第四章能控性和能觀測性2講

1、1第四章第四章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性 對偶原理對偶原理線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形與能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形與能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解傳遞函數(shù)矩陣與能控性、能觀性的關(guān)系傳遞函數(shù)矩陣與能控性、能觀性的關(guān)系24.3 對偶原理對偶原理一、線性定常系統(tǒng)的對偶關(guān)系一、線性定常系統(tǒng)的對偶關(guān)系11111111xCyBxAx1u22222222xCyBxAx2u設(shè)有兩個系統(tǒng)，一個系統(tǒng)設(shè)有兩個系統(tǒng)，一個系統(tǒng)另一個系統(tǒng)另一個系統(tǒng)T12T12T12BC

2、,CB,AA21若滿足下列條件，則稱若滿足下列條件，則稱與與是是互為對偶的互為對偶的。 r維輸入維輸入,m 維輸出維輸出n的的 階系統(tǒng)階系統(tǒng) 維輸入維輸入,mr 維輸出維輸出n的的 階系統(tǒng)階系統(tǒng) 34.3 對偶原理對偶原理 1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 輸入輸出互換；輸入輸出互換；信號傳遞反向；信號傳遞反向；信號引出與綜合點(diǎn)互換；信號引出與綜合點(diǎn)互換；各矩陣轉(zhuǎn)置。各矩陣轉(zhuǎn)置。44.3 對偶原理對偶原理11111B)AI(C)(ssGT11T1T121222C)AI(BB)AI(C)(sssGT1111T1T11T1B)AI(CC)AI(Bss)(T1sG1 1、對偶系統(tǒng)的傳

3、遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。、對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。2 2、互為對偶的系統(tǒng)，其特征值相同。、互為對偶的系統(tǒng)，其特征值相同。 1T12AIAIAIsss54.3 對偶原理對偶原理二、對偶原理對偶原理2)(1111C,B,A)(2222C,B,A系統(tǒng)系統(tǒng) 與與 是互為是互為1 能觀性能觀性, , 的能觀性等價于的能觀性等價于 的能控性?；虻哪芸匦浴；蛘哒? 的能控性等價于的能控性等價于1對偶的兩個系統(tǒng)，對偶的兩個系統(tǒng)， 則則的的 是狀態(tài)完全能控的（完全能觀的），是狀態(tài)完全能控的（完全能觀的），1說，若說，若 是狀態(tài)完全能觀的（完全能控的）。是狀態(tài)完全能觀的（完全能控的）。2則則能控能觀能觀能控2

4、121 6例如：能觀標(biāo)準(zhǔn)形例如：能觀標(biāo)準(zhǔn)形-顯然能觀的顯然能觀的能控標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形顯然能控的顯然能控的4.3 對偶原理對偶原理7 好處好處對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算、對能控性和能觀性的分析對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算、對能控性和能觀性的分析十分方便。十分方便。能控標(biāo)準(zhǔn)型對于能控標(biāo)準(zhǔn)型對于狀態(tài)反饋比較方便狀態(tài)反饋比較方便能觀標(biāo)準(zhǔn)型對于能觀標(biāo)準(zhǔn)型對于狀態(tài)觀測器的設(shè)計狀態(tài)觀測器的設(shè)計及系統(tǒng)辯識比較方便及系統(tǒng)辯識比較方便 由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)也不是唯一的。達(dá)也不是唯一的。 在實(shí)際應(yīng)用中，常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)在實(shí)際應(yīng)用中，常根據(jù)所研

