第七章無限長數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

1、 7.1 7.1 引言引言 7.27.2 數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)步驟數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)步驟 7.3 7.3 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) 7.47.4 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法分類數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法分類 7.5 7.5 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì) 7.77.7 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法 7.97.9 雙線性變換法雙線性變換法本章主要討論找到一個(gè)滿足技術(shù)指標(biāo)要求的可實(shí)現(xiàn)的因果本章主要討論找到一個(gè)滿足技術(shù)指標(biāo)要求的可實(shí)現(xiàn)的因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器來逼近理想的濾波器幅度特性。穩(wěn)定的數(shù)字濾波器來逼近理想的濾波器幅度特性。IIRIIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)數(shù)字濾波器的特點(diǎn)(1) (1) 單

2、位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h(n)h(n)是無限長；是無限長；(2) (2) 系統(tǒng)函數(shù)是有理分式的形式系統(tǒng)函數(shù)是有理分式的形式 H(z) H(z)在有限在有限z z平面上既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)。極點(diǎn)應(yīng)全在平面上既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)。極點(diǎn)應(yīng)全在Z Z平平 面單位圓內(nèi)；面單位圓內(nèi)；(3)(3) 系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)上既有正向支路，也有反饋支路，也就系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)上既有正向支路，也有反饋支路，也就(4)(4) 是包含遞歸結(jié)構(gòu)。是包含遞歸結(jié)構(gòu)。NiiiMiiizazbzH101)(1) 按照任務(wù)的需要 ，確定濾波器的性能指標(biāo)；(2) 用一個(gè)因果穩(wěn)定的LSI系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要 求，逼近的系統(tǒng)函數(shù)可以是IIR或FIR濾

3、波器；(3) 用有限精度算法來實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，包括運(yùn)算 結(jié)構(gòu)，選擇合適的字長以及有效數(shù)字的處理方法；(4) 實(shí)際技術(shù)的實(shí)現(xiàn)，包括采用軟件、專用數(shù)字濾波 器的硬件或?qū)Ｓ玫臄?shù)字信號處理器實(shí)現(xiàn)。理想低通濾波器逼近的誤差容限理想低通濾波器逼近的誤差容限1-12dB0dBpR-dBsA-p（1）有通帶、阻帶和過渡帶（2）通帶中有通帶截止頻率 ，及通帶波紋（3）阻帶中有阻帶截止頻率 ，及阻帶波紋（4） 在過渡帶內(nèi)，頻率響應(yīng)幅度從通帶邊沿到阻帶 邊沿是平滑過渡的；（5） 一般用分貝dB來表示，即通帶允許的最大衰減衰減Rp 分貝及阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減衰減As分貝。p1st2)(lg20)(lg20)()(l

4、g20)(1lg(20)(lg20)()(lg202max1maxdBeHeHeHAdBeHeHeHRststppjjjsjjjp如果用 分貝來表示增益，則將 處的增益稱為0dB，則通帶邊沿處的增益為-Rp分 貝，阻帶起始頻率處的增益為-AS分貝。例：)0(1)(maxjeHdBeHeHeHeHppjjjpjp3)1lg(20)(lg20)()(lg20707. 021)(1max處的衰減為則在時(shí)，1.1.幅度平方響應(yīng)幅度平方響應(yīng) 的極點(diǎn)的極點(diǎn)( (零點(diǎn)零點(diǎn)) )既是共軛的，又是以單位既是共軛的，又是以單位 圓為鏡像對稱的，就是成共軛倒數(shù)。圓為鏡像對稱的，就是成共軛倒數(shù)。取單位圓內(nèi)的極點(diǎn)作為取

