數(shù)學(xué)建模-利潤(rùn)最大優(yōu)化

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上盈利最大化的產(chǎn)品生產(chǎn)方案 摘 要：本問題是一個(gè)優(yōu)化問題，它解決了大多數(shù)企業(yè)所面臨的在生產(chǎn)設(shè)備有限的情況下要實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化的問題。根據(jù)盈利Z=產(chǎn)品生產(chǎn)利潤(rùn)*生產(chǎn)數(shù)量，我們建立目標(biāo)函數(shù)，又因?yàn)楫a(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量又受有限生產(chǎn)設(shè)備的限制，所以得到約束條件：。用Lingo軟件，建立模型求解，我們得到：當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品、的件數(shù)分別為22.5、23.2、7.3時(shí)，利潤(rùn)可實(shí)現(xiàn)最大化為135.2667千元。在此基礎(chǔ)上，我們做靈敏性分析得到借用設(shè)備B每月60臺(tái)時(shí)是不合算的這一結(jié)論；對(duì)于問題（3）、（4）可以建立相類似模型，得到對(duì)于新產(chǎn)品，的投產(chǎn)在經(jīng)濟(jì)上是合算的；當(dāng)對(duì)產(chǎn)品工藝重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，改進(jìn)結(jié)構(gòu)，

2、相應(yīng)的生產(chǎn)產(chǎn)品、的件數(shù)分別為22.8、25.3、0時(shí)，利潤(rùn)可實(shí)現(xiàn)最大化為153.1618千元；我們對(duì)此問題做了引申，當(dāng)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品、為汽車、手機(jī)等必須以整件計(jì)數(shù)的產(chǎn)品時(shí)，即、只能取整數(shù)，我們?cè)趩栴}一建立的函數(shù)模型基礎(chǔ)上，加上限制條件，用Lingo求解得到了新的生產(chǎn)方案。問題一回答：建立函數(shù)模型，用Lingo求解得到了如下求解結(jié)果：產(chǎn)品種類生產(chǎn)數(shù)量22.523.27.3問題二回答：對(duì)問題一做靈敏性分析：租用設(shè)備B一臺(tái)時(shí)花費(fèi)是300元，由上面靈敏性分析表可得一個(gè)臺(tái)時(shí)的B設(shè)備的影子價(jià)格約為267元，也就是說(shuō)租用B設(shè)備一個(gè)臺(tái)時(shí)其能制造的利潤(rùn)為267元。很顯然成本高于利潤(rùn)，商家無(wú)利可圖而且還會(huì)造成虧損

3、。 問題三回答：調(diào)整生產(chǎn)產(chǎn)品種類后的生產(chǎn)方案為 產(chǎn)品種類生產(chǎn)數(shù)量26.7515.50013.75問題四回答：建立函數(shù)模型，用Lingo求解得到了求解結(jié)果如下表：產(chǎn)品種類生產(chǎn)數(shù)量22.825.30問題五回答：當(dāng)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品、為汽車、手機(jī)等必須以整件計(jì)數(shù)的產(chǎn)品時(shí)，即、只能取整數(shù)，我們?cè)趩栴}一建立的函數(shù)模型基礎(chǔ)上，加上限制條件，用Lingo求解得到了如下生產(chǎn)方案：產(chǎn)品種類生產(chǎn)數(shù)量24245關(guān)鍵詞：利潤(rùn)最大化；優(yōu)化問題；生產(chǎn)方案；靈敏性分析一、問題的提出知某工廠計(jì)劃生產(chǎn)、三種產(chǎn)品，各產(chǎn)品需要在A、B、C設(shè)備上加工，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：設(shè)備有效臺(tái)時(shí)（每月）A810300B1058400C21310420單位

4、產(chǎn)品利潤(rùn)（千元）322.9試回答：1. 如何發(fā)揮生產(chǎn)能力，使生產(chǎn)盈利最大？2. 若為了增加產(chǎn)量，可借用別的工廠設(shè)備B，每月可借用60臺(tái)時(shí)，租金1.8萬(wàn)元，借用設(shè)備B是否合算？ 3. 若另有兩種新產(chǎn)品、，其新產(chǎn)品需用設(shè)備A為12臺(tái)時(shí)、B為5臺(tái)時(shí)、C為10臺(tái)時(shí)，單位產(chǎn)品盈利2.1千元；新產(chǎn)品需設(shè)備A為4臺(tái)時(shí)、B為4臺(tái)時(shí)、C為12臺(tái)時(shí)，單位產(chǎn)品盈利1.87千元。如A、B、C的設(shè)備臺(tái)時(shí)不增加，這兩種新產(chǎn)品投產(chǎn)在經(jīng)濟(jì)上是否合算？4. 對(duì)產(chǎn)品工藝重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，改進(jìn)結(jié)構(gòu)。改進(jìn)后生產(chǎn)每件產(chǎn)品需用設(shè)備A為9臺(tái)時(shí)、B為12臺(tái)時(shí)、C為4臺(tái)時(shí)，單位產(chǎn)品盈利4.5千元，這時(shí)對(duì)原計(jì)劃有何影響？二、問題分析本問題是優(yōu)化模型

