選修 22 知識(shí)點(diǎn) 教案

1、2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、 基礎(chǔ)知識(shí)【理解去記】1極限定義：（1）若數(shù)列un滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)m，當(dāng)n>m且nN時(shí)，恒有|un-A|<成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。2極限的四則運(yùn)算：如果f(x)=a,g(x)=b，那么f(x)±g(x)=a±b,f(x)g(x)=ab,3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)

2、，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。4最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量x時(shí)（x充分小），因變量y也隨之取得增量y(y=f(x0+x)-f(x0).若存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0

3、)處切線的斜率。6【必背】八大常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）=0（c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）7導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)0,則（1）；（2）；（3）（c為常數(shù)）；（4）；（5）。8*【必會(huì)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且（f(x)=.9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對(duì)一切x(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（3）若對(duì)一切x(a,b

4、)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。10極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-,x0+)內(nèi)可導(dǎo)，（1）若當(dāng)x(x-,x0)時(shí)，當(dāng)x(x0,x0+)時(shí)，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當(dāng)x(x0-，x0)時(shí)，當(dāng)x(x0,x0+)時(shí)，則f(x)在x0處取得極大值。12極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-,x0+)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且。（1）若，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若，則f(x)在x0處取得極大值。13【了解】羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上連

5、續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在(a,b)，使證明 若當(dāng)x(a,b)，f(x)f(a)，則對(duì)任意x(a,b)，.若當(dāng)x(a,b)時(shí)，f(x)f(a)，因?yàn)閒(x)在a,b上連續(xù)，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一個(gè)不等于f(a)，不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則c(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。二、基礎(chǔ)例題【必會(huì)】1極限的求法。例1 求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）=；（2）當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)0<a<1時(shí)， 當(dāng)a=1時(shí)，（3）因?yàn)槎裕?）例2 求下列極限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+

6、)(|x|<1)；（2）；（3）。解 （1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)=（2）=（3）=2連續(xù)性的討論。例3 設(shè)f(x)在(-,+)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當(dāng)x0,1)時(shí)，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。解 當(dāng)x0,1)時(shí)，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當(dāng)x1,2)時(shí)，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因?yàn)閠-10,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t1,2)時(shí),有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，當(dāng)

7、x1,2)時(shí)，令x+1=t，則當(dāng)t2,3)時(shí)，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以 所以 ，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。3利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。解 因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因?yàn)榇饲芯€過點(diǎn)（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0.4導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。例5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x>0且)。解

8、（1）3cos(3x+1).(2)（3）（4）（5）5用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例6 設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的單調(diào)區(qū)間。解 ，因?yàn)閤>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0.（1）當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+)內(nèi)遞增；（3

9、）當(dāng)0<a<1時(shí)，令，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-<x<2-a+時(shí)，x2+(2a-4)x+a2<0，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)內(nèi)單調(diào)遞減。6利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。例7 設(shè)，求證：sinx+tanx>2x.證明 設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)?<cosx<1），所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f(x)在上連續(xù)，所以f(x)在上單調(diào)遞

10、增，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x.7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。例8 設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時(shí)f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。解 因?yàn)閒(x)在(0,+)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，所以f(x)在(0,1上遞減；當(dāng)x(1,2)時(shí)，所以f(x)在1，2上遞增；當(dāng)x(2,+)時(shí)，所以f(x)在2，+）上遞減。綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。例9 設(shè)x0,y0,1，

11、試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解 首先，當(dāng)x0,y0,1時(shí)，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx>0,tanx>x，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；又因?yàn)間(x)在(0,)上連續(xù)，所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞減。又因?yàn)?<(1-y)x<x<，所以g(1-y)x>g(x)，即，又因?yàn)?，所以?dāng)x(0,),y(0,1)時(shí)，f(x,y)>0.其次，當(dāng)x=0時(shí)，f

12、(x,y)=0；當(dāng)x=時(shí)，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx0.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=且y=1時(shí)，f(x,y)取最小值0。三、趨近高考【必懂】這些高考題取自2009-2011年各個(gè)熱門省市，同學(xué)一定重視，在此基礎(chǔ)上，我會(huì)對(duì)這些高考題作以刪減，以便同學(xué)在最短時(shí)間內(nèi)理解明白！1.（2009全國卷理） 已知直線y=x+1與曲線相切，則的值為( )A.1 B. 2 C.-1 D.-2答案 B解:設(shè)切點(diǎn)，則,又.故答案 選B2.（2009安徽卷理）已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是( )