5、單位圓內(nèi)的極點(diǎn)作為 的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。 jezjjjjjzHzHeHeHeHeHeH| )()(|)()()()(| )(|121( )()H z H z( )H z根據(jù)傅立葉變換的性根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)，當(dāng)質(zhì)，當(dāng)h(n)h(n)為實(shí)序列為實(shí)序列的時(shí)的時(shí), ,滿足滿足表征數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特性的三個(gè)參量是表征數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特性的三個(gè)參量是)()(jjeHeH由于由于所以所以由于由于所以又有所以又有*()()()jjjjeHeH ee)()(ln21)()(ln21)()(ln21)()()(ln)(2)()(1)(2zHzHjeHeHjeHeHjeeHeHejeeHeHjjjjjjjjejj

6、jj)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(jjjeHeHarctge它是濾波器平均延遲的一個(gè)度量它是濾波器平均延遲的一個(gè)度量可以化為可以化為由于由于所以所以因而又有因而又有dedejj)()(jjezezjdzzdjzddzdzzde)()()()(lnIm)(jjeHdde)()(ln)(lnjjjejeHeH)(lnIm)(jjeHe 同樣可化為 當(dāng)濾波器為線性相位響應(yīng)特性時(shí)， 則通帶內(nèi)延遲特性為常數(shù)。jjjjezezezezjzHdzzdHzzHdzdzdzzHdjzddzdzzHde)(1)(Re)(lnRe)(lnIm)(lnIm)(IIR

7、系統(tǒng)函數(shù)求出濾波器的各系數(shù) ，使得在規(guī)定意義上(如通帶起伏及阻帶衰減的要求或采用最優(yōu)化準(zhǔn)則)，逼近所要求特性。在z平面上逼近，得到數(shù)字濾波器。NkkkMkkkzazbzH101)(,kkab間接法間接法( (從從AFAF設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR DF)IIR DF)直接法直接法（直接設(shè)計(jì)（直接設(shè)計(jì)IIR DF)IIR DF)IIR DFIIR DF沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法時(shí)域最小均方誤差逼近法時(shí)域最小均方誤差逼近法頻域最小均方誤差逼近法頻域最小均方誤差逼近法以及最小以及最小P P誤差法誤差法零點(diǎn)極點(diǎn)配置累試法零點(diǎn)極點(diǎn)配置累試法設(shè)計(jì)步驟：（1）給定濾

8、波器技術(shù)指標(biāo)（2）選定濾波器的類型（例如巴特沃思濾波器或 切比雪夫?yàn)V波器）（3）計(jì)算濾波器需要的階數(shù)（4）通過查表或計(jì)算來確定歸一化低通濾波器的 系統(tǒng)函數(shù)Han(S)（5）將Han(S)轉(zhuǎn)換為所需類型的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)7.5.1 7.5.1 引言引言1 1、 幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù) 稱為巴特沃思濾波器的通帶截止頻率。 當(dāng) 時(shí)， 因此 又稱為巴特沃低通濾波器頻率響應(yīng)幅度衰減到3dB 時(shí)的帶寬。NCajH2211)(CC21)(21)(2jHjHaa，dBjHjHRCaaC3)()0(lg20C2 2、巴特沃思低通濾波器幅度特性的特點(diǎn)、巴特沃思低通濾波器幅度特性的特點(diǎn)（1） 時(shí)， ，無衰

9、減；（2） 時(shí)， ，即功率 減少 到一半，不管濾波器的階數(shù)是多少，所有的幅 度曲線都在 處交匯于3dB衰減處。（3）通帶內(nèi)，N越大，通帶內(nèi)幅度特性越平坦；（4）過渡帶及阻帶內(nèi)，N越大，幅度特性在這個(gè)頻率范 圍內(nèi)衰減的越快。N=8N=4N=210.707C01)(jHaC1)(,21)(2jHjHaa即C3 3、巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)、巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的全部零點(diǎn)在系統(tǒng)函數(shù)的全部零點(diǎn)在s= s= 處，在有限處，在有限Z Z平面只有極點(diǎn)。平面只有極點(diǎn)。NcajSaaaajssHjHjHsHsH2211)()()()()(NkejssHsHNkjCCNkaa2,2,1,)()