5、究問題的需要，將狀態(tài)空間表達(dá)式化成相應(yīng)的幾種標(biāo)準(zhǔn)形式（如前述的空間表達(dá)式化成相應(yīng)的幾種標(biāo)準(zhǔn)形式（如前述的對角標(biāo)對角標(biāo)準(zhǔn)型、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型準(zhǔn)型、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 ）4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形8能觀標(biāo)準(zhǔn)形是指在一組基底下，將能觀性矩陣中的能觀標(biāo)準(zhǔn)形是指在一組基底下，將能觀性矩陣中的A 和和 C 表現(xiàn)為能觀的標(biāo)準(zhǔn)形式。表現(xiàn)為能觀的標(biāo)準(zhǔn)形式。能控標(biāo)準(zhǔn)形是指在一組基底下，將能控性矩陣中的能控標(biāo)準(zhǔn)形是指在一組基底下，將能控性矩陣中的A 和和 B 表現(xiàn)為能控的標(biāo)準(zhǔn)形式。表現(xiàn)為能控的標(biāo)準(zhǔn)形式。4.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形9

6、4.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)質(zhì)：對系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行非奇異線 性變換關(guān)鍵：在于尋找相應(yīng)的變換矩陣。理論依據(jù)：非奇異變換不改變系統(tǒng)的自然模 態(tài)及能控、能觀性注意：注意：只有系統(tǒng)完全只有系統(tǒng)完全能控能控（能觀）才能化（能觀）才能化 成成能控能控（能觀）標(biāo)準(zhǔn)型（能觀）標(biāo)準(zhǔn)型 104.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形一、一、能控標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形 uxxxxaaaaxxxxnnnnn10001000010000101211210121x1210nCCCCy如果一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：如果一個系統(tǒng)的狀

7、態(tài)空間表達(dá)式為： 能能控控標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則，該系統(tǒng)一定完全能控。則，該系統(tǒng)一定完全能控。11 回顧：回顧：第二章講第二章講過，根據(jù)傳遞函數(shù)過，根據(jù)傳遞函數(shù)1210100001000010naaaaA1000b110,nbbbCCxbAxxyu可寫出其狀態(tài)空間表可寫出其狀態(tài)空間表達(dá)式：達(dá)式：能控標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形0111012211)(asasasbsbsbsbsGnnnnnnn 124.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形若系統(tǒng)是若系統(tǒng)是完全能控完全能控的，的，則必定存在非奇異線性變換則必定存在非奇異線性變換 或或 使其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形：使其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形

8、： CxybuAxx設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：xPx1ubxAxnBAABBQnC 1Pxx 134.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形xCyubxAx12101100001000010naaaaPPAA1000bbP1210nCCCC-1CPCCxybuAxx能控標(biāo)能控標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)形非能控非能控標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形xPx10111asasasAsInnn144.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形12110 0 00 1npbAbA bA b且線性變換矩陣：且線性變換矩陣：其中：其中：1111nA

9、PAPPP證明：證明：(由由 推得推得 )PAPA1 PAPA15nnnPPPaaaaAPPP2112102110000010000104.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形3212PAPAP21PAP1212nnnPAPAPnnnPAPAP111PAPA164.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形1111nAPAPPP11110001nPbPAbbPbPAb 100011bAAbbPn10 0 11bAAbbPn111 100 0 bAAbbPn174.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)

10、形例例4.13 試將下列系統(tǒng)變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形試將下列系統(tǒng)變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形解解：（1）先判別系統(tǒng)的能控性先判別系統(tǒng)的能控性1101AbbcQ2crankQ 系統(tǒng)是能控的系統(tǒng)是能控的 111101xxu x01y184.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形（2）計算非奇異變化矩陣計算非奇異變化矩陣 110111AbbcQ10111P194.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形（3）求得能控求得能控標(biāo)準(zhǔn)形：標(biāo)準(zhǔn)形：xCyubxAxccc204.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形

11、二、 系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準(zhǔn)形系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 ubbbbxxxxaaaaxxxxnnnnnn1210121121012110000001000010000 x1000y0111012211)(asasasbsbsbsbsGnnnnnnn 則系統(tǒng)必定完全能觀測。則系統(tǒng)必定完全能觀測。如果一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：如果一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 能觀能觀標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形214.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：CxybuAxx若系統(tǒng)是完全能觀的，則必存在非奇異線性變換若系統(tǒng)是完全能觀的，則必存在非奇異線性變

