基本不等式編輯版(非常全面)

1、基本不等式專題輔導一、知識點總結1、基本不等式原始形式二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式(1)若 a,b R,則 a2b22ab1、設a,b均為正數(shù)，證明不等式：Jab »1若a,b R,貝U ab 2、基本不等式一般形式(均值不等式)*右 a,b R ,則 a b2jab1時取“=”)1時取“=”)b時取“=”)4、已知 a,b,c R且a b c 1 , 求證：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc3、基本不等式的兩個重要變形(1)若 a,bR*,則 土上 v'ab22(2)若 a,bR*,則 ab b總結：當兩個正數(shù)的積為定植時，它們的和有最小值； 當兩個正

2、數(shù)的和為定植時，它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中，當且僅當a b時取“二” 4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常用結論1(1)右x 0,則x 2 (當且僅當x x1(2)右乂 0,則x 2 (當且僅當xx(3)若ab 0,則3b 2 (當且僅當a b a22(4)若 a,b R,則 ab Cab)2 a一b- 22(5)若 a,b R*,則Jab _a_b1 12a b2、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：2,22a b c ab bc ca22213、已知a b c 1,求證：a b c -3特別說明：以上不等式中，當且僅當a b時取“二”6、柯西不等式(1)若 a,

3、b, c,d R,則(a2 b2)(c2 d2) (ac bd )2(2)若 a1, a2, a3, bi, b2, b3 R ,則有：,2222,2,22(aa2a3 )(16b2b3 ) “ a2b2 a3b3)(3)設q®, a與"b, ,bn是兩組實數(shù)，則有2_ 2_ 22,2, 22(a1a?an)(4b?bn)(ama2b2，6)5、已知a,b,c R ,且a b c 1 ,求證：6、（ 2013年新課標n卷數(shù)學（理）選修4一5:不等式選講設a,b,c均為正數(shù)，且a b c 1,證明：.1(I) ab bc ca -；( 32, 22、abcn) bca1.題型

4、二：利用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域21（1） y 3x 2（2） y x（4 x）2x,、1 , c、1(3) y x (x 0)(4)y x (x 0)xx題型三：利用不等式求最值（一）（湊項）4，1、已知x 2 ,求函數(shù)y 2x 4 的取小值;2x 47、2 2013年江蘇卷（數(shù)學）選F修45：不等式選r講已知 a b 0,求證：2a3 b3 2ab2 a2b4變式1：已知x 2 ,求函數(shù)y 2x 的最小值;2x 44.變式2：已知x 2 ,求函數(shù)y 2x 的最大值;2x 42、若0 x 2 ,求y ,x(6 3x)的最大值;練習：1、已知x 5,求函數(shù)y 4x 2 1一的最小值

5、;44x 552、已知X ,求函數(shù)y 4X 21 的取大值;44x 5變式：若0 x 4 ,求y Jx(8 2x)的最大值;題型四：利用不等式求最值(二)(湊系數(shù))1、當|口工c 4時，求y x(8 2x)的最大值；3、求函數(shù)y v;2x 1 55 2x(- x勺)的最大值;22(提示：平方，利用基本不等式)變式1：當口工工4時，求y 4x(8 2x)的最大值;變式：求函數(shù)y 、；4x 3 <11 4x(- x 11)的最大值; 443變式2：設0 x -，求函數(shù)y 4x(3 2x)的最大值。2題型五：巧用“ 1”的代換求最值問題一，、11 ,1、已知a,b 0,a 2b 1 ,求t 的

6、最小值;a b1變式4：已知x, y 0 ,且一 x4 ,求x y的最小值; y法一：變式5:(1)若 x, y 0 且 2x y(2)若a,b,x,y R 且芻x111 ,求一一的最小值；x yb 1,求x y的最小值;y變式1：已知a,b 0,a 2b 2,求t11-1的最小值;a b2 8.變式2：已知x, y 0,一 1 ,求xy的最小值;x y變式6：已知正項等比數(shù)列 an滿足：a7 a6 2a5,若14 . 一 , .存在兩項am，an ,使得4 aman 4al，求一 一的取小值； m n9 ,求x y的最小值。11變式3：已知x, y 0,且一一 x y1、求函數(shù)y題型六：分離