10、1()()()21221(21的極點(diǎn)為Cj03N=3N=3（三階）（三階）Cj04N=4N=4（四階）（四階）（1）極點(diǎn)在S平面是象限對稱的，分布在半徑為 的圓上，有2N個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)k =1,2, ,N時(shí)， sk即為左半平面極點(diǎn)，就是Ha(s)的極點(diǎn)；（2）極點(diǎn)間隔的角度為 rad;（3）極點(diǎn)不會落在虛軸上，這樣系統(tǒng)Ha(s)才是穩(wěn) 定系統(tǒng)；（4）N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有極點(diǎn)； N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。CN為奇數(shù)為偶數(shù)波器的系統(tǒng)函數(shù)為的巴特沃思低通模擬濾通帶截止頻率為個(gè)二階實(shí)系數(shù)子系統(tǒng)將一對共軛極點(diǎn)構(gòu)成一NsHssHNsHsHsssssHsHssjssHNkkccaNkkackkckkNhkcN

11、ca2) 1(121N1N2),()(),()()()()()(11)(在濾波器設(shè)計(jì)手冊中，為了便于對各種類型及各種截止頻率 的濾波器設(shè)計(jì)，都是將低通濾波器的截止頻率 歸一化為1，此時(shí)巴特沃思?xì)w一化低通濾波器的極點(diǎn)及系統(tǒng)函數(shù)只要將上面的公式中所有的截止頻率 換成1即可。為奇數(shù)為偶數(shù)NsHssHNsHsHNkkanNkkan2) 1(121),(11)(),()(CCC書P370371的表7.2、表7.3、表7.4分別給出了歸一化巴特沃思低通濾波器分母多項(xiàng)式用系數(shù)、根以及因式表示的數(shù)據(jù)。)()(1)(210112210NNNNanssssssdssasasadsH4 4、巴特沃思低通濾波器設(shè)計(jì)參

12、數(shù)的確定、巴特沃思低通濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)的確定CpstdB0dBRpdB3dB211121A707.0)(jHa阻帶截止頻率通帶截止頻率:stp（1）設(shè)計(jì)時(shí)給定的參數(shù)sstastaappapaaAjHjHjHRjHjHjH)(lg20)()0(lg20)(lg20)()0(lg20(2) 求濾波器階次NNpstRAANcstRNcpsNcststapNcppaNCapsspAjHRjHjH21.01.01.021.0222221101101101101lg10)(lg201lg10)(lg2011)(pstANccppcppstRAppspsNRdBRNdBRlg2110lg2lg101lg103

13、lg2110110lg31.021.01.0時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，當(dāng)(3) 求CcsccpcsNAstccpNRpcANcstRNcpspsp21 . 021 . 01 . 021 . 02110110110110例 設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃思低通濾波器，其通帶截止頻率fp=3000Hz，通帶最大衰減Rp=2dB，阻帶截止頻率為fst=6000Hz，阻帶最小衰減As =2dB。解：（1）求N。6369.536lg2110110lglg2110110lg/60002,/300022 .031 .01 .0NNsradsradpstRAstpps取已知(2) 求 ，按通帶滿足衰減要求來求兩種方法求系統(tǒng)函數(shù)第一種：由求

14、出的 和N求Ha(s)的極點(diǎn)sk，按照公式求所需的Ha(s)第二種：由N求出歸一化巴特沃思系統(tǒng)函數(shù)Han(s)(利用表7.2或7.4)， 然后用 去歸一化就得到所需的Ha(s)CC19711.111030002110120.221.0NRpcpC為偶數(shù)，NsHsHsssssHNkkakNkck211N),()()()(C（3）求歸一化巴特沃思低通濾波器Han(s)。（4）去歸一化，求所需的Ha(s)19318516. 114142136. 11517638. 0118637033. 34641016. 71416202. 94641016. 78637033. 31)(22223456ssss

15、sssssssssHan23222221266122334455662222226652433425669318516. 14142136. 1517638. 08637033. 34641016. 71416202. 94641016. 78637033. 3)()(cccccccccccccccccccccanabssbssbssasasasasassssssssssssssHsH256824543424122118213394451086493. 5,1088526. 3106157796. 7,108078897. 3107875689. 2,100203208. 1101496247