12、換將系統(tǒng)變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)形將系統(tǒng)變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)形xTxooooxA xb uyc x100111nCACACT1111TAATTTno o變換矩陣為：變換矩陣為：224.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形xCyubxAx121011000001000010000nooaaaaATTA12101nobbbbbTb1000oCTCCxybuAxx能觀標(biāo)能觀標(biāo)準(zhǔn)型準(zhǔn)型非能觀非能觀標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型xTxo0111asasasAsInnn23例例4.144.14111, 1022xxyx O11210cUcA解：解：1）判斷能觀性判斷能觀性 能觀性矩陣：能觀性矩陣：

13、試判斷如下系統(tǒng)是否能觀。如果能觀，則試判斷如下系統(tǒng)是否能觀。如果能觀，則變換成能觀標(biāo)準(zhǔn)形。變換成能觀標(biāo)準(zhǔn)形。2）求變換矩陣求變換矩陣 24423111ATTT131101242ycTxxx 254.4 4.4 線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)1、能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型的基本形式；、能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型的基本形式；2、牢固掌握將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或狀態(tài)方程和輸出方、牢固掌握將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或狀態(tài)方程和輸出方程轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型的方法；程轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型的方法； （重點(diǎn)：變換矩陣）（重點(diǎn)：變換矩陣）3、注意：注意：只有能控能觀的系

14、統(tǒng)才可以化為能控標(biāo)準(zhǔn)只有能控能觀的系統(tǒng)才可以化為能控標(biāo)準(zhǔn) 型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型 （即：在化能控標(biāo)準(zhǔn)型時需先判斷系統(tǒng)是否能控，（即：在化能控標(biāo)準(zhǔn)型時需先判斷系統(tǒng)是否能控，而在化能觀標(biāo)準(zhǔn)型需先判斷系統(tǒng)是否能觀）而在化能觀標(biāo)準(zhǔn)型需先判斷系統(tǒng)是否能觀）。264.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解p 系統(tǒng)中系統(tǒng)中只要有一個狀態(tài)變量不能控只要有一個狀態(tài)變量不能控，則稱系統(tǒng)不能控；，則稱系統(tǒng)不能控； 不能控系統(tǒng)一般含有不能控系統(tǒng)一般含有能控和不能控能控和不能控兩種狀態(tài)變量。兩種狀態(tài)變量。p 只要有一個狀態(tài)變量不能觀只要有一個狀態(tài)變量不能觀，則稱系統(tǒng)不能觀；，則稱系統(tǒng)不能觀； 不能觀測系統(tǒng)一般也

15、有不能觀測系統(tǒng)一般也有能觀和不能觀能觀和不能觀兩種狀態(tài)變量。兩種狀態(tài)變量。把系統(tǒng)能控或能觀部分同不能控或不能觀部分區(qū)分開來，把系統(tǒng)能控或能觀部分同不能控或不能觀部分區(qū)分開來，將有利于更深入了解系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。將有利于更深入了解系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。因此，從能控性、能觀性角度出發(fā)：因此，從能控性、能觀性角度出發(fā)： 狀態(tài)變量可分成：狀態(tài)變量可分成：能控能觀狀態(tài)變量、能控不能觀狀能控能觀狀態(tài)變量、能控不能觀狀態(tài)變量、不能控能觀狀態(tài)變量、不能控不能觀狀態(tài)態(tài)變量、不能控能觀狀態(tài)變量、不能控不能觀狀態(tài)變量變量四類。四類。 采用系統(tǒng)坐標(biāo)變換的方法對狀態(tài)空間進(jìn)行分解，由相應(yīng)狀態(tài)采用系統(tǒng)坐標(biāo)變換的方法對狀態(tài)空間進(jìn)行分

