隨機變量方差和矩ppt課件

1、一、隨機變量方差的定義及性質一、隨機變量方差的定義及性質三、例題講解三、例題講解二、常見概率分布的方差二、常見概率分布的方差四、矩的概念四、矩的概念第第3.23.2節(jié)節(jié) 隨機變量的方差和矩隨機變量的方差和矩五、小結五、小結).(,)(.)()()(),()(,)(,)(,XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX記為記為為標準差或均方差為標準差或均方差稱稱即即或或記為記為的方差的方差為為則稱則稱存在存在若若是一個隨機變量是一個隨機變量設設22222 1. 方差的定義方差的定義 (定義定義3.3)一、隨機變量方差的定義及性質一、隨機變量方差的定義及性質方差描畫了隨機變量方差描畫了隨機變量X

2、X取值對于數(shù)學取值對于數(shù)學期望的分散程度期望的分散程度. .假設假設D(X)D(X)值大值大, , 表示表示X X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X), E(X)的代表性差的代表性差; ;而假而假設設D(X) D(X) 值小值小, , 那么表示那么表示X X 的取值比較集的取值比較集中中, ,以以E(X)E(X)作為隨機變量的代表性好作為隨機變量的代表性好. .2. 方差的意義方差的意義離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 延續(xù)型隨機變量的方差延續(xù)型隨機變量的方差,d)()()(2xxpXExXD 3. 隨機變量方差的計算隨機變量方差的計算 (1)

3、利用定義計算利用定義計算 .)(的概率密度的概率密度為為其中其中Xxp., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 證明證明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式計算利用公式計算).()(22XEXE 證明證明22)()()(CECECD 4. 方差的性質方差的性質(1) 設設 C 是常數(shù)是常數(shù), 那么有那么有. 0)( CD22CC . 0 (2) 設設 X 是一個隨機變量是一個隨機變量, C 是常數(shù)是常數(shù), 那么那么有有).()(2XDCCXD 證

4、明證明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 設設 X, Y 相互獨立相互獨立, D(X), D(Y) 存在存在, 那么那么證明證明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推行推行).()()()(22221212211nnnnXDaXDaXDaXaXaXaD 則則有有相相互互獨獨立立若若,21nXXX即即取常數(shù)取常數(shù)以概率以概率的充要條件是的充要條件是,CX)X(D)(104 . 1 CXP25)()(),()(CXEXDXEC 則則若

5、若(6)契比雪夫不等式契比雪夫不等式證明證明.,)(,)(222成立成立不等式不等式則對于任意正數(shù)則對于任意正數(shù)方差方差具有數(shù)學期望具有數(shù)學期望設隨機變量設隨機變量定理定理XPXDXEX 對延續(xù)型隨機變量的情況來證明對延續(xù)型隨機變量的情況來證明.則有則有的概率密度為的概率密度為設設),(xpX 契比雪夫不等式契比雪夫不等式契比雪夫契比雪夫.22XP xxpxd)()(221.122 xxpxxd)( 2222XP .122XP 得得XP xxxpd)(1. 兩點分布兩點分布 qpXE 01)(Xp01pp 1知隨機變量知隨機變量 X 的分布律為的分布律為那么有那么有, p 22)()()(XE

6、XEXD 222101p)p(p ppq 二、常見概率分布的方差二、常見概率分布的方差2. 二項分布二項分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p那么有那么有 設隨機變量設隨機變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 n, p 二項分布二項分布,其分布律為其分布律為npppknkEXknknk )1(0)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppCkkknknkkn )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(0nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 222)()(npnppnn ).