13、A. B. C. D.答案 A解析 由得幾何，即，切線方程，即選A3.（2009江西卷文）若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則等于( )A或 B或C或 D或答案 A解析 設(shè)過的直線與相切于點(diǎn)，所以切線方程為即，又在切線上，則或，當(dāng)時(shí)，由與相切可得，當(dāng)時(shí)，由與相切可得，所以選.4.（2009遼寧卷理）若滿足2x+=5,滿足2x+2(x1)=5,+( )A. B.3 C. D.4答案 C解析 由題意 所以, 即2 令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1)52t2log2(t1)與式比較得tx2 于是2x172x25.（2009天津卷理）設(shè)函數(shù)則( )A在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn)

14、。 B在區(qū)間內(nèi)均無零點(diǎn)。C在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)。D在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。解析：由題得，令得；令得；得，故知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，在點(diǎn)處有極小值；又，故選擇D。6.若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解析 由題意該函數(shù)的定義域，由。因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，故此時(shí)斜率為，問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)。解法（分離變量法）上述也可等價(jià)于方程在內(nèi)有解，顯然可得7.(2009陜西卷理)設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,令，則的值為 .答案 -28（2010.全國1文）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】：，由得，即或；由得即，所以函

15、數(shù)單調(diào)增區(qū)間是，；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是。由恒成立，大于的最大值。當(dāng)時(shí)，(1)當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以；(2)當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以；(3)當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以；因?yàn)?，從而第二?推理與證明本章只需重視綜合法、分析法、反證法的特點(diǎn)。及數(shù)學(xué)歸納法的掌握！一、基礎(chǔ)知識(shí)【理解去記】綜合法：“執(zhí)因?qū)Ч?分析法“執(zhí)果導(dǎo)因” 反證法:倒著推【不?？肌繗w納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點(diǎn)：特殊一般.不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法 完全歸納法: 把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情

16、況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)(，)時(shí)命題成立，證明當(dāng)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)(，)時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于的正整數(shù)，命題都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：證明：當(dāng)

17、取第一個(gè)值結(jié)論正確；假設(shè)當(dāng)(，)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確由，可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)都正確.數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可；證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)，二湊目標(biāo).二、基礎(chǔ)例題【必會(huì)】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明，一是要切實(shí)理解原理，二是嚴(yán)格按步驟進(jìn)行，格式要規(guī)范，從n=k到n=k+1時(shí)一定要用歸納假設(shè)，否則不合理。用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2.證明點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)n=k+1也成立時(shí)，證明不等式的常用方法，如比較法、分析法、綜合法均

18、要靈活運(yùn)用，在證明的過程中，常常利用不等式的傳遞性對(duì)式子放縮建立關(guān)系。同時(shí)在數(shù)學(xué)歸納法證明不等式里應(yīng)特別注意從n=k到n=k+1過程中項(xiàng)數(shù)的變化量，容易出錯(cuò)。用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí)，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩下的式子也能被某式（或數(shù)）整除，拼湊式關(guān)鍵。第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)【理解去記】1復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,bR）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。2復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任

19、意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,bR），a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見圖15-1，連接OZ，設(shè)xOZ=,|OZ|=r，則a=rcos,b=rsin,所

20、以z=r(cos+isin)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cos+isin)，則稱為z的輻角。若0<2，則稱為z的輻角主值，記作=Arg(z). r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用ei表示cos+isin，則z=rei，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。3共軛與模，若z=a+bi，（a,bR）,則a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）|z1|-|z2|z1±z2|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則。4復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）按代數(shù)形式

21、運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，則z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；若cos(1-2)+isin(1-2)，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(1+2),5.【部分省市考】棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn).6.開方：若r(cos+isin)，則，k=0,1,2,n-1。7單位根：若wn=1，則稱w為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根，記Z1

22、=，則全部單位根可表示為1,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,n-1）：（1）對(duì)任意整數(shù)k，若k=nq+r,qZ,0rn-1，有Znq+r=Zr；（2）對(duì)任意整數(shù)m，當(dāng)n2時(shí)，有=特別1+Z1+Z2+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+x+1=(x-Z1)(x-Z2)(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)(x-).8.復(fù)數(shù)相等的充要條件：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等；（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等9復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z0）.10.代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。11實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元

