概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-L5.4假設(shè)檢驗概述

1、54 假設(shè)檢驗概述一、假設(shè)檢驗問題的提法 二、假設(shè)檢驗的思想和原理 三、假設(shè)檢驗的一般步驟 四、檢驗的顯著性水平與兩類錯誤 六、多參數(shù)與非參數(shù)假設(shè)檢驗問題 五、檢驗的p值 1引例 例520 某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品 其出廠標準為 次品率不超過4% 現(xiàn)抽測60件產(chǎn)品 發(fā)現(xiàn)有3件次品 問這批產(chǎn)品能否出廠？ 若以X記一次抽測的結(jié)果 X1與X0分別表示抽到次品與正品 則X為伯努利總體且PX1p 這里p為次品率 問題轉(zhuǎn)化為判斷是否有p4% 我們把它稱為一個假設(shè) 一、假設(shè)檢驗問題的提法2一、假設(shè)檢驗問題的提法引例 例520 某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品 其出廠標準為 次品率不超過4% 現(xiàn)抽測60件產(chǎn)品 發(fā)現(xiàn)有3件次品 問

2、這批產(chǎn)品能否出廠？ 根據(jù)問題 知 次品率p是未知的 樣本的次品率為3/605% 但我們不能簡單地根據(jù)樣本的次品率5%認定次品率超過4% 而必須提出合理的方法去判斷假設(shè)是否成立 我們要利用樣本去判斷假設(shè)p4%是否成立 3 例521 某廠宣稱已采取大力措施治理廢水污染 根據(jù)經(jīng)驗 廢水中所含某種有毒物質(zhì)的濃度X(單位 mg/kg)服從正態(tài)分布 現(xiàn)環(huán)保部門抽測了9個水樣 測得樣本平均值為x17.4 樣本標準差為s24 以往該廠廢水中有毒物質(zhì)的平均濃度為182 試問有毒物質(zhì)的濃度有無顯著變化？ 根據(jù)問題 知 XN( 2) 其中 2均是未知的 正常情況下 182 樣本平均值為x174 直觀上看 有毒物質(zhì)的

3、濃度有所降低 但這種差異也有可能是抽樣的隨機性造成的 問題可轉(zhuǎn)化為判斷是否有182 我們要利用樣本去判斷假設(shè)182是否成立 4 例522 隨機抽測了50名2000年1月出生的男嬰的體重 希望確定男嬰的體重X是否服從正態(tài)分布 設(shè)F(x)為X的分布函數(shù) 同樣先提出假設(shè) F(x)是N( 2)分布 然后利用樣本去判斷假設(shè)是否成立 例521 某廠宣稱已采取大力措施治理廢水污染 根據(jù)經(jīng)驗 廢水中所含某種有毒物質(zhì)的濃度X(單位 mgkg)服從正態(tài)分布 現(xiàn)環(huán)保部門抽測了9個水樣 測得樣本平均值為x17.4 樣本標準差為s24 以往該廠廢水中有毒物質(zhì)的平均濃度為182 試問有毒物質(zhì)的濃度有無顯著變化？5 對總體

4、分布函數(shù)的類型或分布函數(shù)中的參數(shù)提出假設(shè) 希望通過抽樣并根據(jù)樣本提供的信息對假設(shè)是否成立進行推斷 這類問題即是統(tǒng)計推斷的另一類基本問題假設(shè)檢驗 假設(shè)檢驗 在假設(shè)檢驗問題中 我們把任何一個有關(guān)總體未知分布的假設(shè)稱為統(tǒng)計假設(shè) 簡稱假設(shè) 統(tǒng)計假設(shè) 通常把待檢驗的假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè) 記為H0 與之對立的假設(shè)則稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè) 記為H1 6 通常把待檢驗的假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè) 記為H0 與之對立的假設(shè)則稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè) 記為H1 對總體分布函數(shù)的類型或分布函數(shù)中的參數(shù)提出假設(shè) 希望通過抽樣并根據(jù)樣本提供的信息對假設(shè)是否成立進行推斷 這類問題即是統(tǒng)計推斷的另一類基本問題假設(shè)檢驗 假設(shè)檢驗