16、解，由相應(yīng)狀態(tài)變量作坐標(biāo)軸構(gòu)成的子空間也分成四類，并把系統(tǒng)也相應(yīng)分變量作坐標(biāo)軸構(gòu)成的子空間也分成四類，并把系統(tǒng)也相應(yīng)分成四類子系統(tǒng)，這些統(tǒng)稱為成四類子系統(tǒng)，這些統(tǒng)稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。27000cc cccxxxx0cx0cxx-能控能觀能控能觀-能控不能觀能控不能觀-不能控能觀不能控能觀-不能控不能觀不能控不能觀coxcox4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解28一、按系統(tǒng)的能控性分解一、按系統(tǒng)的能控性分解 設(shè)線性定常系統(tǒng)為設(shè)線性定常系統(tǒng)為 其能控性判別矩陣，其能控性判別矩陣， 系統(tǒng)不能控。系統(tǒng)不能控。 存在非奇異變換矩陣存在非奇異變換矩陣 ，對系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)變換，對系統(tǒng)進(jìn)

17、行狀態(tài)變換BuAxx.CxynrrankcQ 的構(gòu)成CPxPxCCP4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解r個線性無關(guān)列向量個線性無關(guān)列向量任意任意n-r個列向量個列向量29則則 其中：其中：xCyuBxAx21CCCPCc011BBPBCccxxxrcRx rncRx -能控狀態(tài)子向量能控狀態(tài)子向量-不能控狀態(tài)子向量不能控狀態(tài)子向量rn-rr n-r4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解22121110AAAAACCPPrrnrrn30將變換后的動態(tài)方程將變換后的動態(tài)方程按前按前r維和后維和后n-r維維展展開，則有開，則有:ccxAx22uBxAxAxccc112112121yy

18、xCxCyccCxCy2222ccxA x4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解c1c12c11cxCBxAxAx11yu其中，其中，r維能控子系統(tǒng)維能控子系統(tǒng):n-r維不能控子系統(tǒng)維不能控子系統(tǒng):314.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解關(guān)鍵：關(guān)鍵：非奇異變換陣的構(gòu)造非奇異變換陣的構(gòu)造n個列向量的求法如下：個列向量的求法如下：1）前前 r 個列向量個列向量 是是能控性判別矩陣能控性判別矩陣 中的中的r個線性無關(guān)的列個線性無關(guān)的列；2）另外另外 個列向量個列向量 ，在確保在確保 為為非奇異非奇異的條件下的條件下任意選擇任意選擇。n1rr21cPPPPPPr21,PPPBAABBQ1

19、nc)(rn n1r,PPcP32u4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解y1Bs/11C11A12As/12C22Acxcx cx cx1y2y按能控性分解的系統(tǒng)分解結(jié)構(gòu)圖按能控性分解的系統(tǒng)分解結(jié)構(gòu)圖CxCy2222ccxA xc1c12c11cxCBxAxAx11yu334.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解注意！注意！系統(tǒng)按能控性分解后：系統(tǒng)按能控性分解后：1 1）能控性不變；）能控性不變；2 2）傳遞函數(shù)矩陣不變；）傳遞函數(shù)矩陣不變； 且且能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與原系統(tǒng)的傳遞函能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與原系統(tǒng)的傳遞函 數(shù)矩陣相同數(shù)矩陣相同 （換言之，不完全能控系統(tǒng)中，（換

20、言之，不完全能控系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)矩陣只傳遞函數(shù)矩陣只描述能控子系統(tǒng)的特性描述能控子系統(tǒng)的特性）。）。11( )()()G sC sIABC sIAB34由前面知識，已知，分由前面知識，已知，分解后的能控子系統(tǒng)：解后的能控子系統(tǒng)：能控子系統(tǒng)的能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解c1c12c11cxCBxAxAx11yu35例例4.15、試對系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解。試對系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解。xyuxx210 011310301100.32210311101 2rankbAAbbrankQrankc4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解解：解：所以系統(tǒng)不能

