中檔大題規(guī)范練2 立體幾何與空間向量

1、中檔大題規(guī)范練2立體幾何與空間向量1.如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PAPD，PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O為AD的中點(diǎn). (1)求證：PO平面ABCD；(2)求B點(diǎn)到平面PCD的距離；(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角QACD的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明 因?yàn)镻APD，O為AD的中點(diǎn)，所以POAD，因?yàn)閭?cè)面PAD底面ABCD，所以PO平面ABCD .(2)解以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD，OP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1

2、，0)，P(0，0，1).(1，1，1)，設(shè)平面PDC的法向量為u(x，y，z)，(1，0，1)，(0，1，1).則取z1，得u(1，1，1)，B點(diǎn)到平面PDC的距離d.(3)解假設(shè)存在，則設(shè) (0<<1)，因?yàn)?0，1，1)，所以Q(0，1)，設(shè)平面CAQ的法向量為m(a，b，c)，則即所以取m(1，1，1)，平面CAD的法向量n(0，0，1)，因?yàn)槎娼荙ACD的余弦值為，所以，所以321030，所以或3(舍去)，所以.2.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2AD2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為D1E上的一點(diǎn)，D1F2FE.(1)證明：平面DFC平面D1EC；(2)求

3、二面角ADFC的大小.(1)證明以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2).E為AB的中點(diǎn)，E點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1，0)，D1F2FE，(1，1，2)(，)，(0，0，2)(，)(，).設(shè)n(x，y，z)是平面DFC的法向量，則取x1得平面FDC的一個(gè)法向量n(1，0，1).設(shè)p(x，y，z)是平面ED1C的法向量，則取y1得平面D1EC的一個(gè)法向量p(1，1，1).n·p(1，0，1)·(1，1，1)0，平面DFC平面D1EC.(2)解設(shè)q(x，y，z)是

4、平面ADF的法向量，則q·0，q·0.取y1得平面ADF的一個(gè)法向量q(0，1，1)， 設(shè)二面角ADFC的平面角為，由題中條件可知(，)，則cos |，二面角ADFC的大小為120°. 3.如圖所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值.解(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以(2，0

5、，4)，(1，1，4).因?yàn)閏os，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)?1，1，0)，(0，2，4)，所以n1·0，n1·0，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2，1)是平面ADC1的一個(gè)法向量.取平面AA1B的一個(gè)法向量為n2(0，1，0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.4.如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD底面ABCD，其中底面ABCD為等腰梯形，ADBC，PAABBCCD2，PD2

6、，PAPD，Q為PD的中點(diǎn).(1)證明：CQ平面PAB；(2)求二面角DAQC的余弦值.(1)證明如圖所示，取PA的中點(diǎn)N，連接QN，BN.在PAD中，PNNA，PQQD，所以QNAD，且QNAD.在APD中，PA2，PD2，PAPD，所以AD4，而B(niǎo)C2，所以BCAD.又BCAD，所以QNBC，且QNBC，故四邊形BCQN為平行四邊形，所以BNCQ.又CQ平面PAB，BN平面PAB，所以CQ平面PAB.(2)解如圖，在平面PAD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作POAD于點(diǎn)O，連接OB.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.又POAD，APPD，所以PO，故AO1.在等腰梯

7、形ABCD中，取AD的中點(diǎn)M，連接BM，又BC2，AD4，ADBC，所以DMBC2，DMBC，故四邊形BCDM為平行四邊形.所以BMCDAB2.在ABM中，ABAMBM2，AOOM1，所以BOAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BO平面PAD.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OD，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，0)，D(0，3，0)，A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，0，)，C(，2，0)，則(，3，0).因?yàn)镼為DP的中點(diǎn)，故Q，所以.設(shè)平面AQC的法向量為m(x，y，z)，則可得令y，則x3，z5.故平面AQC的一個(gè)法

8、向量為m(3，5).因?yàn)锽O平面PAD，所以(，0，0)是平面ADQ的一個(gè)法向量.故cos，m.從而可知二面角DAQC的余弦值為.5.在四棱錐PABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC90°，ABADPD1，CD2.(1)求證：BC平面PBD；(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角QBDP為45°？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明平面PCD底面ABCD，PDCD，所以PD平面ABCD，所以PDAD.如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，(1，1，0)，(1，1，0)，所以·0，BCDB，又由PD平面ABCD，可得PDBC，因?yàn)镻DBDD，所以BC平面PBD.(2)解平面PBD的法向量為(1，1，0)，(0，2，1)，設(shè)，(0，1)，所以Q(0，2，1)，設(shè)平