16、. 1101267785. 1,10000930. 7108999975. 2,106157796. 7ccabbbaaaaa巴特沃思型、切比雪夫型、 型濾波器、橢圓函數(shù)型、（1）從幅度響應(yīng)比較。巴特沃思濾波器在全頻段具有單調(diào)下降的幅度特性；切比雪夫型濾波器在通帶種呈等波紋形，在阻帶呈單調(diào)下降；切比雪夫型濾波器在通帶內(nèi)單調(diào)下降，在阻帶呈等波紋形；橢圓函數(shù)型在通帶阻帶都呈等波紋形。（2）從過渡帶比較。當(dāng)所有的指標(biāo)相同，巴特沃思濾波器的過渡帶最寬，橢圓函數(shù)的最窄。（3）從階次N比較。若濾波器具有相同的幅度特性指標(biāo)，則所需的階次依次為巴特沃思型、切比雪夫型、 型濾波器、橢圓函數(shù)型。（4）濾波器對參數(shù)

17、量化（變化）的靈敏度比較，量化靈敏度越低越好，依次為巴特沃思型、切比雪夫型、 型濾波器、橢圓函數(shù)型。（5）相位響應(yīng)的比較。貝塞爾具有最好的對線性相位的逼近，后面依次為巴特沃思型、切比雪夫型、 型濾波器、橢圓函數(shù)型。但是貝塞爾型濾波器幅度響應(yīng)性能最差。樣本歸一化模擬低通樣本歸一化模擬低通樣本歸一化模擬低通模擬低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通模擬-模擬頻帶轉(zhuǎn)換數(shù)字化數(shù)字化數(shù)字-數(shù)字頻帶轉(zhuǎn)換技術(shù)指標(biāo)技術(shù)指標(biāo)技術(shù)指標(biāo)數(shù)字化的方法：數(shù)字化的方法：是把s平面映射到z平面，使模擬系統(tǒng)函數(shù)變換成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)?；緱l件：（1）S

18、平面的虛軸 映射到Z平面的單位圓 上;（2）因果穩(wěn)定的 就能映射成因果穩(wěn)定 ,也就是要求S平面的左半平面必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)。幾種映射方法：沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法。雙線性變換法。( )aHs( )H z( )aHs( )H zjje沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)逼近模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t) 。即抽樣滿足)()(nThnha設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次。展開部分分式其相應(yīng)的沖激響應(yīng)是的拉普拉斯變換即( )aHs( )ah tNkkkassAsH1)( )aHsNknTskNknTs

19、kanueAnueAnThnhkk11)()()()()()()()()()(zHnhnThthsHzanTtaa 變換拉普拉斯反變換NktskatueAthk1)()(對對h(n)h(n)求求z z變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)NkTsknnnTsNkknTsNkknnzeAzeAzeAznhzHkkk110011111)()()()(數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)等于模擬濾波器頻率響應(yīng)的周數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)等于模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，等式之間還有一個(gè)期延拓，等式之間還有一個(gè)1/T1/T的加權(quán)因子，當(dāng)抽樣的加權(quán)因子，當(dāng)抽樣頻率高時(shí)，濾波器增益會太高。頻率高時(shí)，濾波器增益會

20、太高。修正方法：修正方法：令令則有則有及及因，共軛極點(diǎn)，其變成因，共軛極點(diǎn)，其變成H(z)H(z)關(guān)系關(guān)系kss*kss)()(nTThnhaNkTskzeTAzHk111)(kajTjHkTjTjeH),()2()( )aHs*1*1,11kkkkkks Ts TkkAAAAssezssez3 3、從、從S S平面變換到平面變換到Z Z平面的變換關(guān)系平面的變換關(guān)系z=ez=eststz=rez=rej j s= s= + j+ jt tz=rez=rej j= e= e( (+ j+ j)t)t= e= et te e+j+jt tr=er=et t = =T TS平面平面Z平面平面3 3/