21、控。所以系統(tǒng)不能控。36若選取若選取11121122131 1100112011 -CCPPxPxC4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解xCPybuPxAPPxCCCC11則則通過通過371維不能控子系統(tǒng)：維不能控子系統(tǒng)：ccccxyuxxx11012121101ccxxcxy224.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解2維能控子系統(tǒng)：維能控子系統(tǒng)：384.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解能控子系統(tǒng)：能控子系統(tǒng)： ccccxxxx11012121101yucccxxx22y方程：同理可得分解后的動態(tài)若改選110011001cP不能控子系統(tǒng)不能控子系統(tǒng):ccccxyuxxx1

22、1012121101ccxxcxy2239練習(xí)：為了進(jìn)一步理解在構(gòu)造變換陣列時，練習(xí)：為了進(jìn)一步理解在構(gòu)造變換陣列時，第第n-r個列向量是任意選取的（只需保證個列向量是任意選取的（只需保證變換陣為非奇異的前提條件下）變換陣為非奇異的前提條件下） 若對例若對例4.15，選取，選取 請自行對系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解。請自行對系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解。TCP10134.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解40二、按系統(tǒng)的能觀性分解二、按系統(tǒng)的能觀性分解設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為xAxBuyCx 假設(shè)對系統(tǒng)的能觀性矩陣有假設(shè)對系統(tǒng)的能觀性矩陣有（n n為狀態(tài)向量維數(shù)），則系統(tǒng)不完全能觀。

23、為狀態(tài)向量維數(shù)），則系統(tǒng)不完全能觀。 4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解nlrankoQ 那么，必然可引入非奇異線性變換：那么，必然可引入非奇異線性變換：則則uBxAx.xCy xTxo41ooxxxloxRn loxR-能觀子狀態(tài)能觀子狀態(tài)-不能觀子狀不能觀子狀態(tài)態(tài)lnlnlllnl4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解nllm12oBBT BBn llr-1-142則則uBxAx10110.21222oooxA xA xB u1oyC x11111, oooxA xB uyC xy212222 , 0oooxA xA xB uy4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解將

24、變換后的動態(tài)方程將變換后的動態(tài)方程按前按前L維和后維和后n-L維維展開，展開，L維能觀子系統(tǒng)：維能觀子系統(tǒng)：n-L維不能觀子系統(tǒng)：維不能觀子系統(tǒng)：431Bs/11C11As/12B22Aox oxuyy 121Aox ox4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解按能觀性分解的系統(tǒng)分解結(jié)構(gòu)圖按能觀性分解的系統(tǒng)分解結(jié)構(gòu)圖11111, oooxA xB uyC xy212222 , 0oooxA xA xB uy444.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解關(guān)鍵：關(guān)鍵：非奇異變換陣的構(gòu)造非奇異變換陣的構(gòu)造n個行向量的求法如下：個行向量的求法如下：1）前前 L個行向量個行向量 是是能觀性判別矩陣

25、能觀性判別矩陣 中的中的L個個線性無關(guān)的線性無關(guān)的行向量行向量；2）另外另外 個行向量個行向量 ，在確保在確保 為非奇異的條件下為非奇異的條件下任意選擇任意選擇。lTTT,21ToCCC1nAAQ)(ln n1,TTl1TTlloTTTTTTn1211oQ 中中L L個線性無關(guān)的行向量個線性無關(guān)的行向量 任意任意n-Ln-L個行向個行向量量1oT45例例4.16、進(jìn)行能觀性分解。進(jìn)行能觀性分解。xuxx2-10y 0113103011004.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解所以不能觀。所以不能觀。解解： （1 1）判斷能觀測性）判斷能觀測性46（2）構(gòu)造非奇異變換陣）構(gòu)造非奇異變換陣

