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文檔簡(jiǎn)介

1、第二章第二章 矩陣矩陣2.1 矩陣與矩陣的運(yùn)算矩陣與矩陣的運(yùn)算一、矩陣概念的引入一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義二、矩陣的定義三、特殊的矩陣三、特殊的矩陣四、矩陣的運(yùn)算四、矩陣的運(yùn)算其中其中 表示有表示有航班航班始發(fā)地始發(fā)地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之間開辟了若干航線,四座城市城市之間開辟了若干航線,四座城市之間的航班圖如圖所示,箭頭從始發(fā)之間的航班圖如圖所示,箭頭從始發(fā)地指向目的地地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示:一、矩陣概念的引入一、矩陣概念的引入為了便于計(jì)算,把表中

2、的為了便于計(jì)算,把表中的改成改成1,空白地方填上,空白地方填上0,就得到一個(gè)數(shù)表:就得到一個(gè)數(shù)表:ABCD A B C D這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況. .1111111000000000其中其中aij 表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店家商店發(fā)送第發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量 例例 某工廠生產(chǎn)四種貨物,它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可某工廠生產(chǎn)四種貨物,它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為:用數(shù)表表示為:這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表:這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表: 11121314212223243132333

3、4aaaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價(jià),種貨物的單價(jià),bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 1112212231324142bbbbbbbb數(shù)域數(shù)域定義:定義:對(duì)于一個(gè)至少含有對(duì)于一個(gè)至少含有0,1的復(fù)數(shù)集合的子集合的復(fù)數(shù)集合的子集合F,如,如 果其中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為果其中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為0) 仍在仍在F中,那么中,那么F稱為一個(gè)數(shù)域稱為一個(gè)數(shù)域 所有的有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)都分別形成一個(gè)數(shù)域(有理數(shù)所有的有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)都分別形成一個(gè)數(shù)域(有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域),分別記為域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域)

4、,分別記為所有的奇數(shù)(偶數(shù))都不能構(gòu)成數(shù)域所有的奇數(shù)(偶數(shù))都不能構(gòu)成數(shù)域., ,構(gòu)成一個(gè)數(shù)域構(gòu)成一個(gè)數(shù)域. 通常用通常用 表示這個(gè)數(shù)域表示這個(gè)數(shù)域.例例 集合集合 2,Faba b證證 顯然顯然 包含包含0,1并且對(duì)于加減法是封閉的并且對(duì)于加減法是封閉的. 另外另外( 2)( 2)(2)(2)(2)() 2abcdacbdadbc 因?yàn)橐驗(yàn)閍,b,c,d都是有理數(shù),所以都是有理數(shù),所以ac+2bd,ad+bc也是有理數(shù)也是有理數(shù).從而說(shuō)明對(duì)乘法也是封閉的從而說(shuō)明對(duì)乘法也是封閉的. 設(shè)設(shè) ,則,則20ab 2222222222cdacbdadbcababab 知對(duì)除法也封閉知對(duì)除法也封閉. 由

5、由 mn 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 排成的排成的 m 行行 n 列的數(shù)表列的數(shù)表(1,2,;1,2, )ijaim jn 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa稱為稱為 m 行行 n 列矩陣列矩陣,簡(jiǎn)稱,簡(jiǎn)稱 mn 矩陣矩陣 記作記作 二、矩陣的定義二、矩陣的定義(定義在數(shù)域(定義在數(shù)域F上)上)111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為()ijm nmnm nAaAA 元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣復(fù)矩陣. .這這 mn 個(gè)數(shù)稱為矩陣個(gè)數(shù)

6、稱為矩陣A的的元素元素,簡(jiǎn)稱為元,簡(jiǎn)稱為元. .n行數(shù)不一定等于列數(shù)行數(shù)不一定等于列數(shù)n共有共有mn個(gè)元素個(gè)元素n本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表n行數(shù)等于列數(shù)行數(shù)等于列數(shù)n共有共有n2個(gè)元素個(gè)元素矩陣矩陣行列式行列式111212122211nnmmmnaaaaaaaaa121212111212122212()12( 1)nnnnnnnnnt p ppppnpp ppaaaaaaaaaaaa det()ija()ijm na 同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念1. 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí),稱為兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣同型矩陣. .例如例如12143

7、56843739與與為同型矩陣為同型矩陣. .2. 兩個(gè)矩陣兩個(gè)矩陣 與與 為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即素相等,即則稱矩陣則稱矩陣 A 與與 B 相等相等,記作,記作 A = B . .()ijstAa (1,2,;1,2, )ijijabim jn()ijstBb 注意:不同型的零矩陣是不相等的注意:不同型的零矩陣是不相等的. . 00000000 0000 .00000000例如例如 1. 只有一行的矩陣只有一行的矩陣 稱為稱為行矩陣行矩陣(或或行向量行向量) . .只有一列的矩陣只有一列的矩陣 稱為稱為列矩陣列矩陣(或或列向量列向量) . .2. 元素全是零的矩

