直線的基本形式和基本量

1、直線的基本形式和基本量【復(fù)習目標】：1. 理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握由一點和斜率導(dǎo) 出直線方程的方法，掌握直線方程的點斜式、兩點式和直線方程的一般式，確定一條直 線需要兩個獨立的已知量，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程或用待定系數(shù)法求出直線 方程中的未知量。2. 掌握運用解析幾何證明問題的一般方法，理解“數(shù)形轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想。3. 在運用直線的斜率解題時，注意不要遺漏斜率不存在的情形；用到截距時，要注意“截 距”是可正可負可為 0的，截距不是距離。且不要遺漏截距為零的情形。【知識要點】：i.過兩點Rd,%)、E(x2,y2) (n式x2)的直線斜率公式： 2

2、直線方程的幾種形式：點斜式： ;斜截式： 兩點式： ;截距式： ;一般式： 【課前預(yù)習】：111.若ab : 0 ,則過點P(0,)與Q(丄,0)的直線PQ的傾斜角的取值范圍是(B )baJIJt(A)%)(B)(訂)2)(-二二)兀(Dy,。)2.以原點為中心，對角線在坐標軸上,(A)|x| |y|吟邊長為(B)|x r y 弓1的正方形的四條邊的方程為(1 (C)|x y 卜¥ (D) |x - y 卜已知 ABC 的頂點 A(-1,2) , B(3,6),重心G(0, 2,則AC邊所在直線方程為4x _y 6 =0 ；經(jīng)過點A( -2,2)且與x軸、y軸圍成的三角形面積是 1的

3、直線方程是32x y 0或x 2y -2 =0 ;過點(2,1),且它的傾斜角等于已知直線y x 2的 4傾斜角的一半的直線l的方程是x - 3y -1=0.4. 若直線的方向向量是S則直線l的傾斜角是-；若點M(2T，NZ-2),3直線丨過點P(11)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍為k乞-4或k4【例題分析】：例1 已知直線h的方程為y = 2x，過點A(2, -1)作直線l2，交y軸于點C ,交h于點B ,且| BC AB |，求12的方程2, 2 2 0 2解：設(shè)點B(xB, yB )，當AB =2 BC時，xb，代入y = 2x中，得1+2342 4、yB. 點B(,).

4、由兩點式，得12的方程為：7 x，4ydO=O.33 3當AB =-2 BC時，得點B(-2,-4)，由兩點式，得12的方程為：3x-4y-10=0.綜上所述，小結(jié)：I2 的方程為：7x 4y -10 =0或 3x -4y -10 =0.例2 .求過點P(0, 1)的直線I，使它包含在兩已知直線2x+ y 8 = 0和l2： x 3y + 100間的線段被點P所平分.I1|y解法P-.X(構(gòu)造方程)如圖2所示，設(shè)I與I1的交點A(X1, y1). P(0, 1)是AB的中點，貝U I和I2的交點B(捲,2 %).0 2x1 + y1 8= 0, x1 3(2 y”+ 10= 0, 即卩 2x1

5、 + y1 1 = 7，x1 3(y1 1) = 7.1),圖 2由一，得 X1+ 4(y1 1) = 0，直線 x+ 4(y 1) = 0 過點 A(x1, y1)與 P(0,I 的方程為 x+ 4(y 1) = 0，即 x+ 4y 4 = 0.y軸的正半軸于A、B兩點,例3 .設(shè)過點P(2,1)作直線I交x軸的正半軸、(1 )當| PA| | PB |取得最小值時，求直線 I的方程.(2)當|OA| | OB |取得最小值時，求直線I的方程.解：(1)如圖1，設(shè)直線I的方程為：y-1二 k(x -2)(k : 0).1令 y =0，得點 A(2,0)；令 x =0，得點 B(0,1 -2k

6、).k2、'1 |PA| |PB|22 (2k)2(12：)= 2 (1 k2)(1：)=2、 2 k21k2 > 222 . k2 ； = 4，當且僅當 k2 +P(2, 1)x*A0圖1,即k二一1時取等號.直線 l 的方程為 y -1 = -(x -2)，即 x y - 3=0 .(2)設(shè)直線l的方程為：X - -1(a 0,b 0).a b2 i點 P l ,1 , ab =2b a _2 . 2ab , ab _8，當且僅當 a = 2b，即a ba =4 ,b=2時取等號.由題設(shè)知，|OA| |OB|=ab的最小值為8，此時a=4 ,b=2 .直線l的方程為一，

7、9;=1，即x，2y 4 = 0 .42過點P(1,4)引一條直線l ,使它在兩條坐標軸上的截距都是正數(shù)，且它們的和最小，求直線l的方程4解：設(shè)直線l的方程為y-4=k(x-1)，則它在x軸，y軸上的截距分別為1, -k 4 .k4由1> 0且-k 4 0，得k <0 設(shè)兩截距之和為 m，貝yk444m=5-k 5 (-k) (-)_ 9，當且僅當，-k(k : 0)即 k = 一2 時，m 取kkk得最小值 此時直線l的方程為2x y-6 = 0.例4 厶ABC的一個頂點 A(2,3)，兩條高所在直線方程為 x-2y，3 = 0和x，y-4 = 0 ,求三邊所在直線方程.解：三角

8、形的頂點 A(2,3)不在兩條高所在直線上，.設(shè)方程x-2y，3=0為AC邊的高BE所在直線的方程，方程 x，y-4=0為AB邊的高CF所在直線的方程，邊AC所在直線的方程為 2(2) (y -3) =0, 即卩2x y -7 =0.邊AB所在直線的方程為(x-2)-(y-3) =0，即x-y 7=0.由Xy+仁。，得B(1,2)；由:'x + y4=0,得C(3,1). jX2y+3=0,、2x+y7=0,邊BC所在直線方程為 匚2工口，即x 2y - 5 = 0 .1231邊AB、AC、BC所在直線的方程分別為 x-y1=0,2x，y-7=0,x，2y-5 = 0 .【小結(jié)】:根據(jù)已知條件求直線方程已知條件設(shè)直線的方程直線過定點P(x0,y0)點斜式：y y° = k(x X。)直線的斜率為k斜截式：y =