26、取取在保證在保證 非奇異的條件下，任取非奇異的條件下，任取 ，有：有：oT3211oTTTT2101T321 2T1oT1003T1003212103211oTTTT10020111211oo)(TT4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解47于是于是 ， ，即，即 經(jīng)過經(jīng)過4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解uBxAxxCyuTTTBxxAxx1oooo1oooooxxy001uxxoo011101021010 xTxo48不能觀子系統(tǒng)：不能觀子系統(tǒng)：1011 1 0121oooxxu yx21 0 , 0oooxxxy4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解能觀子系統(tǒng)：能觀

27、子系統(tǒng)：49三、同時按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解三、同時按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解能控性分解定理能控性分解定理+能觀性分解定理能觀性分解定理=卡爾曼的典型分解卡爾曼的典型分解定理，又稱定理，又稱標(biāo)準(zhǔn)分解標(biāo)準(zhǔn)分解定理。定理。假設(shè)系統(tǒng)：假設(shè)系統(tǒng)：不能控也不能觀不能控也不能觀標(biāo)準(zhǔn)分解的步驟：標(biāo)準(zhǔn)分解的步驟： BuAxx.CxycccxxPx進(jìn)行能控性分解進(jìn)行能控性分解對能控子系統(tǒng)進(jìn)行對能控子系統(tǒng)進(jìn)行能觀性分解能觀性分解4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解50 不能控子系統(tǒng)，能觀性分解不能控子系統(tǒng)，能觀性分解ococococococcooccccccccxTPxTPxTPxTPxPxPxxP

28、x22114.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解51xTx x4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解ocococcoococococxxxxTPTPTPTPx2211TococococococcooccccccccxTPxTPxTPxTPxPxPxxPx22115211131212223242334344000000000cocococococococoAAxxBxxAAAABuxxAxxAA13123400cocococoxxyyyyyCCxx4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解后，有：經(jīng)非奇異線性變換xTx 53能控能觀：能控能觀：能控不能觀：能控不能觀：不能控能觀：不

29、能控能觀：不能控不能觀：不能控不能觀：1113111 cocococoxA xA xB uyC x2122232422 0cococococoxA xA xA xA xB uy:co:co:co3333 , cococoxA xyC x43444, 0 cococoxA xA xy:co4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解54111 1133111 1xA xA xBuyC x221 1222233244220 xA xA xA xA xB uy3333333xA xyC x443344440 xA xA xy3y1y4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解11111()( )co

30、C sIABGs1( )()G sC sIAB系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣僅僅決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣僅僅決定于能控能觀子系統(tǒng)能控能觀子系統(tǒng)。即，傳遞函數(shù)矩陣是對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不完全描述。即，傳遞函數(shù)矩陣是對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不完全描述。55xuxx210y 011310301100例例4.17、 試對該系統(tǒng)進(jìn)行試對該系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)分解標(biāo)準(zhǔn)分解。5632210311101 2rankbAAbbrankQrankc32 ocQrankQrank系統(tǒng)不能控且不能觀。系統(tǒng)不能控且不能觀。 由：由：解解:57(A，b，c)進(jìn)行能控性分解進(jìn)行能控性分解( , , )AbcxPxcccxxx210311101 2rankbAAb

31、brankQrankc取取110011001cP58取取110011001cP1110110011cP1002211101ccAPPA0011bPbc211cCPC則：則：59xuxx211y 001100221110.ccccxyuxxx1101212110cccxyxx2 能控子系統(tǒng)：能控子系統(tǒng)：不能控子系統(tǒng)：不能控子系統(tǒng)：顯然顯然 ccoxx 能觀60 只需對能控子系統(tǒng)進(jìn)行能觀性分解：只需對能控子系統(tǒng)進(jìn)行能觀性分解：cocoxxx取取ccccxyuxxx1101212110611011 1120cococoxxux ccccxyuxxx110121211062 標(biāo)準(zhǔn)分解標(biāo)準(zhǔn)分解:1011

