第二章_連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析2014年2月27日稿

1、第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析目錄2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立二、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般形式三、起始狀態(tài)r (k ) (0- )和初始條件r (k ) (0+ )系統(tǒng)微分方程的解一、時(shí)域經(jīng)典法二、全響應(yīng)r(t )的三種分解方式零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)一、零輸入響應(yīng)rzi (t )的定義及其求法二、零狀態(tài)響應(yīng)rzs (t ) 的定義及其求法三、常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)的線性擴(kuò)展沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)h(t )的定義二、沖激響應(yīng)h(t )的求法三、階躍響應(yīng) g(t )的定義及其求法四、沖激響應(yīng)h(t )與階躍響應(yīng) g(t )的關(guān)系2.22.32.4五、零狀

2、態(tài)響應(yīng)r (t ) = e(t )* h(t ) = e' (t )* g(t )zs2.5卷積一、卷積的定義二、利用卷積求零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積的圖形解釋四、卷積的性質(zhì)五、幾個(gè)常用信號(hào)之間的卷積六、卷積的計(jì)算方法1第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立原則上，具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，由具體物理定律列寫(xiě)。在電學(xué)系統(tǒng)中，由電網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的約束特性：基爾霍夫第一定律（KCL）和基爾霍夫第二定律（KVL），以及元件的約束特性來(lái)建立描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（線性電路）的數(shù)學(xué)模型。電網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的約束特性，即各支路電流、電壓的關(guān)系：KCL： å± i

3、(t ) = 0nKVL： å± u(t ) = 0n元件約束特性：電阻： uR (t ) = RiR (t )電容： i (t ) = C duC (t ) 或u (t ) = 1i (t )dttòCCCdtC-¥電感： u (t ) = L diL (t ) 或i (t ) =1Lu (t )dttòLLLdt-¥建立連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，不是本課程主要討論的問(wèn)題。二、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般形式d nd n-1dC0 dtn r (t ) + C1 dtn-1 r (t ) +L + Cn-1 dt r (t ) + Cnr

4、 (t )dm-1dmdE0 dtm e (t ) + E1 dtm-1 e (t ) +L + Em-1 dt e (t ) + Eme (t )=或d n-1d ndt nd( ) +( ) + L + a1r tdt( ) + a0r t( )r tan-1 dt n-1 r td m-1d md( ) + bm-1e tdt m-1( ) +L + b1e t dt( ) + b0e t( )= bme tdt m結(jié)論：描述n 階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)n 階線性常系數(shù)微分方程。2三、起始狀態(tài)r(k) (0 ) 和初始條件r(k) (0 )-+在系統(tǒng)分析中，把響應(yīng)區(qū)間確定

5、為激勵(lì)信號(hào)e(t ) 加入之后系統(tǒng)狀態(tài)變化區(qū)間。一般激勵(lì)都是從t = 0 時(shí)刻加入，這樣系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定為0+ £ t < ¥ （也可表述為0 < t < ¥ ）。0-0+tO1、起始狀態(tài)r(k) (0 )-系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)e (t ) 加入之前瞬間t = 0- 的一組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)（簡(jiǎn)稱0- 狀態(tài)），它包含了為計(jì)算未來(lái)響應(yīng)的全部“過(guò)去”信息。éùd n-1d(k )()()() = r 0,r 0,L,r(0r 0-ê- ú-n-1dtdtëû注意：對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的0

6、- 狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況決定的狀態(tài)。2、初始條件r(k) (0 )+系統(tǒng)在t = 0+ 時(shí)刻的一組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的初始條件，簡(jiǎn)稱0+ 狀態(tài)或“導(dǎo)出的起始狀態(tài)”。éd n-1ùd(k )()()() = r 0,r 0,L,r(0r 0+ê+ ú+n-1dtdtëû注意：（1）對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的0- 狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況。一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過(guò)電感中的電流發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則： uC (0- ) = uC (0+ ) ， iL (0- ) = iL (0+ )。（2）當(dāng)有

7、沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫作用于電感，0- 到0+狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。（3）當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從0- 狀態(tài)到0+ 狀態(tài)有沒(méi)有跳變?nèi)?決于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含d (t )及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。如果包含有d (t )及其各階導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明響應(yīng)的0- 到0+ 狀態(tài)發(fā)生了跳變，即r(0+ ) ¹ r(0- ) 或r (0+ ) ¹ r (0- )等''等。（4）初始條件r (k ) (0 )與起始狀態(tài)r (k ) (0)(k )之差，稱為跳變量，記為r(0 ) 。+-zs+跳變量由原方程根據(jù)沖激函數(shù)匹配法求得。后面將證明這個(gè)跳變量r(k) (0