21、T/T/T/T- -/T/T-3-3/T/T0 00 01 1-1-1j jjImzjImzRezRez4 4、H Ha a(s)(s)和變換后和變換后H(z)H(z)之間的關(guān)系之間的關(guān)系（1 1）s s平面的單極點(diǎn)變換到平面的單極點(diǎn)變換到z z平面上平面上 處的單極點(diǎn)。處的單極點(diǎn)。（2 2）兩者部分分式的系數(shù)是相同的，都是）兩者部分分式的系數(shù)是相同的，都是（3 3）如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則數(shù)字濾波器也）如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則數(shù)字濾波器也 是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。（4 4）能保證兩者極點(diǎn)代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但不存在）能保證兩者極點(diǎn)代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但不存在s s平平面面z z平面的一一對應(yīng)關(guān)系，尤其是

22、零點(diǎn)就沒平面的一一對應(yīng)關(guān)系，尤其是零點(diǎn)就沒有這種關(guān)有這種關(guān)系。而是隨系。而是隨 的極點(diǎn)及系數(shù)兩者而變的極點(diǎn)及系數(shù)兩者而變 化?；?。kssks TzekA( )aHs數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，延拓的周期為因此，根據(jù)抽樣定理，模擬濾波器的最高頻率必須小于 ，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能帶限于 ，才能不失真的重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)。由于數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)指標(biāo)是用數(shù)字頻率給出，如果增加采樣頻率，則樣本模擬濾波器的截止頻率也會成比例的增加，因此不能用改變采樣頻率的方法來控制混疊失真。2,22ssssssfTfT2/2scT（1）線性相位（2）由于要求模擬濾波器是嚴(yán)格帶限的，因此

23、不能用于設(shè)計(jì)高通及帶阻濾波器，這是由于當(dāng)ffs/2時(shí)，它們的幅度響應(yīng)仍不衰減，一定會產(chǎn)生混疊失真；（3）沖激響應(yīng)不變法的變換關(guān)系，只適用于并聯(lián)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)，即系統(tǒng)必須先展開成部分分式。（4）適用于要求時(shí)域沖激響應(yīng)能逼近模擬濾波器場合。例設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為例設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試?yán)脹_激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)試?yán)脹_激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器。解：直接利用可得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：直接利用可得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 設(shè)設(shè)T T1 1，則有，則有2211( )4313aHssss)( )111()TTTTTTTTzeeH zezezze

24、ez e1120.318( )1 0.41770.01831zH zzzNkTskzeAzHk111)(模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)分別為模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)分別為222()(3)40.3181()1 0.41770.01831ajjjjHjjeH eee 目的：主要用來克服混疊現(xiàn)象。目的：主要用來克服混疊現(xiàn)象。1 1、基本思路、基本思路雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法。器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法。首先把整個(gè)首先把整個(gè)s s平面壓縮變換到某一中介的平面壓縮變換到某一中介的s s1 1平

25、面的平面的一條橫帶里一條橫帶里( (即從即從- -/T/T到到/T)/T)；其次再通過上面討論過的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系其次再通過上面討論過的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 , ,將此橫帶變換到整個(gè)將此橫帶變換到整個(gè)z z平面上去平面上去, ,這樣就使這樣就使s s平面與平面與z z平面一一對應(yīng)來消除混疊。平面一一對應(yīng)來消除混疊。Tsez1S平面平面S1平面平面z平面平面j j0 01j j1 10 0/T/T- -/T/TjImzjImzRezRez0 01 1-1-1雙線性變換法的映射關(guān)系雙線性變換法的映射關(guān)系（1 1）將）將s s平面整個(gè)平面整個(gè)j j軸壓縮變換到軸壓縮變換到s s1 1平面平面j j1 1軸上的軸

