隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法

1、Oct.21 Mon. Reviewv導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算).0)()()()()()()()()3();()()()( )()()2();()( )()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). .v反函數(shù)求導(dǎo)反函數(shù)求導(dǎo)v復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)xuxuff ).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)或或v高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu

2、)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式3 3 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法v隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)v參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)v導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

3、一一. . 隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)定義定義: :.)(0),(為隱函數(shù)為隱函數(shù)稱(chēng)稱(chēng)所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)由方程由方程xyyyxF .)(形式稱(chēng)為顯函數(shù)形式稱(chēng)為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問(wèn)題問(wèn)題: :隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? ?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). .)0(sin)(sin. 3),()0(. 20sin:. 1cos000222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求的切線(xiàn)方程；的切線(xiàn)方程；導(dǎo)數(shù)，并求它在導(dǎo)數(shù)，并求它在所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求求

4、； xxyyxMRRyxyxyequationKeplerx 例例注意：注意： 。求導(dǎo)式充分簡(jiǎn)化表達(dá)式求導(dǎo)式充分簡(jiǎn)化表達(dá)式兩端求導(dǎo)時(shí)，始終兩端求導(dǎo)時(shí)，始終. 2);(. 1xyy 1) 對(duì)冪指函數(shù)對(duì)冪指函數(shù)vuy 可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnln yy 1uv ln uvu )ln(uvuuvuyv vuuyv lnuuvv 1說(shuō)明說(shuō)明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:2) 有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,),(100 babaaxxbbaybax兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù) yln兩

5、邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) yybalnxa xb baxaxxbbaybalnxa xb baxln lnlnxbalnlnaxb 又如又如, )()(4321 xxxxyuuu )ln( 21 yln對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) 21 yy)()(432121 xxxxy 41312111 xxxx兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)21 xxlnln 43 xxlnln 11x21 x31 x 41 x對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好 求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常用的方法是兩邊取對(duì)求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常用的方法是兩邊取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo)。數(shù)，再求導(dǎo)。隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函

6、數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). .例例4.4.解解: 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)的導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；求由方程確定的隱函數(shù)求由方程確定的隱函數(shù)例例yyxxy,5. 解解: :兩邊取對(duì)數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)，yxxylnln 再求導(dǎo)再求導(dǎo)yyxyxyxy lnln.)ln()ln(xxyxyyxyy 的二階導(dǎo)數(shù)。的二階導(dǎo)數(shù)。

7、所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程例例)(. 6arctanxyyyxexy 122解解: :將方程化為：將方程化為：xyeyxarctan 2222222yxyyx 2211xyyxxyexy )(arctan22yxyyx x兩兩端端對(duì)對(duì)求求導(dǎo)導(dǎo)222xyyxyx yxyxy )(1yyxyyx 求導(dǎo)：求導(dǎo)：式兩端關(guān)于式兩端關(guān)于再對(duì)再對(duì)x)(1yxyyy 21代入上式有：代入上式有：將將yxyxy .)()(3222yxyxy 1.1. 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!

8、 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu Nove. 6 Fri. Nove. 6 Fri. ReviewReview對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好 求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常用的方法是兩邊取對(duì)求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常用的方法是兩邊取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo)。數(shù)，再求導(dǎo)。2.2.隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). .二二. 參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則.,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱(chēng)此為由參數(shù)方程所確稱(chēng)此為由參數(shù)方程所確

9、間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得。由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得。dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt ),()().(),(1xttxtytx 的反函數(shù)為的反函數(shù)為設(shè)設(shè)代表平面上一條曲線(xiàn)，代表平面上一條曲線(xiàn)，)(嚴(yán)格單調(diào)，連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)，連續(xù)導(dǎo)法則導(dǎo)法則并且設(shè)它滿(mǎn)足反函數(shù)求并且設(shè)它滿(mǎn)足反函數(shù)求1( ),( ),yyt tx 于于是是看看做做復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)則則有有；，求，求例例dxdytytx )ln(arcsin.211解：解：dxdy)()(txty 221112ttt 22112ttt 222 2.

10、(01)sin1( );xtttyydyyy xdx 例例設(shè)設(shè)由由方方程程確確定定函函數(shù)數(shù)，求求解解: 方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo) , 得得故故 xydd)cos)(ytt 11tyddtxdd t 2yttycosdd 1222 tycos tydd0 )(dd12 ttxtyddtxdd；求求，可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且，其中，其中例例030)0()1()(. 3 ttdxdyffefytfx dxdy)()(tfeeftt 31330 tdxdy)()(003ff 解：解：3 ;,)()(4.22dxydtytx求求例例 dxdy)()(tt 22dxyd dxdydxd解：解： )(

11、)(ttdxd dxdtttdtd )()( )()()()()()(tttttt21 )()()()()(ttttt3 )()(ddttxy 22,)()(tt xydd已知已知注意注意 : ).cos1(),sin(tayttax如如.y 求求dxdyttcos1sin 2sin22cos2sin22ttt 2cott 22dxyddtdxdxdydtd )(.2sin414ta )cos1(/2csc212tat 例例5 5解解:.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)方向炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻求求其運(yùn)動(dòng)方程為其運(yùn)動(dòng)方程為發(fā)