8、) 也就zs+是零狀態(tài)響應(yīng)的初始條件。3、沖激函數(shù)匹配法求系統(tǒng)響應(yīng)跳變量的原理及方法沖激函數(shù)匹配法的基本原理有三條：（1） 對(duì)于一個(gè)描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程，由于它在整個(gè)時(shí)間范圍(- ¥,+¥)內(nèi)都成立，它在任一特定時(shí)刻當(dāng)然也成立。在引入d 函數(shù)以前，函數(shù)在不連續(xù)點(diǎn)（跳變點(diǎn)）的導(dǎo)數(shù)不存在。這樣，一個(gè)微分方程就不能在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)成立。d 函數(shù)的引入解決了函數(shù)在跳變點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在的問(wèn)題，從而使得一個(gè)微分方程在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)成立了。（2） 由于定義了d (t ) = d u(t ) ， d ' (t ) = d d (t )，Ldd這表明函數(shù)在跳變點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)要出現(xiàn)沖激函

9、數(shù)項(xiàng)。因此，如果由于激勵(lì)信號(hào)的加入，在微分方程右端出現(xiàn)了沖激函數(shù)項(xiàng)ad (t ) ，bd ' (t )等，則方程左端也應(yīng)有對(duì)應(yīng)的沖激函數(shù)項(xiàng)。匹配就是使方程左端產(chǎn)生這樣一些對(duì)應(yīng)相等的沖激函數(shù)，而這些函數(shù)的產(chǎn)生，意味著存在0- 狀態(tài)到0+ 狀態(tài)的跳變量。函數(shù)只匹配d (t )及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，使方程兩端這些函數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等。（3）匹配從方程左端r (k ) (t )的最高階項(xiàng)開(kāi)始，使方程右端d 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階次項(xiàng)得到匹配。下面舉例說(shuō)明沖激函數(shù)匹配法求跳變量的原理及方法。d 3d 2d( ) +( ) + 5r t dt( ) + 2r t( ) = d ( )d ( )t + 3'&

10、#39;例 2.1.1 設(shè)某系統(tǒng)方程為r tdt 34dt 2r tt ，求跳變量r (0 )， r (0 )， r (0 )。'''zs+zs+zs+d 3dt 3r(t ) = ad (t )+ bd (t )+ cd (t )+ dDu(t )'''解：設(shè)4d 2dt 2( ) = ad ( )bd ( )+( )t +Dr t'tcu tddtr(t ) = ad (t )+ bDu(t )r(t ) = aDu(t )其中Du(t ) 表示0- 到0+ 相對(duì)代入原方程得ad '' (t )+ bd ' (

11、t )+ cd (t )+ dDu(t )+ 4ad ' (t )+ 4bd (t )+ 4cDu(t )+ 5ad (t )+ 5bDu(t )+ 2aDu(t ) = d '' (t )+ 3d (t )比較等式兩端d (t )及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，得ìa = 1跳變函數(shù)ïb + 4a = 0ïíïc + 4b + 5a = 3ïîd + 4c + 5b + 2a = 0聯(lián)立求解得ìa = 1ïb = -4ïíïc = 14ïî

12、d = -38d 3( ) = d ( )d ( )d ( )-( )''t - 4't + 14D故r tdt 3t38u td 2( ) = d ( )d ( )+( )t - 4t14D'r tdt 2u tddtr(t ) = d (t )- 4Du(t )r(t ) = Du(t )所以r (0 ) = r ''' (0 ) - r ''' (0 ) = -38'''zs+-(0 ) = r '' (0 ) - r '' (0 ) = 14'

13、'rzs+-5(0 ) = r ' (0 ) - r ' (0 ) = -4r 'zs+-rzs (0+ ) = r(0+ ) - r(0- ) = 1d例 2.1.2 設(shè)某系統(tǒng)方程為r(t ) + 3r(t ) = 3d ' (t )，已知r(0 )，求r(0 )。-+dt解：dr (t ) + 3r (t )= 3d ¢(t )dt3d ¢(t )3d ¢(t )® 3d (t )´ 3- 9d (t )9d (t )- 9Du(t )所以r(0+ ) - r(0- ) = -9故 r(0+ ) =

14、-9 + r(0- )d事實(shí)上，方程右端含d ' (t )項(xiàng)，它一定含在方程左端最高階導(dǎo)數(shù)r(t )中，dtd因此，設(shè)r(t ) = ad ' (t ) + bd (t ) + cDu(t )dt則 r(t ) = ad (t ) + bDu(t )代入原方程得ad ' (t ) + bd (t ) + cDu(t ) + 3ad (t ) + 3bDu(t ) = 3d ' (t )比較等式兩端d (t )、d ' (t )項(xiàng)的系數(shù)，得ìa = 3ïíb + 3a = 0ïc + 3b = 0î即