8、陣稱為元素全是零的矩陣稱為零距陣零距陣可記作可記作 O . .12(,)nAa aa 12naaBa 例如:例如: 2 20000O 1 40000O 三、特殊的矩陣三、特殊的矩陣3. 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣,稱為的矩陣,稱為 n 階方陣階方陣可記作可記作 . . 稱稱 為方陣的主對(duì)角線元素,所有主對(duì)角線為方陣的主對(duì)角線元素,所有主對(duì)角線 元素的和稱為方陣的跡,記為元素的和稱為方陣的跡,記為11221tr( )nnniiiaaaAa nA(1,2, )iiain 4. 形如形如 的方陣稱為的方陣稱為對(duì)角陣對(duì)角陣特別的,方陣特別的,方陣 稱為稱為單位矩陣單位矩陣112200

9、0000nnaaa 1122(,)nnd gaAiaaa 記作記作100010001 記作記作 nE定義定義 設(shè)設(shè) ,稱,稱 是是A的的負(fù)矩陣負(fù)矩陣,其中,其中()ijmnAa 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa()ijmnAa 例例 某工廠生產(chǎn)四種貨物,它在上半年和下半年向三家商店某工廠生產(chǎn)四種貨物,它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示:發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示:111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc試求:工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量試求:

10、工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工廠向第工廠向第 i 家家商店發(fā)送第商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量其中其中cij 表示工廠表示工廠下半年下半年向第向第 i 家家商店發(fā)送第商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac111213142122232431323334aa

11、aaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac解:解:工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 1、矩陣的加法、矩陣的加法定義:定義:設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè) mn 矩陣矩陣 A = (aij),B = (bij) ,那么矩陣那么矩陣 A 與與 B 的和記作的和記作 AB,規(guī)定為,規(guī)定為111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABa

12、babab說(shuō)明:說(shuō)明:只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算. .121221113212233132233232ababaaaaaaba 111311132123212331331212222233233213aaaaaaaaaabababaaa 知識(shí)點(diǎn)比較知識(shí)點(diǎn)比較111311131113212321232123313331312121212222222223232321333233 aaaaaababababababaaaaaaaaaaaaa 111311131113212321232123313331331212121222222222

13、323232323133222222aabababaaaaaaaaaaaaaaaaaababab 交交換換律律結(jié)結(jié)合合律律其其他他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律, ,a b cRabba()()abcabcABBA()()ABCABC()0AA , ()ABAB 設(shè)設(shè) A、B、C 是同型矩陣是同型矩陣設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A = (aij) ,記記A = (aij)(A 的負(fù)矩陣)的負(fù)矩陣)顯然顯然設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各 l l 件,試求:工廠向該商件,試求:工廠向該商店發(fā)送第店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量種貨物的總值及總重量例(續(xù))例(續(xù))該廠所生產(chǎn)的

14、貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表:該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表:其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單價(jià)單價(jià),bi 2 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單件重量單件重量 1112212231324142bbbbbbbb 1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbbllllllllllllllll1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbbllllllllllllllll解:解:工廠向該商店發(fā)送第工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量種貨物的總值及總重量l

15、l 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單價(jià)單價(jià),bi 2 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單件重量單件重量 2、數(shù)與矩陣相乘、數(shù)與矩陣相乘定義:定義:數(shù)數(shù) k是復(fù)數(shù)域中的一個(gè)數(shù),它是復(fù)數(shù)域中的一個(gè)數(shù),它與矩陣與矩陣 A 的乘積記作的乘積記作 k A 或或 A k ,規(guī)定為,規(guī)定為111212122211nnmmmnkakakakakakakAAkkakaka結(jié)結(jié)合合律律分分配配律律備備注注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律, ,a b cR()()ab ca bc ()abcacbc()()AAll ll ()AAAllll()cabcacb()ABABllllll設(shè)設(shè)

16、A、B是同型矩陣,是同型矩陣,l l , , 是數(shù)是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱為矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算矩陣的線性運(yùn)算. .111213212223313233aaaaaaaakkak 111213212223313233aaaaaaaakkak 111213212223313233aaaaaaaaak知識(shí)點(diǎn)比較知識(shí)點(diǎn)比較111213111213212223212223313233313233kkkaaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaka 其中其中aij 表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店家商店發(fā)送第發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量 例(續(xù))例(續(xù))

17、 某工廠生產(chǎn)四種貨物,它向三家商店發(fā)送的貨物某工廠生產(chǎn)四種貨物,它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為:數(shù)量可用數(shù)表表示為:這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表:這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表: 111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價(jià),種貨物的單價(jià),bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 1112212231324142bbbbbbbb試求:工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量試求:工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量 解:解:111213142122232431323334aa