23、n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+bi(b0)是方程的一個(gè)根，則=a-bi也是一個(gè)根。12若a,b,cR,a0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)=b2-4ac<0時(shí)方程的根為二、基礎(chǔ)例題【必會(huì)】1模的應(yīng)用。例1 求證：當(dāng)nN+時(shí)，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。證明 若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化簡(jiǎn)得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。例2 設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對(duì)一切|z|=1，有|f(z

24、)|=1，求a,b的值。解 因?yàn)?=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號(hào)成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個(gè)向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.復(fù)數(shù)相等。例3 設(shè)R，若二次方程(1-i)x2+(+i)x+1+i=0有兩個(gè)虛根，求滿足的充要條件。解 若方程有實(shí)根，則方程組有實(shí)根，由方程組得(+1)x+1=0.若=-1，則方程x2-x+1=0中<0無實(shí)根，所以

25、-1。所以x=-1, =2.所以當(dāng)2時(shí)，方程無實(shí)根。所以方程有兩個(gè)虛根的充要條件為2。3三角形式的應(yīng)用。例4 設(shè)n2000,nN，且存在滿足(sin+icos)n=sinn+icosn，那么這樣的n有多少個(gè)？解 由題設(shè)得，所以n=4k+1.又因?yàn)?n2000，所以1k500，所以這樣的n有500個(gè)。4*【?？肌慷?xiàng)式定理的應(yīng)用。例5 計(jì)算：（1）；（2）解 (1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100= =)+()i，比較實(shí)部和虛部，得=-250，=0。5復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。例6 以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作ABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)

26、向外作等腰直角ABM、等腰直角ACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。證明 設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)A，M，N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：，由+得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。例7 設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：ABAD+BCADACBD。證明 用A，B，C，D表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因?yàn)閨A-B|C-D|+|B-C|A-D|(A

27、-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|C-D|+|B-C|A-D|A-C|B-D|, “=”成立當(dāng)且僅當(dāng)，即=，即A，B，C，D共圓時(shí)成立。不等式得證。6復(fù)數(shù)與軌跡。例8 ABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且|BC|=2，求ABC的外心軌跡。解設(shè)外心M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,yR)，B，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得所以ABC的外心軌跡是軌物

28、線。7復(fù)數(shù)與三角。例9 已知cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求證：cos2+cos2+cos2=0。證明 令z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，則z1+z2+z3=0。所以又因?yàn)閨zi|=1,i=1,2,3.所以zi=1，即由z1+z2+z3=0得又所以所以cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0.所以cos2+cos2+cos2=0。例10 求和：S=cos200+2cos400+18cos18×200.解 令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+18s

29、in18×200,則S+iP=w+2w2+18w18. 由×w得w(S+iP)=w2+2w3+17w18+18w19，由-得(1-w)(S+iP)=w+w2+w18-18w19=，所以S+iP=，所以8復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式。例11 已知f(z)=c0zn+c1zn-1+cn-1z+cn是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c00).求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)z0,|z0|1，并且|f(z0)|c0|+|cn|.證明 記c0zn+c1zn-1+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0ei=0為n次方程，其必有n個(gè)根，設(shè)為z1,z2,zn，從而g(z)-c0ei=(z-

30、z1)(z-z2)(z-zn)c0，令z=0得-c0ei=(-1)nz1z2znc0，取模得|z1z2zn|=1。所以z1,z2,，zn中必有一個(gè)zi使得|zi|1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0ei=cn，所以|f(zi)|=|c0ei+cn|=|c0|+|cn|.9.單位根的應(yīng)用。例12 證明：自O(shè)上任意一點(diǎn)p到正多邊形A1A2An各個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。證明 取此圓為單位圓，O為原點(diǎn)，射線OAn為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)設(shè)為，則頂點(diǎn)A2A3An對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為2，3，n.設(shè)點(diǎn)p對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z,則|z|=1,且=2n-=2n-命題得證。10復(fù)數(shù)與幾何。例13 如圖1

31、5-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)P，使得PAB，PCD都是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)Q，使得QBC，QDA也都是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。證明 以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，則C-Q=i(B-Q)，則BCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。例14 平面上給定A1A2A3及點(diǎn)p0，定義As=As-3,s4，構(gòu)造點(diǎn)列p0,p1,p2,使得pk+1為繞中心Ak+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200時(shí)pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,若p1986=p0.證明：A1A2A3為等邊三角形。證明 令u=，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1-up0,p2=(1+u)A2-up1,p3=(1+u)A3-up2,×u2+×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2