15、36;a = 3ïíb = -9ïc = 27î6所以 r(t ) = 3d (t ) - 9Du(t ) 故r(0+ ) - r(0- ) = -9即r(0+ ) = -9 + r(0- )2.2 系統(tǒng)微分方程的解含有起始狀態(tài)的線性時(shí)不變系統(tǒng)如圖 2.1 所示。x(0- )e(t )r(t )圖 2.1含起始狀態(tài)系統(tǒng)方框圖系統(tǒng)微分方程的解，稱為系統(tǒng)的全響應(yīng)r (t ) 。求解系統(tǒng)微分方程，稱為求系統(tǒng)響應(yīng)。r(t ) = H e(t )+ H x(0- )求響應(yīng)有三種方法：時(shí)域經(jīng)典法、零輸入和零狀態(tài)法、變換域法。一、時(shí)域經(jīng)典法全解 = 齊次解 + 特解，

16、由初始條件確定出齊次解中的待定系數(shù)。用經(jīng)典法求全響應(yīng)的步驟：1、由原微分方程寫(xiě)出特征方程+ aa+L + a a + aa nn-1= 0 ，求出特征n-110根a1 ，a 2 ，L，a n ，稱為自然頻率或固有頻率。2、根據(jù)特征根的不同形式，寫(xiě)出所對(duì)應(yīng)的齊次解rh (t )的形式。（1）若其特征根均為各不相同的單根，則設(shè)齊次解為：nr (t ) =A eåa tihii=1（2）若其特征方程有一個(gè)k 重根，例如，a1 為k 重根，a1 = a 2 = L = a k ，其余n - k 個(gè)根為單根。則設(shè)齊次解為：kr (t ) = ånål tk -i a te+

17、A eA tj1hiji=1j =k +13、求特解rp (t )7LTI系統(tǒng)特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)形式有關(guān)，幾種典型激勵(lì)函數(shù)對(duì)應(yīng)的特解形式見(jiàn)表 2-1。表 2-1 與幾種典型激勵(lì)函數(shù)對(duì)應(yīng)的特解注：（1）表中 B 、 D 是待定系數(shù)。（2）若由幾種激勵(lì)函數(shù)組合，則特解也為其相應(yīng)的組合。4、寫(xiě)出全解r(t ) = rh (t ) + rp (t )5、由初始條件確定待定系數(shù)。設(shè)激勵(lì)信號(hào)在 t = 0 時(shí)刻加入，微分方程求解的區(qū)間是 0 < t < ¥ （或者dr(0+ )d 2r(0+ )()、0+ £ t < ¥ ）。對(duì)于 n 階微分方程，利用

18、n 個(gè)初始條件：r 0+、，dtdt 2d n-1r(0+ )L，即可確定全部待定系數(shù)。dt n-1二、全響應(yīng)r (t ) 的三種分解方式全響應(yīng)可按以下三種方式分解。1、全響應(yīng)r (t ) 零輸入響應(yīng)rzi (t ) 零狀態(tài)響應(yīng)rzs (t )注意：在求解系統(tǒng)的完全響應(yīng)r (t ) 時(shí)，要用到有關(guān)的三個(gè)量是： 起始狀態(tài)r (k ) (0- )：確定零輸入響應(yīng)中的待定系數(shù)；8激勵(lì)函數(shù)e(t )響應(yīng)函數(shù)r(t )的特解E （常數(shù)）Bt pB t p + B t p-1 +L + B t + B12pp+1e atBeatcos(wt )B1 cos(wt ) + B2 sin(wt )sin(wt

19、 )t peat cos(wt )(B t p +L + B t + B)eat cos(wt ) +1pp+1(D t p +L + D t + D)eat sin(wt )1pp+1t peat sin(wt )跳變量r(0 )：確定零狀態(tài)響應(yīng)中的待定系數(shù)；(k )zs+初始條件r (k ) (0+ )：確定全響應(yīng)（齊次解）中的待定系數(shù)；這三個(gè)量之間的關(guān)系是： r(0 ) = r (k ) (0 ) - r (k ) (0 )。(k )zs+-根據(jù)完全響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)的定義和微分方程解的存在與唯一性定理，以上三種響應(yīng)的定解問(wèn)題分別歸結(jié)為：完全響應(yīng)r (t ) 的定解條件是：&#