18、aaaaaaaaaa1112212231324142bbbbbbbb以以 ci1, ci2 分別表示工廠向第分別表示工廠向第 i 家商店所發(fā)貨物的總值及家商店所發(fā)貨物的總值及總重量,其中總重量,其中 i = 1, 2, 3于是于是其中其中aij 表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店家商店發(fā)送第發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價(jià),種貨物的單價(jià),bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 11c 1111ab 1221ab 1331ab 1441ab 1141kkka b 11 1212221332114422ca ba ba

19、ba b1241kkka b 41 12233441ijijijijkkkijijca ba ba ba ba b (1,2,3;1,2)ij1112111213141112212221222324212231323132333431324142bbaaaaccbbaaaaccbbaaaaccbb 可用矩陣表示為可用矩陣表示為一般地,一般地,4、矩陣與矩陣相乘、矩陣與矩陣相乘定義:定義:設(shè)設(shè) , ,那么規(guī)定矩陣,那么規(guī)定矩陣 A 與矩與矩陣陣 B 的乘積是一個(gè)的乘積是一個(gè) mn 矩陣矩陣 ,其中,其中()ijm sAa ()ijs nBb ()ijCc 1 1221sijijisijsjkkk

20、ijca ba ba ba b (1,2,;1,2, )im jn并把此乘積記作并把此乘積記作 C = AB 03410121211130 , 3110514121AB 例:例:設(shè)設(shè)567102621710AB 則則11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 知識(shí)點(diǎn)比較知識(shí)點(diǎn)比較11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 有意義有意義. .沒(méi)有意義沒(méi)有意義. .只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí),等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣才能相乘兩個(gè)矩陣才能相乘. .例例 P.34P.34例例1.21

21、.2 結(jié)論:結(jié)論:1.1. 矩陣乘法不一定滿足交換律矩陣乘法不一定滿足交換律. .2.2. 矩陣矩陣 ,卻有,卻有 ,從而不能由從而不能由 得出得出 或或 的結(jié)論的結(jié)論, AO BOABO ABO AO BO 214 331 17 2314 31 2863129143 矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)(1) 乘法結(jié)合律乘法結(jié)合律 證明?證明? ()()AB CA BC (3)(3) 乘法對(duì)加法的分配律乘法對(duì)加法的分配律() ()A BCABACBC ABACA(2)(2) 數(shù)乘和乘法的結(jié)合律數(shù)乘和乘法的結(jié)合律 (其中(其中 l l 是數(shù))是數(shù)) ()ABA Bllll (4) (4)

22、 單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1 1,即,即mmmnnnE AAEA矩陣乘法不一定滿足交換律矩陣乘法不一定滿足交換律!(5)(5) 設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)n階方陣,階方陣,f(x), ,g(x)為復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式,則矩陣為復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式,則矩陣A的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式f(A)和和g(A)的乘法滿足交換律的乘法滿足交換律, ,即即 f(A)g(A)= g(A)f(A).例:例:如果如果AB=BA,我們就稱矩陣我們就稱矩陣A,B可交換可交換. 證明和對(duì)角證明和對(duì)角矩陣矩陣可交換的只能是對(duì)角矩陣可交換的只能是對(duì)角矩陣. 其中其中1122000000nnaaa(, ,1,2

23、).iijjaaij i jn證證 設(shè)矩陣設(shè)矩陣B可以和可以和A可交換可交換. 其中其中111212122212nnnnnnbbbbbbBbbb 則則11121112122222121111121222122212000000000000nnnnnnnnnnnnnnnnbbbabbbabbbaabbbabbbabbb 即即依次比較兩邊矩陣的第一行,第二行,依次比較兩邊矩陣的第一行,第二行,.,可以得到可以得到故結(jié)論成立故結(jié)論成立11 1111 11112122222221222211222112112111 11 12222211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnna ba ba

24、ba ba ba ba ba baa ba baa bba ba baababbb 0,ijbij (5) 矩陣的冪矩陣的冪 若若 A 是是 n 階階方陣方陣,定義定義ssAAAA 顯然顯然 , 定義定義, ()klk lklklA AAAA 22222()()2 ()()kkkABA BABAABBABABAB 思考:思考:下列等式在什么時(shí)候成立?下列等式在什么時(shí)候成立?A、B可交換時(shí)成立可交換時(shí)成立0AE 5、矩陣的轉(zhuǎn)置、矩陣的轉(zhuǎn)置定義:定義:把矩陣把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,叫做的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,叫做 的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣,記作,記作AT . .例例122,