5、。我們所要解決的問題是在生產(chǎn)資料有限的情況下，牟求最大的利潤(rùn)。通過分析問題，根據(jù)總利潤(rùn)=生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量*單個(gè)產(chǎn)品利潤(rùn)，得到目標(biāo)函數(shù)，由于生產(chǎn)設(shè)備有限，找到約束條件，據(jù)此我們建立了函數(shù)模型，制定出了最優(yōu)生產(chǎn)方案。解決問題的關(guān)鍵 1.目標(biāo)函數(shù)的確立：由總利潤(rùn)=生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量*單個(gè)產(chǎn)品利潤(rùn)，得到目標(biāo)函數(shù)。2.找出約束條件：由于生產(chǎn)設(shè)備有限，所以各生產(chǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)量受設(shè)備的可用臺(tái)時(shí)的限制，據(jù)此得出生產(chǎn)的約束條件。3.建立函數(shù)模型求解：分析題目得到問題一、三、四，他們之間具有相似性，問題三、四是在問題一的基礎(chǔ)上改變了一些約束條件，因此可建立相似的函數(shù)模型用Lingo軟件進(jìn)行求解。4.分析結(jié)果：?jiǎn)栴}二的求解可通

6、過對(duì)問題一求解結(jié)果進(jìn)行靈敏性分析得到。三、模型假設(shè)1.假設(shè)工廠生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量只受A、B、C三種設(shè)備有限臺(tái)時(shí)的限制，不受原料、勞動(dòng)力等其他因素的限制；2.單位產(chǎn)品的利潤(rùn)不受市場(chǎng)因素而改變，其為定值；四、符號(hào)說(shuō)明分別表示產(chǎn)品、的數(shù)量；，單位產(chǎn)品的利潤(rùn)；，機(jī)器每月的有效臺(tái)時(shí)；表示機(jī)器在生產(chǎn)單位的產(chǎn)品所需的有效臺(tái)時(shí)。五、模型建立與求解一、問題一的回答 本問題是要解決在生產(chǎn)設(shè)備有限的條件下，實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)利潤(rùn)最大化這一問題。我們知道總盈利=單位產(chǎn)品利潤(rùn)*生產(chǎn)數(shù)量，所以我們建立了目標(biāo)函數(shù)，又由于生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量又受A、B、C三種設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)的影響，因此我們又建立了約束條件： ，只有滿足約束條件的情況下，才能

7、使取最大值，即實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。設(shè)為生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量，為產(chǎn)品的單位利潤(rùn)，表示機(jī)器在生產(chǎn)單位的產(chǎn)品所需的有效臺(tái)時(shí)，為機(jī)器每月的有效臺(tái)時(shí)。模型如下：用LINGO求解模型得到結(jié)果： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 135.2667 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 22. 0. X2 23. 0. X3 7. 0.所以我們得到結(jié)果，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品、的件數(shù)分別為22.5、23.2、7.3時(shí)，利潤(rùn)可實(shí)現(xiàn)最大化為135.2667千元。二、問題二的回答在問題一的求解基礎(chǔ)上做靈敏性分析：Row Slack or Surplus Dual Price1 135.2667 1

8、.2 0. 0.E-013 0. 0.4 0. 0.E-01由題干知每月借用設(shè)備B為60臺(tái)時(shí)，租金1.8萬(wàn)元，即租用設(shè)備B一臺(tái)時(shí)花費(fèi)是300元，由上面靈敏性分析表可得一個(gè)臺(tái)時(shí)的B設(shè)備的影子價(jià)格約為267元，也就是說(shuō)租用B設(shè)備一個(gè)臺(tái)時(shí)其能制造的利潤(rùn)為267元。很顯然成本高于利潤(rùn)，商家無(wú)利可圖而且還會(huì)造成虧損。三、問題三的回答當(dāng)新增加兩種產(chǎn)品時(shí)，我們建立一個(gè)與問題一類似的模型求解，模型程序如下：用LINGO求解模型得到結(jié)果：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 136.9625 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 26. 0. X2 15. 0. X3 0.