7、1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp 3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk那么有那么有 0!)(kkekkXE 11)!1(kkke ee . 且且分分布布律律為為設設),(PX )1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkekkk 222)!2(kkke ee2.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于參數(shù)都等于參數(shù)泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 4. 均勻分布均勻分布那么有那么有xxxpXEd)()( baxxabd1).(21ba

8、 ., 0,1)(其它其它bxaabxp其概率密度為其概率密度為設設),(baUX).(21ba 結論結論 均勻分布的數(shù)學期望位于區(qū)間的中點均勻分布的數(shù)學期望位于區(qū)間的中點.22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 5. 指數(shù)分布指數(shù)分布 . 0. 0, 0, 0,)(, 其中其中其概率密度為其概率密度為服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布設隨機變量設隨機變量xxexpXx那么有那么有xxxpXEd)()( xexxd0 ./1 22)()()(XEXEXD 202/1d xexx22/1/2 ./1/12 和和分分別別為為指指數(shù)數(shù)分分布布的的期期望望和和

9、方方差差21 6. 正態(tài)分布正態(tài)分布其概率密度為其概率密度為設設),(2NX那么有那么有xxxfXEd)()( xexxd21222)( tx 令令, tx ., 0,21)(222)( xexfx. ttetettd2d212222 xexXExd21)(222)( 所所以以tettd)(2122 xexxd21)(222)(2 xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx tetXDtd2)(2222 tetettd222222 2202.2 .2 和和分別為兩個參數(shù)分別為兩個參數(shù)正態(tài)分布的期望和方差正態(tài)分布的期望和方差2分布稱號分布稱號參數(shù)參數(shù)數(shù)學期望數(shù)學期望方差方差兩點分布兩點分布二

10、項分布二項分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布幾何分布幾何分布10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2ba 12)(2ab 0 /12/1 0, 210 pp/12/ )1 (pp分布分布參數(shù)參數(shù)數(shù)學期望數(shù)學期望方差方差Gamma分布分布0, /2/ ).(.,)(XDxxxxxpX求求其它其它具有概率密度具有概率密度設隨機變量設隨機變量 0101011解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 三、例題講解三、例題講解例例1 1 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXE

11、XD 2061 .61 例例3.15 在每次實驗中在每次實驗中,事件事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為0.5.(1)利用切比謝夫不等式估計在利用切比謝夫不等式估計在1000次獨立實驗中次獨立實驗中,事件事件A發(fā)生的次數(shù)在發(fā)生的次數(shù)在400 500之間的概率之間的概率;(2)要使要使A出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.35 0.65之間的概率不小之間的概率不小于于0.95,至少需求多少次反復實驗至少需求多少次反復實驗?解解: 設設X表示表示1000次獨立實驗中事件次獨立實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), 那么那么 X B(1000,0.5), E(X)=10000.5=500, 975. 01002501

12、100)(1100| )(|50060050050040060040022 XDXEXPXPXPD(X)=1000 0.5 0.5=250, 于是由切比謝夫于是由切比謝夫不等式得不等式得(2)設需求做設需求做n次獨立實驗次獨立實驗,那么那么X B(n,0.5),求求n使使得得成立成立,由切比謝夫不等式得由切比謝夫不等式得故至少需求做故至少需求做223次獨立實驗次獨立實驗. 95. 015. 05 . 05 . 065. 05 . 05 . 035. 065. 035. 0 nnXPnnnXnnPnXP 2 .222,95. 09 . 011)15. 0(25. 01)15. 0(115. 05

13、 . 022 nnnnnDXnnXP只只要要)(., 2 , 1),(,kkkXEkkXkXEX 記為記為簡稱簡稱的的稱它為稱它為存在存在若若是隨機變量是隨機變量設設階矩階矩階原點矩階原點矩kkkXEXEkXkXEXE)(., 3 , 2 , 1,)( 記記為為的的稱稱它它為為存存在在若若階階中中心心矩矩四、矩的概念四、矩的概念定義定義3.4定義定義3.5.)(1,1的的數(shù)數(shù)學學期期望望就就是是時時當當顯顯然然XXEk ).(2XD 顯顯然然2. 闡明闡明 ;,)()(方方差差為為二二階階中中心心矩矩點點矩矩的的一一階階原原是是的的數(shù)數(shù)學學期期望望隨隨機機變變量量XXEX2.; )(表表示示階