25、458A 186 ,B 1425 ;28TA 18.6TB 轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(1) ();TTAA (2) ();TTTABAB (3) ();TTAAllll (4) ().TTTABB A 例:例:已知已知 171201,423, .132201TABAB 求求解法解法11712014231322010143 ,171310AB 017()1413 .3 10TAB 解法解法2()TTTABB A 14221017720031413 .13112310定義:定義:設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣,如果滿足階方陣,如果滿足 ,即,即那么那么 A 稱為稱為對(duì)稱陣對(duì)稱陣. . ,1

26、,2,ijjiaai jn TAA 1261680106A 如果滿足如果滿足 A = AT,那么,那么 A 稱為稱為反對(duì)稱陣反對(duì)稱陣. . 對(duì)稱陣對(duì)稱陣 061607170A 反對(duì)稱陣反對(duì)稱陣 例:例:設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 X = ( x1, x2, , xn )T 滿足滿足 X T X = 1,E 為為 n 階階單位陣,單位陣,H = E2XXT,試證明,試證明 H 是對(duì)稱陣,且是對(duì)稱陣,且 HHT = E. .證明:證明:(2)TTTHEXX2()TTEXX( 2)TTTEXX 2()TTTEXX2TEXXH 從而從而 H 是對(duì)稱陣是對(duì)稱陣 22(2)TTHHHEXX224( 2)TTEXXX

27、X 44TTTEXXXX XX44()TTTEXXX X X X44TTEXXXXE 6、共軛矩陣、共軛矩陣當(dāng)當(dāng) 為復(fù)矩陣時(shí),用為復(fù)矩陣時(shí),用 表示表示 的共軛復(fù)數(shù),記的共軛復(fù)數(shù),記, 稱為稱為 的的共軛矩陣共軛矩陣. ()ijAa ijaija()ijAa AA111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 顯然顯然 ,復(fù)矩陣,復(fù)矩陣A是實(shí)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)是實(shí)矩陣當(dāng)且僅當(dāng) . ( )TTAA AA 1212,34353435134235TiiiiAAiiiAii 例例(設(shè)(設(shè)A,B 為復(fù)矩陣,為復(fù)矩陣,l l 為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的):為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的):性質(zhì)性質(zhì) 2;AAl

28、lll 3.ABAB 1;ABAB 4 | |.AA 作業(yè)作業(yè)習(xí)題二習(xí)題二1(3)(4),5, 7, 112.2 矩陣的分塊矩陣的分塊前言前言n由于某些條件的限制,我們經(jīng)常會(huì)遇到大型文件無(wú)法上傳由于某些條件的限制,我們經(jīng)常會(huì)遇到大型文件無(wú)法上傳的情況,如何解決這個(gè)問(wèn)題呢的情況,如何解決這個(gè)問(wèn)題呢?n這時(shí)我們可以借助這時(shí)我們可以借助WINRAR把文件分塊,依次上傳把文件分塊,依次上傳. .n家具的拆卸與裝配家具的拆卸與裝配問(wèn)題一:?jiǎn)栴}一:什么是矩陣分塊法?什么是矩陣分塊法?問(wèn)題二:?jiǎn)栴}二:為什么提出矩陣分塊法?為什么提出矩陣分塊法?問(wèn)題一:?jiǎn)栴}一:什么是矩陣分塊法?什么是矩陣分塊法?定義:定義:

29、用一些水平線和垂直線將矩陣分成若干個(gè)小塊,這種用一些水平線和垂直線將矩陣分成若干個(gè)小塊,這種操作稱為操作稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊對(duì)矩陣進(jìn)行分塊;每一個(gè)小塊稱為每一個(gè)小塊稱為矩陣的子塊矩陣的子塊;矩陣分塊后,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為矩陣分塊后,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣分塊矩陣. .111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 12211122AAAA 這是這是2階階方陣嗎?方陣嗎?例例1003101012001100001000001WXAYZ 分塊矩陣分塊矩陣把把 矩陣矩陣A用水平線和垂直線分割成若干個(gè)小矩陣用水平線和垂直線分割成若干個(gè)小矩陣. .如

30、下如下圖圖1112121221112222 ttsssttsAAAAAAAAmmmAlllA mn 問(wèn)題二:?jiǎn)栴}二:為什么提出矩陣分塊法?為什么提出矩陣分塊法?答:對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣答:對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A,運(yùn)算時(shí)采用分塊法,運(yùn)算時(shí)采用分塊法,可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算,可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算,體現(xiàn)了體現(xiàn)了化整為零化整為零的思想的思想. .111213141112131421222324212223243132333431323334, aaaabbbbAaaaaBbbbbaaaabbbb111112121313141421212222232324243131

31、323233333434ababababABabababababababab11A12A21A22A11B12B21B22B1111AB 1212AB 2121AB 2222AB 分塊矩陣的加法分塊矩陣的加法若矩陣若矩陣A、B是同型矩陣,且采用相同的分塊法,即是同型矩陣,且采用相同的分塊法,即11111111, rrssrssrAABBABAABB則有則有11111111rrsssrsrABABABABAB形式上看成形式上看成是普通矩陣是普通矩陣的加法!的加法!111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 111213142122232431323334aaaaA