9、0. X4 0. 0. X5 13. 0.所以我們得到結(jié)果，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品、的件數(shù)分別為26.75、15.5、0、0、13.75時(shí)，利潤(rùn)可實(shí)現(xiàn)最大化為136.9625千元。四、問題四的回答 對(duì)產(chǎn)品工藝重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，改進(jìn)結(jié)構(gòu)，改進(jìn)后生產(chǎn)每件產(chǎn)品需用設(shè)備A為9臺(tái)時(shí)，設(shè)備B為12臺(tái)時(shí)，設(shè)備C為4臺(tái)時(shí)，單位產(chǎn)品盈利4.5千元，相應(yīng)地我們可以建立如下模型：用LINGO求解模型得到結(jié)果：Global optimal solution found. Objective value: 153.1618 Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1

10、22.79412 0.X2 25.29412 0.X3 0. 0.Row Slack or Surplus Dual Price1 153.1618 1.2 44.26471 0.3 0. 0.4 0. 0.E-01所以我們得到結(jié)果，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品、的件數(shù)分別為22.8、25.3、0時(shí)，利潤(rùn)可實(shí)現(xiàn)最大化為153.1618千元。五、問題五的回答當(dāng)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品、為汽車、手機(jī)等必須以整件計(jì)數(shù)的產(chǎn)品時(shí)，即、只能取整數(shù)，我們?cè)趩栴}一建立的函數(shù)模型基礎(chǔ)上，加上限制條件，得到模型如下：model:max=3*x1+2*x2+2.9*x3;8*x1+2*x2+10*x3<300;10*x1+5*x2+8*

11、x3<400;2*x1+13*x2+10*x3<420;GIN(X1);GIN(X2);GIN(X3);end求解得到： Global optimal solution found. Objective value: 134.5000 Extended solver steps: 6 Total solver iterations: 29Variable Value Reduced CostX1 24.00000 -3.X2 24.00000 -2.X3 5. -2.此時(shí)我們得到結(jié)果，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品、的件數(shù)分別為24、24、5時(shí)，利潤(rùn)可實(shí)現(xiàn)最大化為134.5千元。六、誤差分析在實(shí)際生產(chǎn)

12、中，生產(chǎn)的限制條件不僅僅是有限的設(shè)備，也有可能是生產(chǎn)原料、勞動(dòng)力等其他的外在因素，同時(shí)，單位產(chǎn)品的利潤(rùn)也許受市場(chǎng)因素的限制，故而此方案再投入實(shí)際生產(chǎn)時(shí)須多加入一些此類限制條件。七、模型推廣對(duì)問題一的進(jìn)一步的討論在實(shí)際生產(chǎn)中，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品、可能為汽車、手機(jī)等必須以整件計(jì)數(shù)的產(chǎn)品，即、只能取整數(shù)時(shí)，我們可以對(duì)問題一的模型求解結(jié)果加以限制，重新用Lingo求解得到與實(shí)際情況更為貼切的求解結(jié)果。八、模型的應(yīng)用本模型可用于生產(chǎn)廠家由于受有限的生產(chǎn)資料、勞動(dòng)力、有限設(shè)備等其它因素的限制的情況，制定生產(chǎn)方案，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。九、模型評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)：可行性強(qiáng)，生產(chǎn)廠家在制定生產(chǎn)方案時(shí)，均可套用此模型得出最優(yōu)

13、方案。模型的缺點(diǎn)：模型建立時(shí)考慮到的約束條件過于單一，在實(shí)際生產(chǎn)中，還有可能受到自然條件、原材料、勞動(dòng)力等因素的限制。因此，在運(yùn)用此模型時(shí)，我們可以加入這些約束條件，從而得到更為完善的生產(chǎn)方案。十、參考文獻(xiàn)1 趙靜，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，高等教育出版社（第3版）2 趙臨龍，全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，高職高專大學(xué)生獲獎(jiǎng)?wù)撐狞c(diǎn)評(píng)，（2002-2006年），中國(guó)人民大學(xué)出版社 十一、附 錄問題一的靈敏性分析：Row Slack or Surplus Dual Price1 135.2667 1.2 0. 0.E-013 0. 0.4 0. 0.E-01RANGES IN WHICH THE BASIS IS

14、UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 3. 0. 1. X2 2. 0. 0. X3 2. 1. 0. RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 300. 165. 36. 3 400. 44. 122. 4 420. 397. 220.上面輸出給出了最優(yōu)基不變條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許變化范圍：的系數(shù)為（3-1.,3+0.）；的系數(shù)為（2