20、236;原方程ír (k ) (0)î初始條件+零狀態(tài)響應(yīng)rzs (t ) 的定解條件是：ì原方程ír(0 )（即：跳變量r(0 )）(k )(k )î零狀態(tài)響應(yīng)的初始條件zs+zs+由此可見(jiàn)，零狀態(tài)響應(yīng)的函數(shù)形式與完全響應(yīng)的函數(shù)形式相同。零輸入響應(yīng)rzi (t ) 的定解條件是：ì原方程的齊次方程í起始狀態(tài)r(0 )(k )î-2、全響應(yīng)r (t ) 自由響應(yīng)rh (t ) 強(qiáng)迫響應(yīng)rp (t )微分方程的齊次解就是自由響應(yīng)，微分方程的特解就是強(qiáng)迫響應(yīng)。3、全響應(yīng)r (t ) 瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)中隨著時(shí)間增

21、長(zhǎng)而趨于零的部分稱為瞬態(tài)響應(yīng)分量，隨著時(shí)間增長(zhǎng)而趨于穩(wěn)定的部分稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)一、零輸入響應(yīng)rzi (t ) 的定義及其求法1、定義沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只有起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。以rzi (t )表示。如圖 2.2 所示。9x(0- )¹ 0r (t )( ) = 0e tzi圖 2.2零輸入響應(yīng)rzi (t ) = H x(0- )零輸入響應(yīng)rzi (t ) 滿足的微分方程為：d ndt nd n-1d( )+( )+( )+( ) =tL +rzitan-1 dt n-1 rzia1 dt rzita0 rz

22、it02、零輸入響應(yīng)rzi (t ) 的求解步驟（1）寫(xiě)出特征方程+ aa+L + a a + aa nn-1= 0 ，n-110求出特征根a1 ，a 2 ，L，a n（2）根據(jù)特征根的不同形式，寫(xiě)出所對(duì)應(yīng)的齊次解形式。若其特征根均為單根，則設(shè)零輸入響應(yīng)為nr (t ) = å Aea ktzizikk =1若其特征方程中有一個(gè)m 階重根a 時(shí)，則設(shè)零輸入響應(yīng)為r (t ) = (At m-1 )eat +其它相應(yīng)的齊次解+ A t +L+ Azim-1zizi 0zi1（3）由r (k ) (0- )確定n 個(gè)待定常數(shù) A。zik二、零狀態(tài)響應(yīng)rzs (t ) 的定義及其求法1、定

23、義不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。以rzs (t ) 表示。如圖 2.3 所示。x(0- )= 0r (t )( ) ¹ 0e tzs圖 2.3零狀態(tài)響應(yīng)rzs (t ) = H e(t )零狀態(tài)響應(yīng)rzs (t ) 滿足的微分方程為：10LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)d n-1d ndt nd( ) +( ) +( ) +( )tL +rzstan-1 dt n-1 rzsa1 dt rzsta0 rzstd m-1d md( ) + bm-1e tdt m-1( ) +L + b1e t dt( ) + b0e t( )=

24、bme tdt m2、零狀態(tài)響應(yīng)rzs (t ) 的求解步驟零狀態(tài)響應(yīng)rzs (t ) 的求解有兩種方法。方法一：直接求解微分方程（經(jīng)典法）。步驟：（1）求出通解；（2）由跳變量 r(0 ) = r (k ) (0 ) - r (k ) (0 )確定n 個(gè)待定常數(shù)。(k )zs+-方法二：卷積法步驟：（1）先求沖激響應(yīng)h(t )；（2）再利用rzs (t ) = h(t )* e(t )求零狀態(tài)響應(yīng)。3、零狀態(tài)響應(yīng)的初始條件r(k) (0 ) 就是系統(tǒng)的初始條件r (k ) (0 )與起始狀態(tài)zs+r (k ) (0- )之差，即系統(tǒng)響應(yīng)r (k ) (t )由0 到0 狀態(tài)跳變量。-+亦即r

25、(k) (0 ) 、r(k) (0 ) 、r(k) (0 ) 之間的關(guān)系為： r(0 ) = r (k ) (0 ) - r (k ) (0 )。(k )-+zs+zs+-證明： r (t ) = rzi (t ) + rzs (t )()( )()( )()( )rt = rt + rt ， k = 0 ，1，2，L， n -1kkkzizs顯然，上式對(duì)t = 0- ， t = 0+ 也成立，即r(k ) (0r(k ) (0)(k )()(k )()= r0+ r0-zi-zs-(k )()(k )(= r0+ r0+zizs對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)，在t = 0- 時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有()()

26、 = 0kr0-zs對(duì)于零輸入響應(yīng)，沒(méi)有激勵(lì)作用，系統(tǒng)前后的狀態(tài)發(fā)生改變，故應(yīng)有r(0 ) =r(0 ) = r (k ) (0 )(k )(k )zi+zi-()() = r(k) (0 )()() = r(k) (0 ) - r(k) (0 )k- r0k故 r0+-zszi11亦即，零狀態(tài)響應(yīng)的初始條件就是系統(tǒng)的初始條件 r (k ) (0+ ) 與起始狀態(tài)r (k ) (0- )之差，即系統(tǒng)響應(yīng)r (k ) (t )由0 到0 狀態(tài)跳變量。-+dr (t ) dt+ 3r (t ) = 3e (t ) ， 激勵(lì) e (t ) = u (t ) ，起始狀態(tài)例 2.3.1 已知系統(tǒng)方程為)