32、aaaaaaaallllllllllllllllllllllllll 11A12A21A22A分塊矩陣的數(shù)乘分塊矩陣的數(shù)乘11Al l12Al l21Al l22Al l若若l l 是數(shù),且是數(shù),且 1111rssrAAAAA 則有則有1111rssrAAAAAlllll lllll 形式上看成形式上看成是普通的數(shù)是普通的數(shù)乘運(yùn)算!乘運(yùn)算!分塊矩陣的乘法分塊矩陣的乘法一般地,設(shè)一般地,設(shè) A為為m l 矩陣,矩陣,B為為l n矩陣矩陣 ,把,把 A、B 分塊如下:分塊如下:11111211112121222221222122122121 , , trtrssstttttrtrsAAABBBAA

33、ABnnnmmmBBABAAAlllllBlBB 1112121222112, (1, ; 1, )rtrijikkjksssrCCCCCCCA BCABis jrCCC 121212strlmmmmnnnnlll 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置分塊矩陣的轉(zhuǎn)置若若 ,則,則例如:例如:1111rssrAAAAA 1111TTsTTTrsrAAAAA 1112131421222324123431323334,aaaaAaaaaaaaa 1121311122232213233331424344TTTTTaaaaaaAaaaaaa 分塊矩陣不僅分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置,置,而且每一個(gè)子而且每一個(gè)子塊也

34、進(jìn)行轉(zhuǎn)塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置置分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣(補(bǔ)充)(補(bǔ)充)定義:定義:設(shè)設(shè) A 是是 n 階矩陣,若階矩陣,若1. A 的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊,的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊,2. 其余子塊都為零矩陣,其余子塊都為零矩陣,3. 對(duì)角線上的子塊都是方陣,對(duì)角線上的子塊都是方陣,那么稱那么稱 A 為為分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣?yán)纾豪纾?12235000010000830052AOOBOAOAOOBOOA方陣的行列式方陣的行列式定義:定義:由由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式,叫做階方陣的元素所構(gòu)成的行列式,叫做方陣方陣 A 的的行列式行列式,記作,記作| |A| |或或detA

35、. .運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)(1) ;TAA (2);nAAllll (3);ABA B .ABBA證明:證明:要使得要使得 |AB| = |A| |B| 有意義,有意義,A、B 必為同階方陣,必為同階方陣,假設(shè)假設(shè) A = (aij)nn,B = (bij)nn . .我們以我們以 n= 3 為例,構(gòu)造一個(gè)為例,構(gòu)造一個(gè)6階階行列式行列式111213212223313233111213212223313233000000000100010001aaaaaaaaaDbbbbbbbbb | |AB11121311 1111 1211 1321222321 1121 1221 1331323331 11

36、31 1231 13212223313233100000010001aaaa ba ba baaaa ba ba baaaa ba ba bbbbbbb 512 1cb c 111213212223313233111213212223313233000000000100010001aaaaaaaaabbbbbbbbb 411 1cb c 613 1cb c 5222cb c 11121311 11122111 12122211 13122321222321 11222121 12222221 13222331323331 11322131 12322231 133223313233100000

37、010000001aaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba bbbb 4212cb c 6322cb c 11121311 111221133111 121222133211 131223133321222321 112221233121 122222233221 132223233331323331 113221333131 123222333231 133223aaaa ba ba ba ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba b

38、a ba ba ba b2333100000010000001000a b 5323cb c 11121311 11122111 12122211 13122321222321 11222121 12222221 13222331323331 11322131 12322231 133223313233100000010000001aaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba bbbb 4313cb c 6333cb c 11121311 111221133111 121222133211 1312231333212

39、22321 112221233121 122222233221 132223233331323331 113221333131 123222333231 133223aaaa ba ba ba ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba ba ba b2333100000010000001000a b 111213111213212223212223313233313233100000010000001000aaacccaaacccaaaccc 25rr14rr36rr令令 ,則,則 C = (cij)=

40、AB 31ijikkjkca b 3111213111213212223212223313233313233100000010000001000( 1)aaacccaaacccaaaccc 111213111213212223212223313233313233100000010000001000aaacccaaacccaaaccc 從而從而 3| |EC |C |AB ABA B 2.3 矩陣的秩矩陣的秩一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換二、矩陣的秩二、矩陣的秩引例:引例:求解線性方程組求解線性方程組123412341234123422,24,46224,36979.xxxxxxxxxxx