26、上的/T/T到到/T/T一段，可以采用的變換方式：一段，可以采用的變換方式：這樣，這樣，上式可以寫成：上式可以寫成：解析延拓到解析延拓到s s平面和平面和s s1 1平面，令平面，令 則則)2tan(1T11112222TTTTeejee 11,js js TsTsTsTsTsTseeTstheeees111111112122222 2、變換過程及變換關(guān)系式、變換過程及變換關(guān)系式0011（2 2）將）將s s1 1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z z平面平面（3 3）得到）得到s s平面和平面和z z變換的單值映射關(guān)系變換的單值映射關(guān)系（4 4）為使模擬濾波器的某

27、一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率）為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)關(guān)系引入待定常數(shù)有對應(yīng)關(guān)系引入待定常數(shù)c c，Tsez11111zzsssz11)2tan(1TcTsTseecTcths1111)2(1仍將代入，可得仍將代入，可得變換關(guān)系為變換關(guān)系為這種變換就稱為雙線性變換。這種變換就稱為雙線性變換。1s Tze1111zzcsscscz11112)()(zzTsasHzH模擬角頻率模擬角頻率與數(shù)字頻率與數(shù)字頻率之間的之間的變換關(guān)系變換關(guān)系當(dāng)零頻附近呈線性關(guān)系，當(dāng)增加當(dāng)零頻附近呈線性關(guān)系，當(dāng)增加時(shí)，就存在非線性關(guān)系。時(shí)，就存在非線性關(guān)系。當(dāng)當(dāng)= = 時(shí)，時(shí)， ，也就，也就是數(shù)

28、字頻率終止與折疊頻率處。是數(shù)字頻率終止與折疊頻率處。)2tan(c/c=tan(/c=tan(/2)/2)- -0 0（1）由于沒有頻率響應(yīng)的混疊失真，可以設(shè)計(jì)低通、帶通、高通、帶阻各種濾波器；（2）頻率變換是非線性的，會導(dǎo)致DF的幅頻響應(yīng)相對于AF的幅頻響應(yīng)有畸變。例如理想微分器及線性相位的AF經(jīng)過變換后不再保持原有的理想微分器及線性相位的特點(diǎn)。（3）變換關(guān)系適用于各種結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)。210 0210 012120 0|H|Ha a(j(j)|)|H(e|H(ej j)|)|=2tan=2tan-1-1( (/c)/c)理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)

29、產(chǎn)生畸變解決辦法：將頻率加以預(yù)畸，即利用解決辦法：將頻率加以預(yù)畸，即利用將給定的數(shù)字濾波器的截止頻率將給定的數(shù)字濾波器的截止頻率 （即臨界頻率）變換成（即臨界頻率）變換成模擬頻率模擬頻率 ，利用這組，利用這組 來設(shè)計(jì)模擬濾波器，對設(shè)計(jì)好來設(shè)計(jì)模擬濾波器，對設(shè)計(jì)好的樣本模擬原形濾波器經(jīng)過雙線性變換后，即可以得到所需的樣本模擬原形濾波器經(jīng)過雙線性變換后，即可以得到所需要的數(shù)字濾波器，它的截止頻率恰好是要的數(shù)字濾波器，它的截止頻率恰好是)2tan(ciiii利用雙線性變換將模擬濾波器數(shù)字化的辦法：利用雙線性變換將模擬濾波器數(shù)字化的辦法：（1 1）s s到到z z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，可以將之間

30、的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，可以將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用代數(shù)置換得到數(shù)字濾波模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：器的系統(tǒng)函數(shù)：（2 2）先將模擬系統(tǒng)分解為并聯(lián)或級聯(lián)的子系統(tǒng)，）先將模擬系統(tǒng)分解為并聯(lián)或級聯(lián)的子系統(tǒng)，每個(gè)系統(tǒng)都變成低階的，然后再對每個(gè)子系統(tǒng)函每個(gè)系統(tǒng)都變成低階的，然后再對每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)分別進(jìn)行雙線性變換。數(shù)分別進(jìn)行雙線性變換。因?yàn)槟M系統(tǒng)函數(shù)的分解有大量的圖表可以利因?yàn)槟M系統(tǒng)函數(shù)的分解有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。用，分解起來比較方便。111111)()(11zzcHsHzHazzcsa此變換在概念上很清楚，但是實(shí)際變換可能會比較復(fù)雜，可以此變換在概念