7、換元法求最值（了解）x2 7x 10(x1)的值域;x 1題型七：基本不等式的綜合應用a b .1、已知log 2 a 10g 2 b 1 ,求39的最小值變式：求函數(shù)yx2 8 ,(x 1)的值域;x 12、（2009天津）已知a,b 0,求12V0b的最小值; a b2、求函數(shù)yx 2 的取大值；（提不：換兀法）2x 5變式1： （2010四川）如果a b 0,求關于a,b的表達11式a 的最小值；ab a（a b）變式：求函數(shù)x 1.y 的取大值;4x 9變式2： （2012湖北武漢診斷）已知，當 a 0, a 1時，函數(shù)y 1oga（x 1） 1的圖像恒過定點 A ,若點A在直線mx

8、y n 0上，求4m 2 n的最小值；3、已知 x, y 0 , x2y 2xy 8,求x 2y最小值;4、（2013 年山東（理）設正實數(shù)x,y, z滿足x2 3xy 4y2 z 0 ,則當上取得最大值 z一 212時，一一一的取大值為（）x y zA. 0 B. 1C. 9 D. 34（提示：代入換元，利用基本不等式以及函數(shù)求最值）變式1:已知a,b 0,滿足ab a b 3,求ab范圍;變式2: （2010山東）求xy最大值；（提示:已知 x,y 0 ,2 x 2 y 3通分或三角換元）2變式：設x,y,z是正數(shù)，滿足x 2y 3z 0 ,求工的 xz最小值；變式3: （2011浙江）求

9、xy最大值；已知 x, y 0 , x2 y2 xy 1 ,題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1 a、一1、(2012 沈陽檢測)已知 x, y 0,且(x y)(- a) 9x y恒成立，求正實數(shù) a的最小值；,一 一 11 n ,2、已知x y z 0且恒成立,x y y z x z如果n N ，求n的最大值；(參考：4)(提示：分離參數(shù)，換元法)題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式(a,b,c,d R,當且僅當a -;即ad bc時等號成立)c d若 a, b,c,d R,則(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22、二維形式的柯西不等式的變式(1)702b7 cc2 d2

10、 ac bda b(a,b, c, d R,當且僅當一 一；即ad bc時等w成立)c d(2), a2 b2 . c2 d2 ac bda b(a,b, c, d R,當且僅當一 一；即ad bc時等w成立)c d(a b)(c d) (, ac . bd )2a b(a,b, c, d 0,當且僅當一 一；即ad bc時等w成立)c d3、二維形式的柯西不等式的向量形式(當且僅當0,或存在實數(shù)k,使a k時，等號成立)、，. 八.14變式：已知a,b 0滿則一一 a b求c的取值范圍；2,若a b c恒成立,4、三維柯西不等式若 ai,a2, a3,b1,b2,b3 R,則有：,2222,

11、2,22(a a2 a3 )(1>b2 4 ) (abi a2b2 a3b3)(a,bi R,當且僅當史之0時等號成立) b1 b2 b35、一般n維柯西不等式設a1,a2, ,an與b1,b2, ,bn是兩組實數(shù)，則有：,222、2222(a1 a?an )(b b?講)(&" a2b2an")(ai,bi R,當且僅當曳生b1 b2an時等號成立) bn題型分析4、（2013 年湖南卷（理）已知 a,b,c ,a 2b 3c 6,題型一：利用柯西不等式一般形式求最值222貝u a 4b 9c的最小值是 ( Ans:12)1、設 x, y, z R,若 x2 y2 z2 4,則 x 2y 2z 的最小值為 時，（x, y,z） 析：(x 2y 2z)2 (x2y2 z2)12 ( 2)2 224 9 36x 2y 2z最小值為 6此日x1yz6-T 二"22 T22 21( 2)222 .一y z的取22、設 x, y, z R , 2x y 2z 6,求x小值m,并求此時x,y, z之值。.,、，424、Ans： m 4;(x, y,z)(-,-,-)3335、（2013 年湖北卷（理）設x, y, z R ,且滿足：x2 y2 z2 1 , x 2y 3z