41、xxxxx 一、矩陣的初等變換123412341234123424,22,232,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 123412341234123422,24,46224,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 2123412341234123424,22,232,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 2123423423423424, 2220,5536,3343.xxxxxxxxxxxxx 3 123423423423424, 2220,5536,3343.xxxxxxxxxxxxx 2512342344424,0,26,3.xxxxxxxxx 312342344

42、424,0,26,3.xxxxxxxxx 2 1234234424,0,3,0 0.xxxxxxxx 1234234424,0,3,0 0.xxxxxxxx 取取 x3 為自由變量,則為自由變量,則 132344,3,3.xxxxx 令令 x3 = c ,則,則 1234433xcxcXxcx 恒等式恒等式1413.1003c 三種變換:三種變換: 交換方程的次序,記作交換方程的次序,記作 ; 以非零常數(shù)以非零常數(shù) k 乘某個(gè)方程,記作乘某個(gè)方程,記作 ; 一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 k 倍,記作倍,記作 . . 其逆變換是:其逆變換是:結(jié)論:結(jié)論:1. 由于對(duì)原線性方程

43、組施行的變由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換,因此變換前后換是可逆變換,因此變換前后的方程組同解的方程組同解. .2.2.在上述變換過(guò)程中,實(shí)際上只在上述變換過(guò)程中,實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,未知數(shù)并未參與運(yùn)算算,未知數(shù)并未參與運(yùn)算iji k i k jiji k i+k jijik ik j定義:定義:下列三種變換稱為矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換:交換矩陣中的兩行,記作交換矩陣中的兩行,記作 ;ijrr以非零常數(shù)以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素,記作乘某一行的所有元素,記作 ; irk 某一行加上另一行的某一行加上另一行的 k

44、倍,記作倍,記作 . .ijrkr 其逆變換是:其逆變換是:ijrrirk ijrkr ;ijrr;irk .ijrkr 把定義中的把定義中的“行行”換成換成“列列”,就得到矩陣的,就得到矩陣的初等列變換初等列變換的定的定義義 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換初等變換 初等變換初等變換初等行變換初等行變換初等列變換初等列變換AB有限次初等變換有限次初等變換AB矩陣矩陣 A 與矩陣與矩陣 B 等價(jià)等價(jià),記作,記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì):矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì):反身性反身性 ;對(duì)稱性對(duì)稱性 若若 ,則,則 ;傳遞性傳遞性 若若 ,則,則

45、AAAB, AB BCBAAC411214011100001300000B 階梯形矩陣階梯形矩陣:1. 可畫出一條階梯線,線的可畫出一條階梯線,線的下方全為零;下方全為零;2. 每個(gè)臺(tái)階只有一行;每個(gè)臺(tái)階只有一行;3. 階梯線的豎線后面是非零階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素行的第一個(gè)非零元素.階梯形矩陣階梯形矩陣1. 若某行中每個(gè)元素都為若某行中每個(gè)元素都為0,則位于該行下面各行元素也全,則位于該行下面各行元素也全為為0.2. 若有非零元素且非零元素出現(xiàn)于前若有非零元素且非零元素出現(xiàn)于前r行,而對(duì)于行,而對(duì)于i=1,2,r,第第i行中左起第行中左起第1個(gè)非零元素為個(gè)非零元素為 , 則則

46、 .12rjjjiija例例是階梯形矩陣,而是階梯形矩陣,而不是階梯形矩陣不是階梯形矩陣. .3102157210101324400102 ,00007600005000000AB3102157210101324400162 ,00000000605000001CD證證 設(shè)設(shè)mn 矩陣矩陣 A 若所有的若所有的 均為均為0 0,則顯然,則顯然A是階梯形矩陣是階梯形矩陣. .定理定理 任意一個(gè)矩陣都可經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化為階梯任意一個(gè)矩陣都可經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化為階梯 形矩陣形矩陣. .111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa ija否則,設(shè)否則,設(shè)A的第的第 列的元素均為列

47、的元素均為0 0,而第,而第 列有列有非零元素非零元素. .利用矩陣的初等變換利用矩陣的初等變換其中其中 . .依次類推依次類推. . 111111111212313100000000000jjnjnjnmjmnaaaaaAaaaa 11,2,1j 1j110ja 例例 把把化成階梯形矩陣化成階梯形矩陣. . 10421219521150123552A 解解 213141324342( 2)( 1)( 2)( 1)( 2)( 3)104210111001122033941042110421011100111000032000320006400000rrrrrrrrrrrrA (續(xù))(續(xù))考慮列

48、初等變換考慮列初等變換 31415123434523543535( 4)2( 1)( 3)10421100000111001110000320003200000000001000010000011100100000031001000000cccccccccccccccccccc 000000定理定理 任意一個(gè)任意一個(gè)mn 矩陣矩陣A都可與一個(gè)形如都可與一個(gè)形如的矩陣等價(jià)的矩陣等價(jià). . 為為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形. .11000001000000100000000000000rEA1A任何矩陣任何矩陣階梯形矩陣階梯形矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣一系列初等行變換一系列初等行變換 一一系系

