彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上分析計(jì)算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。（1），；（2），；其中，A，B，C，D，E，F(xiàn)為常數(shù)。解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程；（2）在區(qū)域內(nèi)的相容方程；（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件；（4）對(duì)于多連體的位移單值條件。（1）此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F，D=-E。此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。（2）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)

2、力分量不可能存在。2、已知應(yīng)力分量，體力不計(jì)，Q為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)C1，C2，C3。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得由此解得，3、已知應(yīng)力分量，判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應(yīng)力分量，代入平衡微分方程可知，已知應(yīng)力分量，一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計(jì)時(shí)才滿足。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程：將已知應(yīng)力分量，代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程：將已知應(yīng)力分量，代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在。（1），；（2），；（

3、3），；其中，A，B，C，D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：（1）相容。（2）（1分）；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。（3）0=C；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：C=0，則，（1分）。5、證明應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為，對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊

4、，；右邊，。可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布?jí)毫Γ╞<0）的問題。6、證明應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為，對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，?？梢?，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布

5、面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長(zhǎng)堅(jiān)柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。Oxybqrg 解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)。由此可知 將上式對(duì)y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式 將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它），可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即， 這兩個(gè)方程要求， 代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對(duì)應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量為 以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，沿y方向無面力，所以有右邊，沿y方向的面力為

6、q，所以有上邊，沒有水平面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即將的表達(dá)式代入，并考慮到C=0，則有而自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即， 將的表達(dá)式代入，則有由此可得，應(yīng)力分量為, , 雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。證明：在體力為有勢(shì)力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，應(yīng)力分量，應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方

7、程（1分）還應(yīng)滿足相容方程（對(duì)于平面應(yīng)力問題）（對(duì)于平面應(yīng)變問題）并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（1分）。對(duì)于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個(gè)方程改寫為根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A（x，y），使得，同樣，將第二個(gè)方程改寫為（1分）可見也一定存在某一函數(shù)B（x，y），使得，由此得因而又一定存在某一函數(shù)，使得，代入以上各式，得應(yīng)力分量，為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)必須滿足一定的方程，將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問題的相容方程，得簡(jiǎn)寫為將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問題的相容方程，得簡(jiǎn)寫為9、如圖所

8、示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。Oxyarg解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為, , 這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，沒有水平面力，所以有對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見同時(shí)，該邊界上沒有豎直面力，所以有對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為，斜面，沒有面力，所以有由第一個(gè)方程，得對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求由第二個(gè)方程，得對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求（1分）由此解得（1分），從而應(yīng)力分量為, , 設(shè)三角形懸臂梁的長(zhǎng)為l，高為h，則。根據(jù)力的平

9、衡，固定端對(duì)梁的約束反力沿x方向的分量為0，沿y方向的分量為。因此，所求在這部分邊界上合成的主矢應(yīng)為零，應(yīng)當(dāng)合成為反力。可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角，下端作為無限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應(yīng)力分量。r2gr1gayxO解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意一點(diǎn)，每一個(gè)應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與成正比。此外，每一部分還與，x，y有關(guān)。由于應(yīng)力的量綱是L-1MT-2

10、，和的量綱是L-2MT-2，是量綱一的量，而x和y的量綱是L，因此，如果應(yīng)力分量具有多項(xiàng)式的解答，那么它們的表達(dá)式只可能是，四項(xiàng)的組合，而其中的A，B，C，D是量綱一的量，只與有關(guān)。這就是說，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長(zhǎng)度量綱高二次，應(yīng)該是x和y純?nèi)问剑虼?，假設(shè)相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為, , 這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。左面，作用有水平面力，所以有對(duì)左面的任意y值都應(yīng)成立，可見同時(shí)，該邊界上沒有豎直面力，所以有對(duì)左面的任意y值都應(yīng)成立，可見因

11、此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為，斜面，沒有面力，所以有由第一個(gè)方程，得對(duì)斜面的任意y值都應(yīng)成立，這就要求由第二個(gè)方程，得對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求由此解得，從而應(yīng)力分量為 , , 例題1平面問題中采用的四結(jié)點(diǎn)矩陣單元，如圖所示。該單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣是            采用的位移模式是   其中的系數(shù)1 8,由四個(gè)結(jié)點(diǎn)處的位移值,應(yīng)等于結(jié)點(diǎn)位移值i(i,j,m,p)的條件求出。         

12、;讀者試檢查其收斂性條件是否滿足？并估計(jì)位移和應(yīng)力的誤差量級(jí)。 例題2   平面問題中采用的六結(jié)點(diǎn)三角形單元，如圖所示。              該單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣為         其位移模式取為                v(x

13、,y)可以相似地表示。然后由六個(gè)結(jié)點(diǎn)處的條件求出1 6讀者試檢查其位移模式的收斂性，并估計(jì)其位移和應(yīng)力的誤差量級(jí)。 例題3   在空間問題中，采用的最簡(jiǎn)單的單元，是如圖所示的四結(jié)點(diǎn)四面體單元，其位移模式是           試考慮如何求出其系數(shù)1 4,并檢查位移模式的收斂性條件,并估計(jì)其位移和應(yīng)力的誤差量級(jí)。例題4  圖（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用 ，若取 = 0，t = 1，試用有限單元法求解跨中的位移。    

14、;           解：1.將圖(a)劃分網(wǎng)格，化為離散化結(jié)構(gòu)，如圖（b）所示。由于結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，可取 l/2 部分進(jìn)行分析，如圖（c）所示。2. 圖（c）中，只有兩個(gè)未知結(jié)點(diǎn)位移 v1, v2, 其余的結(jié)點(diǎn)位移均為零。未知的結(jié)點(diǎn)位移列陣是 = (v1  v2)T對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)荷載列陣是 3.下面我們直接來建立對(duì)應(yīng)于未知結(jié)點(diǎn)位移的平衡方程式，    4.對(duì)于三角形單元，按照結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)(i,j,m),結(jié)點(diǎn)力一般公式是  &

15、#160;  當(dāng)t = 1， = 0,且結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)如圖(d),(e)時(shí)，單元，的單元?jiǎng)哦染仃嚲鐣蠵.124式（g）所示。對(duì)于單元，結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)與整體編號(hào)的關(guān)系是i = 2,j = 3,m = 4,圖(d)將書中P.124式（g）的k和結(jié)點(diǎn)編號(hào)代入式（c），有            其中u2 = u3 = v3 = u4 = v4 = 0。由上式，得出I單元中FIy不存在，而      F2y = 0.25Ev2