高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課件 文

1、第六節(jié)雙曲線總綱目錄教材研讀1.雙曲線的定義考點突破2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)考點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點一雙曲線的定義考點三雙曲線的幾何性質(zhì)考點四直線與雙曲線的位置關(guān)系1.雙曲線的定義雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距雙曲線的焦距.集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a0,c0.(1)當(dāng)2a|F1F2|時,P點不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)雙曲線的焦

2、半徑公式雙曲線的焦半徑公式已知F1(-c,0),F2(c,0)分別是雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點,點P(x0,y0)是該雙曲線上任意一點,則|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|(e為雙曲線的離心率).22xa22yb1.雙曲線2x2-y2=8的實軸長是()A.2B.2C.4D.422C答案答案C雙曲線2x2-y2=8的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,故實軸長為4.24x28y2.雙曲線方程為x2-2y2=1,則它的右焦點坐標(biāo)為()A.B.C.D.(,0)2,025,026,023C答案答案C原方程可化為-=1,a2=1,b2=,c2=a2+b2=,右焦點坐標(biāo)為.21x212y12

3、326,023.若雙曲線E:-=1的左、右焦點分別為F1、F2,點P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于()A.11B.9C.5D.329x216yB答案答案B|PF1|=3-1或或m-1或m0,即m-1或m0,b0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長,則該雙曲線的離心率為.22xa22yb5答案答案5解析解析由題意知=2a,又c2=a2+b2,|bc|=2ac,即b=2a,c2=a2+b2=5a2,=5,即e2=5,e=.22|bcab22ca5典例典例1(2018山東濟(jì)南質(zhì)檢)已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,則

4、動圓圓心M的軌跡方程為.考點一雙曲線的定義考點一雙曲線的定義命題方向一求軌跡方程命題方向一求軌跡方程考點突破考點突破答案答案x2-=1(x-1)28y解析解析如圖所示,設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B,根據(jù)兩圓外切的充要條件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因為|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=22)24x221y解析解析如圖,ABC與內(nèi)切圓的切點分別為G,E,F.|AG|=|AE|=7,|BF|=|BG|=3,|CE|=|CF|,所以|CA|-|CB|=7-3=4.根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A,

5、B為焦點,實軸長為4的雙曲線的右支,方程為-=1(x2).24x221y1-2已知F是雙曲線-=1的左焦點,A(1,4),P是雙曲線右支上的一動點,則|PF|+|PA|的最小值為.24x212y9答案答案9解析解析因為F是雙曲線-=1的左焦點,所以F(-4,0),設(shè)其右焦點為H(4,0),則由雙曲線的定義可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|2a+|AH|=4+=4+5=9.24x212y22(4 1)(04)典例典例3根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)虛軸長為12,離心率為;(2)截距為26,且經(jīng)過點M(0,12);(3)經(jīng)過兩點P(-3,2)和Q(-6,-7).5472考點

6、二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解析解析(1)由題意知,2b=12,e=.b=6,c=10,a=8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1或-=1.(2)雙曲線經(jīng)過點M(0,12),M(0,12)為雙曲線的一個頂點,故焦點在y軸上,且a=12,2c=26,c=13,b2=c2-a2=25.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.(3)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2-ny2=1(mn0).ca54264x236y264y236x2144y225x雙曲線經(jīng)過兩點P(-3,2)和Q(-6,-7),解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.729281,72491,mnmn1,751.25mn 225y275x方法技巧方法技巧求雙曲線標(biāo)

7、準(zhǔn)方程的一般方法(1)待定系數(shù)法:設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)已知條件,列出參數(shù)a,b,c的方程并求出a,b,c的值.與雙曲線-=1有相同漸近線時,可設(shè)所求雙曲線方程為-=(0).(2)定義法:依定義得出距離之差的等量關(guān)系式,求出a的值,由定點位置確定c的值.22xa22yb22xa22yb2-1(2017東北三校聯(lián)合模擬)與橢圓C:+=1共焦點且過點(1,)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2-=1B.y2-=1C.-=1D.-x2=1216y212x323y212x22y22x23yC答案答案C橢圓+=1的焦點坐標(biāo)為(0,-2),(0,2),設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(m0,n0),則解得m=n

8、=2.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.216y212x2ym2xn311,4,mnmn22y22x2-2已知雙曲線-=1(a0,b0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=122xa22yb524x24y2320 x235y235x2320yA答案答案A由題意可得解得a=2,b=1,所以雙曲線的方程為-y2=1,故選A.221,25,0,0,baabab24x考點三雙曲線的幾何性質(zhì)考點三雙曲線的幾何性質(zhì)命題方向命題視角離心率問題求雙曲線的離心率或已知離心率求方程或其他相關(guān)問題漸近線問題求雙曲線的漸近線方程或利用漸