5、統(tǒng)計假設(shè) 比如上述三例假設(shè)問題可分別簡述為 H0 p4%H1 p4% H0 182H1 182 H0 F(x)是N( 2)分布H1F(x)不是N( 2)分布 7 總體的分布類型是已知的 未知的只是其中的一個或幾個參數(shù) 統(tǒng)計假設(shè)只與這些未知參數(shù)有關(guān) 我們稱為參數(shù)假設(shè) 相應(yīng)的檢驗稱為參數(shù)假設(shè)檢驗 總體的分布類型也是未知的 在這種情形往往需要直接針對總體分布的具體形式或總體分布的某些特征提出假設(shè) 我們稱此類假設(shè)為非參數(shù)假設(shè) 相應(yīng)的檢驗稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗 參數(shù)假設(shè)檢驗與非參數(shù)假設(shè)檢驗 8 我們可以對照確定性論證中的反證法 如果條件A成立導出一個矛盾的或不可能成立的結(jié)論B 那么A就是錯誤的 假設(shè)檢驗的一

6、般思想 二、假設(shè)檢驗的思想和原理9 統(tǒng)計上的假設(shè)檢驗不可能像反證法一樣導出確定的結(jié)論 但論證的邏輯卻相似 它依據(jù)的是小概率原理 如果H0成立導致一個小概率事件發(fā)生了 那么我們就拒絕假設(shè)H0 二、假設(shè)檢驗的思想和原理 檢驗的顯著性水平是根據(jù)具體問題需要事先確定的一個很小的正數(shù) 比如001 005 010等 假設(shè)檢驗的一般思想 檢驗的顯著性水平 要實施檢驗 首先要確定小概率的大小 這一小概率在假設(shè)檢驗中稱為檢驗的顯著性水平 通常記作 10 統(tǒng)計上的假設(shè)檢驗不可能像反證法一樣導出確定的結(jié)論 但論證的邏輯卻相似 它依據(jù)的是小概率原理 如果H0成立導致一個小概率事件發(fā)生了 那么我們就拒絕假設(shè)H0 二、假

7、設(shè)檢驗的思想和原理假設(shè)檢驗的一般思想 檢驗的顯著性水平 要實施檢驗 首先要確定小概率的大小 這一小概率在假設(shè)檢驗中稱為檢驗的顯著性水平 通常記作 對給定的顯著性水平 我們要確定一個由樣本所描述的概率不超過顯著性水平的小概率事件 這一小概率事件對應(yīng)的樣本取值區(qū)域通常稱為假設(shè)檢驗的拒絕域 拒絕域 11二、假設(shè)檢驗的思想和原理 對給定的顯著性水平 我們要確定一個由樣本所描述的概率不超過顯著性水平的小概率事件 這一小概率事件對應(yīng)的樣本取值區(qū)域通常稱為假設(shè)檢驗的拒絕域 拒絕域 一旦樣本觀察值落入拒絕域 便拒絕零假設(shè) 否則 不能拒絕零假設(shè) 為確定拒絕域 需要構(gòu)造一個含待檢驗參數(shù)、分布已知的樞軸量 通過樞軸

8、量的已知分布并結(jié)合零假設(shè)確定拒絕域 12三、假設(shè)檢驗的一般步驟檢驗的一般步驟 1 建立零假設(shè)H0 2 構(gòu)造一個含待檢參數(shù)(不含其他未知參數(shù)!)且分布已知的樞軸量u(X1 X2 Xn ) 并確定其分布 3 對給定的顯著性水平 由上述樞軸量及其分布 結(jié)合零假設(shè)H0 確定拒絕域C 使得 P(X1 X1 Xn)C | H0 (56) 4 根據(jù)樣本值(x1 x1 xn)是否落在C中作出是否拒絕H0的統(tǒng)計決斷 如果(x1 x2 xn)C 則拒絕H0 如果(x1 x2 xn )C 則不能拒絕H0 13 例523 已知 XN( 2) 其中 2均是未知的 n9x174 s24 試在005的顯著性水平下檢驗H0

9、182 解 (1)建立零假設(shè)H0 182 (2)構(gòu)造樞軸量) 8 (/tnSXT (3)在 H0 假設(shè)下) 8 (/00tnSXT 從而 05. 0) 8 (|9/|)8 (|025. 00025. 00tSXPtTp 其中t0025(8)2306 于是拒絕域為 306. 2|9/2 .18:|), ,(21sxxxxCn 14 例523 已知 XN( 2) 其中 2均是未知的 n9x174 s24 試在005的顯著性水平下檢驗H0 182 解 (3)于是拒絕域為 306. 2|9/2 .18:|), ,(21sxxxxCn (4)因為觀察到的樣本值(x1 x1 xn)滿足 306. 200.