27、 = 3 ，求自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。r (0-2解：（1）特征方程為a + 3 = 0 ，特征根為a = -3齊次解為 Ae-3t ，特解為 1設(shè)完全響應(yīng)為r (t ) = Ae-3t +1激勵(lì)e (t ) = u (t ) 代入系統(tǒng)方程后，右端沒(méi)有d 函數(shù)項(xiàng)，因此，方程左端也不會(huì)有d 函數(shù)。這表明響應(yīng)在起始點(diǎn)連續(xù)，沒(méi)有跳變，即r (0 ) = r (0 ) = 3+-2代入完全響應(yīng)r (t ) = Ae-3t +1，得r (0 ) = A +1 = 3 ，解得 A = 1+22r (t ) = 1 e-3t +1， t > 0所以2其中，自由響應(yīng) 1 e

28、-3t ，強(qiáng)迫響應(yīng)12（2）求零輸入響應(yīng)dr (t ) + 3r (t ) = 0zizidtr (0 ) = r(0 ) = 3zi+-2e-3t ，代入r (0 ) = 3 ，得 A= 32(t ) = A 設(shè)零輸入響應(yīng)為 r-zizizi2(t ) = 3 e-3t于是零輸入響應(yīng)rzi2（3）求零狀態(tài)響應(yīng)dr (t ) + 3r (t ) = 3u(t )zszsdtrzs (0+ ) = 0設(shè)零狀態(tài)響應(yīng)r(t ) = Ae-3t +1zszs代入rzs (0+ ) = 0 得， rzs (0+ ) = Azs +1 = 0 ，即 Azs= -1(t ) = -e-3t +1于是零狀態(tài)響

29、應(yīng)rzs12將以上結(jié)果寫(xiě)作完全響應(yīng)r (t ) = r (t ) + r (t ) = 3 e-3t - e-3t +1 = 1 e-3t+ 1， t > 0zizs22例 2.3.2 描述某 LTI 系統(tǒng)的微分方程為d 2dt 2dd( ) + 3r t dt( ) + 2r t( ) = 2e t dt( ) + 6e t( )r t已知r(0- ) = 2 ， r ' (0- ) = 0 ， e(t ) = u(t ) ，求該系統(tǒng)的全響應(yīng)，并指出其自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)各分量。解：將e(t ) = u(t )代入原方程有d 2dt 2d( ) + 3r

30、t dt( ) + 2r t( ) = 2d ( ) +( )r tt6u t（1）方法一：利用初始條件r ' (0+ )、r(0+ )，求完全響應(yīng)，再由輸入為零的條件求零輸入響應(yīng)，而零狀態(tài)響應(yīng)等于完全響應(yīng)減去零輸入響應(yīng)。（1）完全響應(yīng)方程（1）的特征方程為 a 2 + 3a + 2 = 0特征根為 a1 = -1，a 2 = -2A e-t + A e-2t可設(shè)方程（1）的齊次解為12因?yàn)榉匠蹋?）在t > 0 時(shí)，可寫(xiě)為d 2dt 2d( ) + 3r t dt( ) + 2r t( ) = 6r t顯然，方程（1）的特解可設(shè)為常數(shù) B ，把 B 代入上式，求得B = 3所以

31、方程（1）的完全響應(yīng)為齊次解+特解：r(t ) = A e-t + A e-2t+ 312根據(jù)方程（1）左邊有d (t )項(xiàng)，初始條件不等于起始狀態(tài)（ r (k ) (0+ ) ¹ r (k ) (0- )），下面用沖激函數(shù)匹配法由起始狀態(tài)r (k ) (0- )求初始條件r (k ) (0+ )。因?yàn)榉匠蹋?）右端d 函數(shù)求導(dǎo)的最高階次是零次，所以設(shè)d 2dt 2( ) = ad ( ) +( )Dr ttbu t13ddtr(t ) = aDu(t )r(t ) = 0代入方程（1）得ad (t ) + bDu(t ) + 3aDu(t ) + 2atDu(t ) = 2d (t