32、11200010cocococococoxxxxuxx 102cococoxyxxocococxyxx2 1011 1120cococoxxux 634.6 4.6 能控性、能觀性能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系能控性、能觀性能控性、能觀性-描述系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性內(nèi)部特性傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)-描述系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的外部特性外部特性問題：問題：兩者關(guān)系如何？兩者關(guān)系如何？ 換言之，基于傳遞函數(shù)的能控、能換言之，基于傳遞函數(shù)的能控、能觀性條件是怎樣的？觀性條件是怎樣的？64 例：如下所示的兩個狀態(tài)空間模型例：如下所示的兩個狀態(tài)空間模型能控不能觀！能控不能觀！4.6 能控性、能

33、觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系1 1）65能觀不能控！能觀不能控！傳遞函數(shù)相同的不同狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)相同的不同狀態(tài)空間模型帶來顯著的能控、能觀性的差異！帶來顯著的能控、能觀性的差異！4.6 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系2 2）66可見，可見， 其傳遞函數(shù)中均其傳遞函數(shù)中均出現(xiàn)了出現(xiàn)了零極點(diǎn)相消或重合零極點(diǎn)相消或重合現(xiàn)象現(xiàn)象。 雖然雖然都是存在零極點(diǎn)相消現(xiàn)象，但一個不都是存在零極點(diǎn)相消現(xiàn)象，但一個不能控，一個不能觀。能控，一個不能觀。 傳遞函數(shù)的零極相消會導(dǎo)致系統(tǒng)能控、能傳遞函數(shù)的零極相消會導(dǎo)致系統(tǒng)能控、能 觀或能控能觀性的

34、缺失；觀或能控能觀性的缺失； 具體缺失什么，與狀態(tài)變量的選取有關(guān)。具體缺失什么，與狀態(tài)變量的選取有關(guān)。4.6 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系67設(shè)設(shè) 單輸入單輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng)buAxx.Cxy)()()()()(1sDsNbASIASIadjCbASICsG4.6 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系定理定理1 1：單變量系統(tǒng)能控又能觀的：單變量系統(tǒng)能控又能觀的充要條件充要條件 是是G(s)G(s)中中沒有零極點(diǎn)相消沒有零極點(diǎn)相消現(xiàn)象?，F(xiàn)象。 68設(shè)設(shè)A的特征值互異：的特征值互異： , 則系統(tǒng)可化為：則系統(tǒng)可化為：n

35、,21ubbbxxnn2121.niiinxCxCCCy12100iiCbixix00iiCb系統(tǒng)能控能觀系統(tǒng)能控能觀不能控不能控不能觀不能觀4.6 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系69驗(yàn)證能控性：驗(yàn)證能控性： 設(shè)設(shè) 不能控，則不能控，則 一定存一定存在零極點(diǎn)對消。在零極點(diǎn)對消。 01b1xbASI1)(4.6 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系70驗(yàn)證能觀性：驗(yàn)證能觀性： 設(shè)設(shè) 不能觀，則不能觀，則 一定一定存在零極點(diǎn)對消。存在零極點(diǎn)對消。01C1)( AsIC121210)(nnsssCCAsIC1xnnnnnnCssC

36、sssssssCsCs)()()()(0 )()(012232112214.6 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系71 一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所表示的是該系統(tǒng)既一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所表示的是該系統(tǒng)既能控又能觀的那一部分子系統(tǒng)。能控又能觀的那一部分子系統(tǒng)。 一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若有零極點(diǎn)對消現(xiàn)象一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若有零極點(diǎn)對消現(xiàn)象，則視狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)或是不，則視狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)或是不能控的或是不能觀的或是不能控亦不能觀能控的或是不能觀的或是不能控亦不能觀的。的。兩個推論兩個推論 4.6 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系72例例4.18、考慮下列傳遞函數(shù)所描述系統(tǒng)的能控能考慮下列傳遞函數(shù)所描述系統(tǒng)的能控能觀性。觀性。5 . 25 . 15 . 2) 1)(5 . 2(5 . 2)(2sssssssGuxx105 . 15 . 210.xy15 . 215 . 2