10、 1|9/4 . 22 .184 .17|9/2 .18|0sxt 樣本值不在拒絕域中 不能拒絕H0 182 即不能認為有毒物質(zhì)濃度有明顯變化 15 一般說來 統(tǒng)計推斷的特點是由樣本提供的信息來推斷總體 這樣 推斷時所下的結(jié)論未必總是正確的 四、檢驗的顯著性水平與兩類錯誤16四、檢驗的顯著性水平與兩類錯誤兩類錯誤 如果零假設(shè)H0事實上是成立的 但卻因樣本觀察值落入拒絕域而拒絕了零假設(shè)H0 這便犯了棄真錯誤 通常稱為第一類錯誤 如果零假設(shè)H0不成立 卻因樣本的觀測值落入接受域 而接受了零假設(shè)H0時 便犯了納偽錯誤 通常稱為第二類錯誤 顯著性水平的作用 零假設(shè)H0成立時 拒絕零假設(shè)的概率至多為顯著

11、性水平 這表明犯第一類錯誤的概率至多為 從而說明檢驗的顯著性水平是用以控制犯第一類錯誤的概率的 17說明 不能認為顯著性水平取得越小 假設(shè)檢驗的準確程度就越高 因為顯著性水平只是用來控制犯第一類錯誤的概率 而在假設(shè)檢驗中還存在著犯第二類錯誤的可能性 一般來說 當樣本容量給定時 在降低顯著性水平的同時 往往會增大犯第二類錯誤的可能性 通常的做法是事先給定顯著性水平來限制犯第一類錯誤的概率 再通過選取好的檢驗方法盡可能減少犯第二類錯誤的概率18五、檢驗的p值 為避免事先人為地確定顯著性水平，許多統(tǒng)計軟件使用了p值的概念。一個假設(shè)檢驗的p值是指一個最小的顯著性水平，在該顯著性水平下，給定的樣本觀察拒

12、絕該零假設(shè)。 在例5.23中，拒絕或接受零假設(shè)H0 182，要根據(jù)樣本值是否落入拒絕域；而這需要確定統(tǒng)計量T0的樣本值t0是否滿足 |t0| t/2=t0.025；滿足就拒絕零假設(shè)，否則不能拒絕。 隨著顯著性水平的不同，要對每個不同的查表得到t/2；再判斷是否 |t0|t/2。19五、檢驗的p值 隨著顯著性水平的不同，要對每個不同的查表得到t/2；再判斷是否 |t0|t/2。 實際上 |t0|t/2等價于P|T0|t0|t/2=?？梢灶A先計算概率值p=P|T0|t0|，此即檢驗的p值。 對任意給定的顯著性水平，如果pt/2，即由樣本值計算得到的t0落入拒絕域，從而拒絕零假設(shè)，否則不能拒絕。 一

13、個假設(shè)檢驗的p值是指一個最小的顯著性水平，在該顯著性水平下，給定的樣本觀察拒絕該零假設(shè)。20 例523 某廠宣稱已采取大力措施治理廢水污染 根據(jù)經(jīng)驗 廢水中所含某種有毒物質(zhì)的濃度X(單位 mg/kg)服從正態(tài)分布 現(xiàn)環(huán)保部門抽測了9個水樣 測得樣本平均值為x17.4 樣本標準差為s24 以往該廠廢水中有毒物質(zhì)的平均濃度為182 分別在=0.01，0.05，0.10的顯著性水平下檢驗有毒物質(zhì)的濃度有無顯著變化？ 解 (1)建立零假設(shè)H0 182 (2)構(gòu)造樞軸量) 8 (/tnSXT (3)在H0假設(shè)下);8(/00tnSXT21 例523 某廠宣稱已采取大力措施治理廢水污染 根據(jù)經(jīng)驗 廢水中所含某種有毒物質(zhì)的濃度X(單位 mg/kg)服從正態(tài)分布 現(xiàn)環(huán)保部門抽測了9個水樣 測得樣本平均值為x17.4 樣本標準差為s24 以往該廠廢水中有毒物質(zhì)的平均濃度為182 分別在=0.01，0.05，0.10的顯著性水平下檢驗有毒物質(zhì)的濃度有無顯著變化？(4)計算統(tǒng)計量T0的樣本值;00. 1;00. 1/000tnsxt(5)計算p值36. 0121|0000TPTPtTPp(6)比較值與p值并作結(jié)