32、 ) + 6u(t )比較等式兩端d (t )項(xiàng)的系數(shù)，得a = 2所以dr(t ) = 2Du(t )dtr(t ) = 0故 rzs (0+ ) = r(0+ ) - r(0- ) = 0 ，即r(0+ ) = r(0- ) = 2r ' (0+ ) = r ' (0- ) + 2 = 2(0+ ) = r ' (0 ) - r ' (0 ) = 2 ，即r '+-zs代入完全響應(yīng)確定系數(shù)，得= 0ìA1íA= -1î 2所以系統(tǒng)的完全響應(yīng)為r(t ) = -e-2t + 3 ， t ³ 0+因?yàn)樘亟鉃?3，所

33、以強(qiáng)迫響應(yīng)是 3，自由響應(yīng)是- e-2t 。（2）零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)滿足的微分方程為d 2dt 2d( ) +t3rzi ( ) +dtt2rzi ( ) =rzit0定解條件為：rzi (0+ ) = rzi (0- ) = r(0- ) = 2r (0 ) =r (0 ) = r ' (0 ) = 0''zi+zi-設(shè)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為r (t ) = Ae-te-2t+ Azizi1zi 2把定解條件代入上式求解得：14ìAzi1= 4= -2íAî zi 2所以，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為r (t ) = 4e-t - 2e-2t ， t

34、 ³ 0+zi（3）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)=完全響應(yīng)零輸入響應(yīng)，即r (t ) = -4e-t+ e-2t+ 3 ， t ³ 0+zs方法二：用方法一求零輸入響應(yīng)的方法求零輸入響應(yīng)，利用跳變量rzs (0+ )，(0 )來(lái)求零狀態(tài)響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)加上零輸入響應(yīng)等于完全響應(yīng)。r 'zs+（1）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)滿足的微分方程為d 2dt 2d( ) +t3rzs ( ) +dtt2rzs ( ) =d ( ) +( )rzst2t6u t因?yàn)槲⒎址匠痰挠叶撕衐 (t )，所以系統(tǒng)從0- 狀態(tài)到0+ 狀態(tài)有跳變量。求跳變量的方法、步驟和結(jié)果與（1）相同，所以求零狀態(tài)響

35、應(yīng)的定解條件為：rzs (0+ ) = r(0+ ) - r(0- ) = 0 ，(0 ) = r ' (0 ) - r ' (0 ) = 2r 'zs+-零狀態(tài)響應(yīng)的函數(shù)形式與完全響應(yīng)的函數(shù)形式相同，所以可設(shè)零狀態(tài)響應(yīng)為： r (t ) = Ae-t+ Ae-2t+ 3 ， t ³ 0+zszs1zs 2由零狀態(tài)響應(yīng)的定解條件，確定上式系數(shù)得= -4ìAzs1íA= 1î zs 2r (t ) = -4e-t+ e-2t+ 3 ， t ³ 0+故zs（2）零輸入響應(yīng)與方法一完全相同，求得零輸入響應(yīng)為：r (t ) =

36、4e-t - 2e-2t ， t ³ 0+zi（3）完全響應(yīng)15r(t ) = rzs (t ) + rzi (t )= -4e-t+ e-2t+ 3 + 4e-t- 2e-2t = -e-2t+ 3 ，t ³ 0+三、常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)的線性擴(kuò)展（1） 響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。（2） 零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)rzs (t ) 對(duì)于外加激勵(lì)信號(hào)呈線性，稱為零狀態(tài)線性。（3） 零輸入線性：當(dāng)外加激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)rzi (t ) 對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系，稱為零輸入線性。2.4 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、

37、沖激響應(yīng)h (t ) 的定義沖激信號(hào)d (t ) 的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為沖激響定義：系統(tǒng)在應(yīng)。以h(t )表示。如圖 2.4 所示。x(0- )= 0d (t )h(t )圖 2.4沖激響應(yīng)h(t ) = H d (t )沖激響應(yīng)h (t ) 滿足的微分方程為：d n-1d ndt nd( ) +( ) + L + a1h tdt( ) + a0h t( )h tan-1 dt n-1 h td m-1d md= bmd ( ) +d ( ) +d ( ) +tb0d ( )tL +tbm-1 dt m-1b1 dttdt m由于沖激函數(shù)僅在t = 0 處作用，而在t > 0 區(qū)

38、間函數(shù)為零。也就是說(shuō)，激勵(lì)信號(hào)d (t ) 的作用是在t = 0 的瞬間給系統(tǒng)輸入了若干能量，儲(chǔ)存在系統(tǒng)中，而在t > 0 （或者t ³ 0+ ）系統(tǒng)的激勵(lì)為零，只有沖激引入的那些儲(chǔ)能在起作用，因而系統(tǒng)的沖激響應(yīng)由上述儲(chǔ)能唯一地確定。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與該系統(tǒng)的零輸16LTI系統(tǒng)入響應(yīng)（即相應(yīng)的齊次解）具有相同的函數(shù)形式。二、沖激響應(yīng)h (t ) 的求法待求h (t ) 應(yīng)保證左、右兩端沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)相平衡，h (t ) 的形式將與m 和n 的相對(duì)大小有著密切關(guān)系。當(dāng)n > m 時(shí)，h (t ) 中不含d (t )及其各階導(dǎo)數(shù)；當(dāng)n = m 時(shí)，h (t ) 中應(yīng)