9、近線求解相關(guān)問題離心率與漸近線的綜合問題由離心率求漸近線或由漸近線求離心率求參數(shù)或變量的取值范圍此類題往往根據(jù)雙曲線的性質(zhì)建立關(guān)于參數(shù)或變量的不等式求解典例典例4(1)(2017課標(biāo)全國,5,5分)若a1,則雙曲線-y2=1的離心率的取值范圍是()A.(,+)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)(2)(2017課標(biāo)全國,15,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的右頂點為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點.若MAN=60,則C的離心率為.22xa22222xa22yb命題方向一離心率問題命題方向一離心率問題答案答案(1)C(2)2 33解析解析(1)

10、由題意知e=,因為a1,所以e1,所以1e0)的一條漸近線方程為y=x,則a=.22xa22yb220 x25y25x220y280 x220y220 x280y22xa29y35命題方向二漸近線問題命題方向二漸近線問題答案答案(1)A(2)5解析解析(1)雙曲線C的漸近線方程為-=0及點P(2,1)在漸近線上,-=0,即a2=4b2,由題意得a2+b2=c2=25,聯(lián)立得b2=5,a2=20,則C的方程為-=1.故選A.(2)由題意可得=,所以a=5.22xa22yb24a21b220 x25y3a35典例典例6(1)若雙曲線-=1(a0,b0)的離心率為,則其漸近線方程為()A.y=xB.

11、y=2xC.y=xD.y=x(2)(2017課標(biāo)全國,5,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點,則C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb32122222xa22yb52212x23y28x210y24x25y25x24y24x23y命題方向三離心率與漸近線的綜合問題命題方向三離心率與漸近線的綜合問題答案答案(1)A(2)B解析解析(1)由題意可得e=,即=,由雙曲線-=1(a0,b0)可得雙曲線的漸近線方程為y=x,y=x.ca221ba3ba222xa22ybba2(2)由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為

12、-=k(k0),即-=1,雙曲線與橢圓+=1有公共焦點,4k+5k=12-3,解得k=1,故雙曲線C的方程為-=1.故選B.24x25y24xk25yk212x23y24x25y典例典例7(2015課標(biāo)全國,5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點,F1,F2是C的兩個焦點.若0,則y0的取值范圍是()A.B.C.D.22x1MF2MF33,3333,662 2 2 2,332 3 2 3,33命題方向四求參數(shù)或變量的取值范圍命題方向四求參數(shù)或變量的取值范圍A答案答案A解析解析若=0,則點M在以原點為圓心,半焦距c=為半徑的圓上,則解得=.可知:0點M在圓x2+y2=3的內(nèi)

13、部0)求離心率時,若焦點不確定,則m=或m=,因此離心率有兩種可能.提醒如果已知雙曲線方程-=1或-=1,求其漸近線方程,只要將方程等號右端“1”改寫成“0”,即得漸近線方程.21babaab22xa22yb22ya22xb3.與雙曲線有關(guān)的范圍問題的解題思路(1)若條件中存在不等關(guān)系,則借助此關(guān)系直接轉(zhuǎn)化求解.(2)若條件中沒有不等關(guān)系,要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系,如借助雙曲線上點的坐標(biāo)的取值范圍,方程中0等來解決.3-1已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的離心率為,則C的漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb52141312C答案答案C由雙曲線的離心率e=可

14、知=,而雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線方程為y=x,故選C.ca52ba1222xa22ybba3-2已知雙曲線-=1與直線y=2x有交點,則雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,)B.(1,C.(,+)D.,+)22xa22yb5555C答案答案C雙曲線的一條漸近線方程為y=x,由題意得2,e=.babaca21ba1453-3(2017東北四市模擬)F為雙曲線-=1(a0,b0)的左焦點,過點F且斜率為1的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A,B兩點,若=,則雙曲線的離心率為.22xa22yb|AFBF1210答案答案10解析解析設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為l1,l2,l1:y=x,l2:

15、y=-x,由于kFA=1,則FA的方程為y=x+c,由可得A,由可得B.因為=,所以點A為FB的中點,故=,則b=3a,即b2=9a2,所以c2-a2=9a2,即e2=10,所以e=.baba,yxcbyxa ,acbcab ab,yxcbyxa,acbcba ba|AFBF12bcba2bcab10典例典例8已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為(,0).(1)求該雙曲線C的方程;(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C左支有兩個不同的交點A,B,求k的取值范圍.32考點四直線與雙曲線的位置關(guān)系考點四直線與雙曲線的位置關(guān)系解析解析(1)由題意設(shè)雙曲線方程為-=1(a0,b0).由已知得a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),將y=kx+代入-y2=1,22xa22yb323x223x得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由題意知解得k1.k的取值范圍是k2,求k的取值范圍.24x2OAOB解析解析(1)設(shè)雙曲線C2的方程為-=1(a0,b0),則c2=4,a2=3,b2=1,故雙曲線C2的方程為-y2=1.22xa22yb23x(2)將y=kx