12、射炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計(jì)空氣的阻力不計(jì)空氣的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切線(xiàn)的斜率來(lái)反映可由切線(xiàn)的斜率來(lái)反映時(shí)刻的切線(xiàn)方向時(shí)刻的切線(xiàn)方向軌跡在軌跡在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時(shí)刻沿時(shí)刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時(shí)刻炮彈的速度為時(shí)刻炮彈的速度為

13、在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 三三. . 由極坐標(biāo)確定的函數(shù)求導(dǎo)由極坐標(biāo)確定的函數(shù)求導(dǎo).),(dxdy求求曲線(xiàn)方程為曲線(xiàn)方程為 .sin)(,cos)( yx：關(guān)系給出曲線(xiàn)參數(shù)方程關(guān)系給出曲線(xiàn)參數(shù)方程利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)然后利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。然后利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。例例. . 求螺線(xiàn)求螺線(xiàn) r在對(duì)應(yīng)于在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.解解: 化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 sincosryrx cos sin xydd ddy ddx cossin sincos 當(dāng)當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)斜率斜率xykdd 2 2 2 , ),(20 M 切

14、線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為22 xy2 四四. . 導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用1. 1. 切線(xiàn)與法線(xiàn)問(wèn)題切線(xiàn)與法線(xiàn)問(wèn)題1.sin24a 例例求求曲曲線(xiàn)線(xiàn)在在處處的的切切線(xiàn)線(xiàn)方方成成與與法法線(xiàn)線(xiàn)方方程程；極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程參數(shù)方程參數(shù)方程解解: :極坐標(biāo)化為參數(shù)方程：極坐標(biāo)化為參數(shù)方程： sinsinsin)(cossincos)(22ayax為參數(shù)，切線(xiàn)斜率為為參數(shù)，切線(xiàn)斜率為 4222222 cossincoscoscossinsincosaaaadxdy1 法線(xiàn)斜率為法線(xiàn)斜率為1 1，ayax224224 )(,)( 切點(diǎn)為切點(diǎn)為法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為: :axay2222 . 0 yx即即2.

15、1xy 例例證證明明：雙雙曲曲線(xiàn)線(xiàn)上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線(xiàn)線(xiàn)與與兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸圍圍成成的的三三角角形形的的面面積積等等于于常常數(shù)數(shù)；證明證明: :.,出面積出面積軸上的截距，即可求軸上的截距，即可求求出切線(xiàn)方程及它在求出切線(xiàn)方程及它在yx),(111yxxy上一點(diǎn)上一點(diǎn)任取任取 )(12111xxxyy 切線(xiàn)方程為：切線(xiàn)方程為：2110 xyxx 過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為)(11211xyxxy ，即，即軸上的截距乘以軸上的截距乘以所求面積為切線(xiàn)在所求面積為切線(xiàn)在21, yxXY21)(112111121xyxxy )(11211111 yxxyx211121)( yx2

16、軸上的截距為：軸上的截距為：切線(xiàn)在切線(xiàn)在yx,.1),1(111121xyYxyxX 恒為常數(shù)；恒為常數(shù)；切線(xiàn)長(zhǎng)切線(xiàn)長(zhǎng)交點(diǎn)至切點(diǎn)的距離交點(diǎn)至切點(diǎn)的距離軸的軸的上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與證明曲線(xiàn)證明曲線(xiàn))()0 , 0(sin)cos2tan(ln. 3xtatayttax 證明證明: :，過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)方程為設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)),(11yx)()()()(txxtxtytyy1111 :,軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為得到切線(xiàn)與得到切線(xiàn)與令令xy0 )()()()(txxtytyytx1111 )()()()()(tytytxtytxx 0)()(11tyd

17、ydxtx )(tx ,sincostta2 01111cotcosxxytxat,cos)(taty )()(tyxtxd21201 1222111tatatxtxsin)cos)()( a .tantdxdy .,)()(變化率稱(chēng)為相關(guān)變化率變化率稱(chēng)為相關(guān)變化率這樣兩個(gè)相互依賴(lài)的這樣兩個(gè)相互依賴(lài)的之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdydtdxyxtyytxx )(, )(tyytxx 為兩可導(dǎo)函數(shù)為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系之間

18、也有聯(lián)系相關(guān)變化率問(wèn)題相關(guān)變化率問(wèn)題解法解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率2. 2. 相對(duì)變化率問(wèn)題相對(duì)變化率問(wèn)題.兩兩個(gè)個(gè)相相互互依依賴(lài)賴(lài)的的變變化化率率稱(chēng)稱(chēng)為為相相關(guān)關(guān)變變化化率率12cm18cmhrH10cm例例. . 有裝滿(mǎn)水的正圓錐形漏斗，頂部直徑為有裝滿(mǎn)水的正圓錐形漏斗，頂部直徑為12cm12cm，深深18cm18cm，下接直徑為，下接直徑為10cm10cm的圓柱形水桶，當(dāng)漏的圓柱形水桶，當(dāng)漏斗水深為斗水深為12cm12cm時(shí)，水平面下降的速率為時(shí)，水平面下降的速率為1cm/s1cm/s，試求此時(shí)水桶的