39、包含d (t )； 當(dāng)n < m 時(shí)， h (t ) 中應(yīng)包含d (t )及其各階導(dǎo)數(shù)。1、n > m方法一：比較系數(shù)（等式兩端奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡）法求h (t )步驟：（1）先求特征根，直接寫(xiě)出沖激響應(yīng)的函數(shù)形式；（2）再用沖激函數(shù)平衡法確定系數(shù) Ak 。例 2.4.1 設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為d 2dt 2dd( ) + 4r t dt( ) + 3r t( ) =e t dt( ) + e t( )，試求其沖激響應(yīng)。r t解：沖激響應(yīng)h (t ) 滿足的微分方程為d 2dt 2dd( ) + 4h t dt( ) + 3h t( ) =d ( ) + d ( )h tttdt特征

40、方程為 a 2 + 4a + 3 = 0特征根 a1 = -1，a 2 = -3t ) = (A e+ A e)于是有 h(u(t )-t-3t12對(duì)h (t ) 逐次求導(dǎo)得t ) = (A e+ A e)t ) + ()h (d (u(t )'-t-3t- A e- 3A e-t-3t1212t ) + (- A e- 3A e)= (A + A )d (u(t )-t-3t1212t ) + (- A e- 3A e)t ) + (A e+ 9 A e)h (t ) = (A + A )d (d (u(t )-t-3t-t-3t'''121212代入原方程得

41、t ) + (- A e- 3A e)t ) + (A e+ 9 A e)(A + A )d (d (u(t ) +(A + A )d (t )-t-3t-t-3t'41212121217+ 4(- A e- 3A e)(A e+ A e)u(t ) + 3u(t ) = d (t ) + d (t )-t-3t-t-3t'1212合并得 (A + A )d (t ) + (3A + A )d (t ) = d ' (t ) + d (t )'1212令左右兩端d ' (t )的系數(shù)以及d (t )的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，得ìA1 + A2= 1

42、37;î3A1 + A2 = 1聯(lián)立解得 A1 = 0 ， A2 = 1所以沖激響應(yīng)為 h(t ) = e-3tu(t )方法二：利用系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性求h (t )對(duì)于h (t ) 滿足的微分方程d n-1d ndt nd( ) +( ) + L + a1h tdt( ) + a0h t( )h tan-1 dt n-1 h td m-1d md= bmd ( ) +d ( ) +d ( ) +tb0d ( )tL +tbm-1 dt m-1b1 dttdt m先求如下方程的沖激響應(yīng)d ndt nd n-1dh0 ( ) +( ) +tL + a1 dt h0 ( ) +ta0

43、h0 ( ) = d ( )tan-1 dt n-1 h0tt為保證上式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)平衡，則上式左邊應(yīng)有沖激函數(shù)項(xiàng)，且沖激函d nh0 ( )t數(shù)項(xiàng)只能出現(xiàn)在第一項(xiàng)dt n之中。這是因?yàn)?，如果在其后各?xiàng)中存在有沖激函數(shù)項(xiàng)，則上式左方將出現(xiàn)有d (t )的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，等式將無(wú)法平衡。這樣，在上式左邊第一項(xiàng)中有沖激函數(shù)項(xiàng)，第二項(xiàng)中有階躍函數(shù)項(xiàng)，在其后各項(xiàng)中有相應(yīng)t 的正冪函數(shù)項(xiàng)。1注：L ， t 2u(t )， tu(t )， u(t )， d (t )， d ' (t )， d '' (t ) ，L ；從左到右，每一2個(gè)都是其后一個(gè)的，每一個(gè)都是其前一個(gè)的導(dǎo)數(shù)。對(duì)上式兩邊

44、取0- 到0+ 的定，則有h(t )(t )(t )dt =d (t )000+ h0ò(n )ò(n-1)òò+dt + a+dt +L + a+hdtn-100000000-考慮到實(shí)際系統(tǒng)總是符合因果律的，在沖激激勵(lì)未加前有響應(yīng)。因此在18t = 0- 時(shí)刻，沖激響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)的值應(yīng)為零，即有h(0 ) =(0 ) = L = h' (0 ) = h (0 ) = 0(n-1)(n-2)h-0-00另外，上式左邊的除第一項(xiàng)因被積函數(shù)中包含有沖激函數(shù)，其結(jié)果在t = 0 處不連續(xù)外，其它各項(xiàng)所得的結(jié)果在t = 0 處都是連續(xù)的，即這些項(xiàng)所得的

