曲邊梯形的面積（陶玲）

1、每條邊都是直線段直邊圖形 將不規(guī)則的圖形將不規(guī)則的圖形“分割分割”得到得到熟悉的圖形，從而求出它的面積。熟悉的圖形，從而求出它的面積。通過(guò)通過(guò)“以直代曲以直代曲”、“無(wú)限逼近無(wú)限逼近”的的思想研究圓的面積。思想研究圓的面積。 在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直，直線線x=a、x=b及及x x軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。曲邊梯形曲邊梯形：Ox y a b y=f (x)x=ax=b 直線直線x x 0 0、x x 1 1、y y 0 0及曲線及曲線y y x x2 2所所 圍成的圖形面積圍成的圖形面積S S是多少？是多少？1 1Oyx

2、Oyx2xy 能否直接對(duì)整能否直接對(duì)整個(gè)曲邊梯形進(jìn)行個(gè)曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲以直代曲”？探究探究 誤差太大誤差太大! !怎樣怎樣才能減少誤差呢？才能減少誤差呢？1 1OyxOyx2xy 4121431 1OyxOyx2xy A1A2A3A381874121838543過(guò)剩近似過(guò)剩近似1 1OyxOyx2xy A1A2A381874121838543不足近似不足近似1 1OyxOyx2xy nini 1n2n1例例: :直線直線x x 0 0、x x 1 1、y y 0 0及曲線及曲線y y x x2 2所圍成的圖所圍成的圖形面積形面積S S是多少？是多少？第一步：分割第一步：分割在區(qū)間在區(qū)間0

3、0，11上等間隔地插入上等間隔地插入n-1n-1個(gè)點(diǎn)，將它個(gè)點(diǎn)，將它等分成等分成n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間：,1 ,1 ,2,1,1, 0nnnnnininnn 過(guò)上述過(guò)上述n-1n-1個(gè)分點(diǎn)作個(gè)分點(diǎn)作x x軸的垂線，從軸的垂線，從而得到而得到n個(gè)小曲邊梯形。面積記為個(gè)小曲邊梯形。面積記為.S,S,S,Sni21 1 1OyxOyx2xy nini 1n2n1例例: :直線直線x x 0 0、x x 1 1、y y 0 0及曲線及曲線y y x x2 2所圍成的圖所圍成的圖形面積形面積S S是多少？是多少？第二步：近似代替：第二步：近似代替：,n1)n1i(n1)n1i(fS2i,n1)0(n1)0

4、(fS21,n1)n1(n1)n1(fS22,n1)n2(n1)n2(fS23,n1)n1n(n1)n1n(fS2n第三步：求和第三步：求和nini 1n2n11 1Oyxyx2xy 公式公式6)12n(1)n-(n)1-(n21222 nninnifnini1)1(1)1(21122223) 1(2101nnnnnnnnn1)1(1)1(1)0(222nS公式公式) 1n(210n1S22223 n232336121316326) 12n(n) 1n(1nnnnnnn6)12n(1)n-(n)1-(n21222 nini 1n2n11 1Oyxyx2xy 2612131nnSn例例: :直線

5、直線x x 0 0、x x 1 1、y y 0 0及曲線及曲線y y x x2 2所圍成的圖所圍成的圖形面積形面積S S是多少？是多少？nini 1n2n11 1Oyxyx2xy nS31S31)612131(limn2所以時(shí)，當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即nnSSSnn第四步：取極限第四步：取極限例例: :直線直線x x 0 0、x x 1 1、y y 0 0及曲線及曲線y y x x2 2所圍成的圖所圍成的圖形面積形面積S S是多少？是多少？nini 1n2n11 1Oyxyx2xy .31梯形的面積是即所求的曲邊 1 1、類比練習(xí)：、類比練習(xí)：以區(qū)間以區(qū)間 右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為矩形的高進(jìn)行

6、近似代替，求曲邊的函數(shù)值為矩形的高進(jìn)行近似代替，求曲邊梯形的面積梯形的面積S S?？纯催@個(gè)值還是?？纯催@個(gè)值還是 嗎？嗎？6)12n(1)n(nn21222 形成方法，學(xué)以致用形成方法，學(xué)以致用31nini 1n2n11 1OyxOyx2xy ,1nini 解：解：第一步：分割第一步：分割第二步：近似代替：第二步：近似代替：,n1)ni(n1)ni(fS2i 在區(qū)間在區(qū)間00，11上等間隔地插入上等間隔地插入n-1n-1個(gè)點(diǎn)，將它個(gè)點(diǎn)，將它 等分成等分成n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間：,1 ,1 ,2,1,1, 0nnnnnininnn 過(guò)上述過(guò)上述n-1n-1個(gè)分點(diǎn)作個(gè)分點(diǎn)作x x軸的垂線，從而得到軸

7、的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊個(gè)小曲邊梯形。面積記為梯形。面積記為.S,S,S,Sni21 第三步：求和第三步：求和3222n1i2nn21 n1)ni(S n232336121316326)12n)(1n(1nnnnnnnn31)612131(lim2nnSn第四步：取極限第四步：取極限22612131nnS216121-31nnS31)612131(limlim21nnSnn31)612131(limlim22nnSnn取極限取極限21SS 不足近似不足近似過(guò)剩近似過(guò)剩近似思考：思考：能求出曲邊梯形的面能求出曲邊梯形的面積積S S的值嗎？這個(gè)值還是的值嗎？這個(gè)值還是 嗎？嗎？1,iiinn(

8、)if311 1OyxOyx2xy inini 1niffnifi)()1(231sss31limlimlim231SSSSnnn2 2、計(jì)算、計(jì)算（1 1）由直線）由直線 x x 0 0，x x 2 2，y y 0 0與曲線與曲線y y x x2 2所所 圍成的曲邊梯形的面積。圍成的曲邊梯形的面積。形成方法，學(xué)以致用形成方法，學(xué)以致用（2 2）由直線）由直線 x x - -1 1，x=1,yx=1,y 0 0與曲線與曲線 y y - -x x2 2+1+1所圍成的曲邊梯形的面積。所圍成的曲邊梯形的面積。小小 結(jié)結(jié): 2.2.解決問(wèn)題的過(guò)程中，用到了哪些數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的過(guò)程中，用到了哪些數(shù)學(xué)思想

9、？思想？ 1.1.經(jīng)歷了探求特殊的曲邊梯形面積的經(jīng)歷了探求特殊的曲邊梯形面積的過(guò)程，我們?cè)撊绾斡?jì)算一般的曲邊梯形過(guò)程，我們?cè)撊绾斡?jì)算一般的曲邊梯形的面積？的面積？分割分割近似代替近似代替求和求和取極限取極限 “以直代曲以直代曲” “” “無(wú)限逼近無(wú)限逼近”3.3.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？2 2、求由直線、求由直線x x 1 1、x x 3 3、 y y 1+1+x x2 2及及x x軸所圍軸所圍成的曲邊梯形的面積。成的曲邊梯形的面積。作業(yè)布置作業(yè)布置: :直直線線x x 0 0、x x 1 1、y y 0 0及曲線及曲線y y x x2 2所圍成的圖形所圍成的圖形面積面積S S，看，看這個(gè)值還是三分之一這個(gè)值還是三分之一 嗎？嗎？,1nini 2 2、求由直線、求由直線x x 1 1、x x 3 3、 y y 1+ 1+ x x2 2及及x x軸所圍軸所圍成的曲邊梯形的面積。成的曲邊梯形的面積。作業(yè)布置作業(yè)布置: :直直線線x