(zhì)數(shù)和合數(shù)（1）一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素數(shù)）。一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。（2）自然數(shù)除0和1外，按約數(shù)的個數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。任何一個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。要特別記住：0和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。（3）最小的質(zhì)數(shù)是2 ，2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，其他質(zhì)數(shù)都為奇數(shù)；最小的合數(shù)是4。（4）質(zhì)數(shù)是一個數(shù)，是含有兩個約數(shù)的自然數(shù) ?；ベ|(zhì)數(shù)是指兩個數(shù)，是公約數(shù)只有一的兩個數(shù)，組成互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)可能是兩個質(zhì)數(shù)（和），可能是一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)（和），可能是兩個合數(shù)（和）或1與另一個自然數(shù)。（）如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那

2、么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。（）以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有個：、二 整除性（）概念一般地，如a、b、c為整數(shù)，b0，且a÷b=c，即整數(shù)a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是0），我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作ba.否則，稱為a不能被b整除，（或b不能整除a），記作b a。如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。（）性質(zhì)性質(zhì)1：（整除的加減性）如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。即：如果ca，cb，那么c（a±b）。例如：如果210，26，

3、那么2（106），并且2（106）。也就是說，被除數(shù)加上或減去一些除數(shù)的倍數(shù)不影響除數(shù)對它的整除性。性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bca，那么ba，ca。性質(zhì)3：（整除的互質(zhì)可積性）如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。例如：如果228，728，且（2，7）=1,那么（2×7）28。性質(zhì)4：（整除的傳遞性）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果cb，ba，那么ca。例如：如果39，927，那么327。（）數(shù)的整除特征能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的

4、整數(shù).能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。突破口能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。判斷能被3（或9）整除的數(shù)還可以用“棄（或）法”：例如：能被整除么？解：，在數(shù)字中只剩，不是的倍數(shù)，所以不能被整除。能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減小）是11的倍數(shù)。能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?（11或13）整除，依此反復檢驗。例如

5、：判斷3546725能否被13整除？解：把3546725分為3546和725兩個數(shù).因為3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數(shù)，因為8212819，又13819，所以132821，進而133546725.上述辦法也可以用來判斷余數(shù)和末位數(shù)；對于其他的數(shù)，可以將其分解成上述幾個互質(zhì)的數(shù)的乘積，再逐個考慮。三 約數(shù)與倍數(shù)（）公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如：是和的最大公約數(shù)，可記做：（，）（）公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：36是1

6、2和18的最小公倍數(shù)，記作12，18=36。（）最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系如果用a和b表示兩個自然數(shù)、那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：（a，b）×a，b=a×b。（多用于求最小公倍數(shù)）、（a，b）a，ba，b、a，b是（a，b）的倍數(shù)，（a，b）是a，b的約數(shù)、（a，b）是ab和ab的約數(shù)，也是（a，b）a，b和（a，b）a，b的約數(shù)（）求最大公約數(shù)的方法很多，主要推薦：短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法。例如：、（短除法）用一個數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個數(shù)最大是多少？解： （30，60，75）=5×3=15這個數(shù)最大是15。、（分解質(zhì)

7、因數(shù)法）求和的最大公約數(shù)是多少？解：××（這個質(zhì)分解常用到），××所以最大公約數(shù)是×在這種方法中，先將數(shù)進行質(zhì)分解，而后取它們“所有共有的質(zhì)因數(shù)之積”便是最大公約數(shù)。、（輾轉(zhuǎn)相除法）用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大公約數(shù)。解：4811=2×1981+849，1981=2×849+283，849=3×283，（4811，1981）=283。補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果。（）約數(shù)個數(shù)公式一個合

8、數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)（即指數(shù)）加1的連乘的積。例如：求240的約數(shù)的個數(shù)。解：24024×31×51，240的約數(shù)的個數(shù)是（41）×（1+1）×（11）=20，240有20個約數(shù)。四 奇偶性（1）奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。最小的奇數(shù)是，最小的偶數(shù)是（2）奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)性質(zhì)1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)。性質(zhì)3：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì)4：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)（）反證法例：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時“翻轉(zhuǎn)”.請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”.要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)過9個奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)”.即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子，無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)”，翻轉(zhuǎn)的總