14、階中中心心矩矩可可以以互互相相唯唯一一階階原原點點矩矩和和變變量量函函數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)學學期期望望以以上上數(shù)數(shù)字字特特征征都都是是隨隨機機kk1.4,)3(階階的的矩矩很很少少使使用用高高于于在在實實際際應應用用中中.)(3機變量的分布是否有偏機變量的分布是否有偏主要用來衡量隨主要用來衡量隨三階中心矩三階中心矩XEXE . )( 4近近的的陡陡峭峭程程度度如如何何機機變變量量的的分分布布在在均均值值附附主主要要用用來來衡衡量量隨隨四四階階中中心心矩矩XEXE 五、小結五、小結1. 方差是一個常用來表達隨機變量方差是一個常用來表達隨機變量X 取值分散程取值分散程度的量度的量. 假設假設D(X)值大值

15、大,表示表示X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而假設而假設D(X)值小值小, 那么表示那么表示X 的取值比較集中的取值比較集中, 以以E(X) 作為隨機變量的代表性作為隨機變量的代表性好好.,)()()(22XEXEXD 2. 方差的計算公式方差的計算公式,)()(12kkkpXExXD .d)()()(xxpXExXD 23. 方差的性質方差的性質 ).()()(YX,3);()(2; 0)(10200YDXDYXDXDCCXDCD獨立時，獨立時，當當22XP .122XP 4. 契比雪夫不等契比雪夫不等式式.變變量量的的數(shù)數(shù)字字特特征征矩矩是是隨隨機機5

16、.;)(方方差差為為二二階階中中心心矩矩的的一一階階原原點點矩矩是是的的數(shù)數(shù)學學期期望望隨隨機機變變量量XXEXPafnuty ChebyshevBorn: 16 May 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec 1894 in St Petersburg, Russia契比雪夫資料契比雪夫資料)44(2 XXE44)(2 EXEXDX434352 .30 .30)2(2 XE所所以以解解)44()2(22 XXEXE4)(4)(2 XEXE.)2(, 5)(, 3)(2 XEXDXE求求已已知知例例1 1備份題備份題.)(;,)(:,)(.,)(的數(shù)學期望與方差的

17、數(shù)學期望與方差隨機變量隨機變量的值的值求求且已知且已知其它其它的概率密度為的概率密度為設隨機量設隨機量XeYcbaXPXExbcxxaxxpX 213431304220 解解,d)()(11 xxp因為因為例例2 2xbcxxxaxxXEd)(d)(4220 , 2)( XE, 2 bca 35638,4331 XP,432523d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以, 1 b,41 a解之得解之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacba因此有因此有,)1(16124 e22)()()(XXXEeeEeD 得得

18、22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220 ,)1(4122 exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022 證明證明, 1 n.)(,., !)(1120000 nnnXPnxxnexxpXxn試證試證為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中的分布密度為的分布密度為設隨機變量設隨機變量xxpxXEd)()( 22xexxnxnd!102 例例3 3xexxnxxxpXExnd!d)()( 01因因為為2) 1() 1)(2( nnn1) 1() 1( nnXnP1)1( nnXPxexxnxnd!102 ),1)(2( nn. 1 n22)()()(EXXEXD 所以所以)1(20 nXP又又因因為為2)1(11 nn.1 nn.1)1(20 nnnXP)1()(1 nXEXP2)1()(1 nXD1)( nXEXP故得故得.,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的的概概率率求求活活塞塞能能裝裝入入氣氣缸缸任任取取一一只只氣氣缸缸任任取取一一只只活活塞塞相相互互獨獨立立氣氣缸缸的的直直徑徑計計以以設設活活塞塞的的直直徑徑YXNYNX解解),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22(22NYN