49、列列初初等等列列變變換換 一系列初等變換一系列初等變換 結(jié)論結(jié)論二、矩陣的秩的概念二、矩陣的秩的概念定義:定義:在在 mn 矩陣矩陣 A 中,任取中,任取 k 行行 k 列列( k m,kn),位于這些行列交叉處的位于這些行列交叉處的 k2 個(gè)元素按原來(lái)的順序組成的個(gè)元素按原來(lái)的順序組成的k 階行階行列式,稱為矩陣列式,稱為矩陣 A 的的 k 階子式階子式顯然,顯然,mn 矩陣矩陣 A 的的 k 階子式共有階子式共有 個(gè)個(gè)kkmnC C概念辨析:概念辨析: k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式與元素與元素a12相對(duì)應(yīng)的相對(duì)應(yīng)的余子式余子式212312

50、3133aaMaa 相應(yīng)的相應(yīng)的代數(shù)余子式代數(shù)余子式矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 2 階子塊階子塊12132223aaaa矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 2 階子式階子式12132223aaaa21231 212123133( 1)aaAMaa 111213212223313233aaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 3 階子式階子式111213212223313233aaaaaaaaa矩陣矩陣 A 的的 2 階子式階子式 如果矩陣

51、如果矩陣 A 中所有中所有 2 階子式都等于零,那么這個(gè)階子式都等于零,那么這個(gè) 3 階子式也階子式也等于零等于零 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 定義:定義:設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的中有一個(gè)不等于零的 r 階子式階子式 D,且所有,且所有r +1 階子式(如果存在的話)全等于零,那么階子式(如果存在的話)全等于零,那么 數(shù)數(shù) r 稱為稱為矩陣矩陣 A 的秩的秩,記作,記作 r(A)l根據(jù)行列式按行(列)展開法則可知,矩陣根據(jù)行列式按行(列)展開法則可知,矩陣 A 中任何一個(gè)中任何一個(gè) r +2 階子式(如果存在的話)都可以用階子式(如果

52、存在的話)都可以用 r +1 階子式來(lái)表階子式來(lái)表示示l如果矩陣如果矩陣 A 中所有中所有 r +1 階子式都等于零,那么所有階子式都等于零,那么所有 r +2階子式也都等于零階子式也都等于零 l事實(shí)上,所有高于事實(shí)上,所有高于 r +1 階的子式(如果存在的話)也都階的子式(如果存在的話)也都等于零等于零 因此矩陣因此矩陣 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù)中非零子式的最高階數(shù)規(guī)定:規(guī)定:零矩陣的秩等于零零矩陣的秩等于零矩陣矩陣 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù)中非零子式的最高階數(shù) 顯然,顯然,n若矩陣若矩陣 A 中有某個(gè)中有某個(gè) s 階子式不等于零,則階子式不等于

53、零,則 r(A) s ;若矩陣若矩陣 A 中所有中所有 t 階子式等于零,則階子式等于零,則 r(A) t n若若 A 為為 n 階矩陣,則階矩陣,則 A 的的 n 階子式只有一個(gè),即階子式只有一個(gè),即|A| 當(dāng)當(dāng)|A|0 時(shí),時(shí), r(A) = n ; (非奇異矩陣)又稱為(非奇異矩陣)又稱為滿秩矩陣滿秩矩陣當(dāng)當(dāng)|A| = 0 時(shí),時(shí), r(A) r)階子式階子式 D全為全為零,零,為此對(duì)為此對(duì)A 按列分塊,按列分塊, 設(shè)設(shè)()r Ar 12(,)ijjnBc 經(jīng)過(guò)初等變換后變?yōu)榻?jīng)過(guò)初等變換后變?yōu)?取取B的任意一個(gè)的任意一個(gè)k(kr)階子式階子式D,記記 是是D中分別對(duì)應(yīng)于中分別對(duì)應(yīng)于 的列

54、的列. 則則D有三種情形有三種情形.12(,)ijnA ,TTij,ij (1)(1) D中不含中不含B的第的第i列,這時(shí)列,這時(shí)D就是就是A的子式的子式. . 則則D= =0.0.(2) (2) D中含中含B的第的第i列,但不列,但不含含B的第的第j列列, ,這時(shí)這時(shí)(3) (3) D同時(shí)含同時(shí)含B的第的第i列和第列和第j列列, ,det(,)det(,)det(,)0TTTijiTjDcc det(,)det(,)det(,)0TTTTTijjijTTjjDcc B中高于中高于r階的子式都為階的子式都為0,所以,所以 ,同理可得,同理可得 . 結(jié)論成立結(jié)論成立.( )r Br ( )r B