45、函數(shù)在時(shí)間0- 及0+ 時(shí)的取值相同，有(0 ) =(0 ) = 0 ，(n-2)(n-2)hh+-00L Lh (0 ) =h (0 ) = 0 ，(1)(1)+-00h0 (0+ ) = h0 (0- ) = 0所以 h(0 ) -h(0 ) = 1(n-1)(n-1)+-00沖激信號(hào)引起的在t = 0+ 時(shí)的n 個(gè)初始條件為：故(0 ) =(0 ) = L = h (0 ) = 0(n-2)(n-3)hh+0+00h(0 ) = 1(n-1)+0有了上述的初始條件，就可以用求零輸入響應(yīng)的方法來(lái)求解沖激響應(yīng)h0 (t )， 再利用系統(tǒng)的時(shí)不變特性，求原方程表示的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t )。歸

46、納起來(lái)，求解步驟為：（1）先求如下方程的沖激響應(yīng)h0 (t )d n-1d ndt ndh0 ( ) +( ) +tL + a1 dt h0 ( ) +ta0h0 ( ) = d ( )tan-1 dt n-1 h0tt其中n 個(gè)待定系數(shù)由以下初始條件確定：(0 ) =(0 ) = L = h (0 ) = 0(n-2)(n-3)ìhh+0+00íh(0 ) = 1(n-1)î 0+（2）再利用系統(tǒng)的時(shí)不變特性，求原方程表示的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t )。此方法比比較系數(shù)（等式兩端奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡）法簡(jiǎn)單，對(duì)于高階系統(tǒng)更有優(yōu)越性。19d 2dd( ) + 4r t d

47、t( ) + 3r t( ) =e t dt( ) + 2e t( )的沖激響應(yīng)。r t例 2.4.2 求系統(tǒng)dt 2解：此系統(tǒng)沖激響應(yīng)h (t ) 滿足的微分方程為d 2dt 2dd( ) + 4h t dt( ) + 3h t( ) =d ( ) +d ( )h tt2tdt先求d 2dt 2dh0 ( ) +t4h0 ( ) +dtt3h0 ( ) = d ( )tt初始條件為：ìh0 (0+ ) = 0íh (0 ) = 1'î 0+t ) = (A e+ A e)設(shè) h (u(t )-t-3t012把初始條件代入上式解得ìA= 12=

48、-ï1í12ïA2î從而 h (t ) = æ 1 e-t -eö1u(t )-3tç 2÷0è2ø則由系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性得h(t ) =h (t ) + 2h (t )'00t ) + (e- e-3t )u(t )æ1232öæ 112öeu(t )d (= -t+-3t+-t-3t-tç÷ç 2÷eeeèøèø= 1 (e-t + e-3t )u(t )2這樣理

49、解： 若d (t )(t )則2d (t )2h0 (t )20LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)h0h (t )d ' (t )'0故d ' (t )+ 2d (t )h(t ) =h (t )+ 2h (t )'00方法三：沖激函數(shù)匹配法先求沖激響應(yīng)的初始條件再求h (t )步驟：（1）寫(xiě)出沖激響應(yīng)滿足的微分方程；（2） 求出微分方程的齊次解；（3） 由沖激函數(shù)匹配法求出沖激響應(yīng)的初始條件h(k ) (0+ )；（4） 由h(k ) (0+ )確定齊次解中的系數(shù)。例 2.4.3 用沖激函數(shù)匹配法重解例 2.4.1設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為d 2dt 2dd( ) + 4r t

50、 dt( ) + 3r t( ) =e t dt( ) + e t( )，試求其沖激響應(yīng)。r t解：沖激響應(yīng)h (t ) 滿足的微分方程為d 2dt 2dd( ) + 4h t dt( ) + 3h t( ) =d ( ) + d ( )h tttdt特征方程為 a 2 + 4a + 3 = 0特征根 a1 = -1，a 2 = -3于是設(shè)微分方程的齊次解為：h(t ) = A e+ A e-3t ， t ³ 0-t+12下面用沖激函數(shù)匹配法求初始條件，設(shè)d 2dt 2d dt( ) = ad ( )bd ( ) +( )'t +Dh ttcu th(t ) = ad (t ) + bDu(t )h(t ) = aDu(t )將上述三個(gè)等式代入沖激響應(yīng)h (t ) 滿足的微分方程得21LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)ad ' (t ) + bd (t ) + cDu(t ) + 4ad (t ) + 4bDu(t ) + 3aDu(t ) = d ' (t ) + d (t )比較等式兩端d ' (t )及d (t )的系數(shù)得ìa = 1íîb + 4a =