31、上很清楚，但是實(shí)際變換可能會比較復(fù)雜，可以先求出雙線性變換法中數(shù)字濾波器的系數(shù)與模擬濾波器的系數(shù)先求出雙線性變換法中數(shù)字濾波器的系數(shù)與模擬濾波器的系數(shù)之間的關(guān)系式，并列成表格，便可以利用表格進(jìn)行設(shè)計(jì)。之間的關(guān)系式，并列成表格，便可以利用表格進(jìn)行設(shè)計(jì)。NNNNNiiiNiiiNNNNNiiiNiiiasBsBsBsAsAsAAzBzAzHseseseesdsdsddsesdsH221221000221022100011)()(111111)()(11zzcHsHzHazzcsa一階一階N N1 1A A0 0 (d (d0 0+d+d1 1c)/Rc)/RA A1 1 (d (d0 0-d-d1

32、 1c)/Rc)/RB B1 1 (e (e0 0-e-e1 1c)/Rc)/R R (e R (e0 0+e+e1 1c)c)二階二階N N2 2 A A0 0 (d (d0 0+d+d1 1c+dc+d2 2c c2 2)/R)/R A A1 1 (2d (2d0 0-2d-2d2 2c c2 2)/R)/R A A2 2 (d (d0 0-d-d1 1c+dc+d2 2c c2 2)/R)/R B B1 1 (2e (2e0 0-2e-2e2 2c c2 2)/R)/R B B2 2 (e (e0 0-e-e1 1c+ec+e2 2c c2 2)/R)/RR (eR (e0 0+e+e1

33、 1c+ec+e2 2c c2 2) )三階三階N N3 3C 是變換常數(shù)是變換常數(shù) ，一般取得一般取得c=T/2例：用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字巴例：用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字巴特沃思低通濾波器。給定的指標(biāo)為特沃思低通濾波器。給定的指標(biāo)為f1kHz,f1kHz,幅度特性幅度特性下降小于下降小于1dB,1dB,當(dāng)頻率大于當(dāng)頻率大于f fst st=1.5kHz=1.5kHz的阻帶內(nèi)，衰減的阻帶內(nèi)，衰減大于大于15dB,15dB,抽樣頻率為抽樣頻率為f fs s=10kHz=10kHz321 . 0100320505. 71103 . 0/,2 . 0/10,15,/600

34、021,/10002) 1 (NRpcsststsppssstpppffkHzfdBAsraddBRsrad的公式利用通帶滿足衰減指標(biāo)標(biāo)為則數(shù)字濾波器的頻率指技術(shù)指標(biāo)為解：（一（一 ）沖激響應(yīng)不變法）沖激響應(yīng)不變法6885.51.5lg2110110lglg2110110lgN)2(1.01.51.01.0NNpstRAps取計(jì)算模擬濾波器的階次（3）求歸一化巴特沃思低通濾波器Han(s)。（4）去歸一化，求所需的Ha(s)19318516. 114142136. 11517638. 0118637033. 34641016. 71416202. 94641016. 78637033. 31)

35、(22223456sssssssssssssHan742732732232222226109449734.4103584878.11109449734.4109448215.9109449734.4106400566.3102091826.19318516.14142136.1517638.0)()(sssssssssssssHsHccccccccana的濾波器。否則要采用更高階足設(shè)計(jì)要求，混疊效應(yīng)可以忽略，滿的衰減大于處可以看出在，即可以得到代入修正后的公式利用沖激響應(yīng)不變法的）（N,15)(3 . 0)(2570. 09972. 010.6304-1.85583699. 00691. 111.14542.1428-6949. 0297. 110.4466-0.2871)(1)(521121121111dBeHeHezzzzzzzzzzzHzeTAzHjstjj