55、r 分析分析 比較矩陣比較矩陣A、B的的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形. .性質(zhì)性質(zhì)1 兩個(gè)矩陣兩個(gè)矩陣A、B等價(jià)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的等價(jià)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的 秩秩.性質(zhì)性質(zhì)2 階梯形矩陣的秩等于它非零行的數(shù)目階梯形矩陣的秩等于它非零行的數(shù)目.例:例:求矩陣求矩陣 A 的秩,其中的秩,其中 32050323612015316414A 分析:分析:在在 A 中,中,2 階子式階子式 2012016A 的的 3 階子式共有階子式共有 (個(gè)個(gè)),要從要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的334540C C 一般的矩陣,當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí),按定義求秩是很

56、麻煩的一般的矩陣,當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí),按定義求秩是很麻煩的 . .階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù). .一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為階梯形矩陣階梯形矩陣. .兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等??jī)蓚€(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等?例:例:求矩陣求矩陣 的秩。的秩。32050323612015316414A 解:解:第一步先用初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣第一步先用初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣階梯形矩陣有階梯形矩陣有 3 個(gè)非零行,故個(gè)非零行,故r(A) = 3 320501641432361043112015300048

57、1641400000rA 分析:分析:對(duì)對(duì) B 作初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣,設(shè)作初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣,設(shè) B 的階梯的階梯形矩陣為形矩陣為 ,則,則 就是就是 A 的階梯形矩陣,因此可從的階梯形矩陣,因此可從中同時(shí)看出中同時(shí)看出r(A)及及 r(B) 例:例:設(shè)設(shè) ,求矩陣,求矩陣 A 及矩陣及矩陣B = (A, b) 的秩的秩1221124802, 2423336064Ab ( , )BA b A 解:解:1221112211248020021024233000013606400000rB r(A) = 2r(B) = 32.4 矩陣的逆矩陣的逆矩陣與復(fù)數(shù)相仿,有加、減、乘三種運(yùn)算矩陣與

58、復(fù)數(shù)相仿,有加、減、乘三種運(yùn)算. 矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢?矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢?這就是本節(jié)所要討論的問(wèn)題這就是本節(jié)所要討論的問(wèn)題.這一節(jié)所討論的矩陣,如不特別說(shuō)明,所指的都是這一節(jié)所討論的矩陣,如不特別說(shuō)明,所指的都是 n 階方陣階方陣. . 從乘法的角度來(lái)看,從乘法的角度來(lái)看,n 階單位矩陣階單位矩陣 E 在同階方陣中的地在同階方陣中的地位類似于位類似于 1 在復(fù)數(shù)中的地位在復(fù)數(shù)中的地位 一個(gè)復(fù)數(shù)一個(gè)復(fù)數(shù) a 0的倒數(shù)的倒數(shù) a1可以可以用等式用等式 a a1 = 1 來(lái)刻劃來(lái)刻劃. 類似地,我們引入類似地,我們引入對(duì)于對(duì)于 n 階單位矩陣階單位矩陣 E 以及同

59、階的方陣以及同階的方陣 A,都有,都有nnnnnA EE AA定義:定義: n 階方陣階方陣 A 稱為稱為可逆的可逆的,如果有,如果有 n 階方陣階方陣 B,使得,使得這里這里 E 是是 n 階單位矩陣階單位矩陣.ABBAE根據(jù)矩陣的乘法法則,只有方陣才能滿足上述等式根據(jù)矩陣的乘法法則,只有方陣才能滿足上述等式. 對(duì)于任意的對(duì)于任意的 n 階方陣階方陣 A,適合上述等式的矩陣,適合上述等式的矩陣 B 是唯是唯一的(如果有的話)一的(如果有的話).定義:定義: 如果矩陣如果矩陣 B 滿足上述等式,那么滿足上述等式,那么 B 就稱為就稱為 A 的的逆矩陣逆矩陣,記作記作 A1 .例:例: 已知已知

60、 , 則則2003A 1102103A 例:例: 已知已知 , 求其逆矩陣求其逆矩陣.2103A 性質(zhì):性質(zhì): 如果如果 n 階方陣階方陣A、B可逆,那么可逆,那么 、 、 與與AB也可逆,且也可逆,且11(),AA 1A TA(0)Allll 11()() ,TTAA 111(),AAl ll l 111().ABB A 下面要解決的問(wèn)題是:下面要解決的問(wèn)題是:在什么條件下,方陣在什么條件下,方陣 A 是可逆的?是可逆的?如果如果 A 可逆,怎樣求可逆,怎樣求 A1 ?例:例: 已知已知 , 則則A不存在逆矩陣不存在逆矩陣.假設(shè)存在逆矩陣假設(shè)存在逆矩陣 則則而而 ,矛盾矛盾.0304A 12

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