三角形中線的巧用

1、三角形中線的巧用邊的知識(shí)：三角形任意兩邊之和大于第三邊三角形任意兩邊之差小于第三邊角的知識(shí)：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。三角形的任何一個(gè)外角大于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角。三角形線的知識(shí)：三角形的中線、高、角平分線都是線段。銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部。直角三角形的三條高,一條在三角形的內(nèi)部，其他兩條是直角邊。鈍角三角形的三條高，一條在三角形的內(nèi)部，其他兩條在三角形的外部。垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。三角形全等的知識(shí)：全等三角形的性質(zhì):全等三角形的對(duì)應(yīng)

2、邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.全等三角形的判斷：SSS、SAS、ASA、AAS這四種。 三角形的中線是與三角形有關(guān)線段的重要線段。三角形的中線在解決和三角形面積有關(guān)的問題中常常發(fā)揮重要作用。如圖1，連接三角形ABC的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫ABC的邊BC上的中線。BD=CD=BC . AEBC于E，即AE是ABC的邊BC上的高。同時(shí)AE也是ABD、ACD的高。根據(jù)三角形的面積公式，三角形ABC的面積為，即.ABD、ACD的面積可表示為：，所以ABD、ACD的面積相等，都等于ABC面積的一半。結(jié)論一：三角形的一邊的中線把這個(gè)三角形分成面積相等的兩部分。例1  如圖2，AD、

3、BE是ABC的兩條中線。AD、BE交于G，試比較BGD和AGE面積的大小。析解：因?yàn)锳D、BE是ABC的兩條中線，根據(jù)結(jié)論一，三角形ADC的面積等于三角形ABC的面積的一半，三角形BCE的面積也等于三角形ABC的面積的一半。所以=，所以，即.所以BGD和AGE的面積相等。引申：連接GC，則GD是三角形GBC的中線，GE是三角形AGC的中線，根據(jù)上面結(jié)論一，有，而，所以，所以結(jié)論二：連接三角形的中線的交點(diǎn)和這個(gè)三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)所組成的三角形的面積等于這個(gè)三角形面積的.例2 （2009賀州）如圖3-1，正方形ABCD的 邊長(zhǎng)為1，E、F分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積。分析：圖中陰影部分是不規(guī)則四邊形，須作輔助線轉(zhuǎn)化為規(guī)則四邊形或三角形。更重要的是要考慮中點(diǎn)的運(yùn)用。解：如圖3-2，連接BD，則三角形BCD的面積= ,根據(jù)上述結(jié)論二， BOD的面積等于BCD的面積的，即，陰影部分的面積=.點(diǎn)評(píng)：求不規(guī)則圖形的面積往往是作輔助線轉(zhuǎn)化為三角