一元函數(shù)積分知識(shí)點(diǎn)

1、一元函數(shù)積分相關(guān)問題前言：考慮到學(xué)習(xí)的效率問題， 我在本文獻(xiàn)中常常會(huì)讓一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在分隔比較遠(yuǎn)的地方出現(xiàn)兩次。 這種方法可以讓你在第二次遇到同樣的知識(shí)點(diǎn)時(shí)順便復(fù)習(xí)下這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)第二次出現(xiàn)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)問題會(huì)稍微升華點(diǎn)，不做無用的重復(fù)。一.考查原函數(shù)與不定積分的概念和基本性質(zhì)講解：需要掌握原函數(shù)與不定積分的定義、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系，知道求不定積分與求微分是互逆的關(guān)系，理解不定積分的線性性質(zhì)。問題1:若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx,則所有可能成為f(x)的原函數(shù)的函數(shù)是。二.考查定積分的概念和基本性質(zhì)講解：需要掌握定積分的定義與幾何意義，了解可積的充分條件和必要條件，掌握定積分的基本性質(zhì)。定積分

2、的基本性質(zhì)有如下七點(diǎn)：1、線性性質(zhì)2、對(duì)區(qū)間的可加性3、改變有限個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值不會(huì)改變定積分的可積性與積分值4、比較定理(及其三個(gè)推論)5、積分中值定理6、連續(xù)非負(fù)函數(shù)的積分性質(zhì)d7、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，若在a,b的任意子區(qū)間c,d上總是有f(x)dx=0,則當(dāng)cxWa,b時(shí)，f(x)三0問題2:22,、,一設(shè)M=(sin(sinx)dx,N=&cos(cosx)dx,則有()(A) M：1：N(B) M二N：二1(C) N二M：二1(D) 1:二M:二N三.考查一元函數(shù)積分的基本定理講解：需要掌握變限定積分函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性、原函數(shù)存在定理、不定積分與變限積bf(x)dxanlimn:

3、=idf(a，i(ba)bannbf(x)dxanlim(i-1)(b-a)b-af(a)-問題5:n求w=lim”i 二一i1+intan-n2ni六.考察基本積分表講解：需要掌握基本初等函數(shù)的積分公式。七.考察分項(xiàng)積分方法分的關(guān)系，了解初等函數(shù)在定義域內(nèi)一定存在原函數(shù)但不一定能積出來，需要重點(diǎn)掌握牛頓萊布尼茲公式及其推廣。其中變限積分的求導(dǎo)方法為：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，邛(x)和(x)在依，P上可導(dǎo)，當(dāng)xwa,P時(shí)，：(x)a4中(x)W(x)b,則y=)f(t)dt在,P上可以對(duì)x求導(dǎo)，且型=f(x):(x)-f(1-(x)1-(x)dx牛頓萊布尼茲定理為：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，

4、F(x)是f(x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則bf(x)dx=F(b)-F(a)a問題3:ln(x1)t已知f(x)=Vtedt,求f(x)(x之0)2x四.考查奇偶函數(shù)和周期函數(shù)的積分性質(zhì)講解：需要掌握對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分性質(zhì)、周期函數(shù)的積分性質(zhì)，學(xué)會(huì)用性質(zhì)化簡積分。問題4:2.2二設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，ff(cosx)dx=A,則I=f(cosx)dx=五.利用定積分的定義求某些數(shù)列極限講解：需要掌握把某些和項(xiàng)數(shù)列和積項(xiàng)數(shù)列求極限的問題轉(zhuǎn)化為求解定積分的方法。關(guān)鍵是確定被積函數(shù)、積分區(qū)間及區(qū)間的分點(diǎn)。常見的情形有：講解：利用不定積分(定積分)線性性質(zhì)把復(fù)雜函數(shù)分解成幾個(gè)簡單函數(shù)的和

5、，再求積分。問題6:求下列不定積分：,21cosx,dx1cos2x八.考察定積分的分段積分方法講解：利用定積分的區(qū)間可加性把復(fù)雜的區(qū)間分解成幾個(gè)簡單區(qū)間的和，再求積分。問題7:計(jì)算以下定積分：_2(x1)min0.5,cosx)dx一2九.考察不定積分的分段積分方法講解：有時(shí)被積函數(shù)是用分段函數(shù)的形式表示的，這時(shí)應(yīng)該采用分段積分法。問題8:，x2,0 x1設(shè)函數(shù)f(x)=)，求ff(x)dx(0 x2),2-x,1x2十.考察不定積分的湊微分方法(第一換元法)講解：湊微分方法的具體過程為如下：設(shè)ff(u)du=F(u)+C,且函數(shù)中(x)可導(dǎo)，則jf(%x)用(x)dx=JfW(x)d(中(

6、x)=FW(x)+C。若jf(中(x)(x)dx不好求，而Jf(u)du好求，則可以采用這種方法。需要注意的是通常碰到的問題是求出(x)dx，其中中(x)并未表達(dá)為f(中(x)中(x)的形式,這時(shí)我們需要根據(jù)中(x)的特點(diǎn)選擇適合的中(x)。問題9：求下列不定積分：secxdx十一.考察不定積分與定積分的第二換元法講解：需要掌握不定積分與定積分第二換元法的定理，掌握常見的變量替代。和第一換元法相反，若Jf(u)du不好求，而Jf(中(x)5(x)dx好求，則可以采用這種方法，關(guān)鍵是如何選擇變量替換。這些我在后面介紹。十二.常用變量替換一：三角函數(shù)替換nnu=atant（一ct一）22222B-

7、4AC當(dāng)4AC-B20,令a2=4A冗u=asect（0wtWn且t一）22.若A022-B4AC-BBV-Ax+-Tl+,令u=vAx+,=2.-A4A2h-A224AC-B一2顯然此時(shí)4ACB0（否則被積函數(shù)無意義），令a=，則-Ax+Bx+C可4A22.化成va-u，此時(shí)令u=asint（-t0_24AC-B+-4A當(dāng)4AC-B20,令a2=4AC-B24A,則jAx2+Bx+C可化成Vu2+a2,此時(shí)令,則dAx2+Bx+C可化成du2a2,此時(shí)令則其可化成講解：哥函數(shù)替換常用于被積函數(shù)中含有對(duì)于第一個(gè)可令n/ax+b=t,則xtn-ba則其可化成B22.A求下列不定積分：xb-dtn

8、b-一，再轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)積分。ct-a對(duì)于第二個(gè)可令axbn=t,則x，cxd如果被積函數(shù)中同時(shí)含有(ax+b產(chǎn)(ax+b)。，(ax+b)其中a,P,八是分?jǐn)?shù),則令maxbb=t，其中m是口，P,1分母的最小公倍數(shù)。問題11:求下列不定積分：dxYi+3/x艮十四.常用變量替換三：指數(shù)函數(shù)替換講解：當(dāng)被積函數(shù)含有ex或ax時(shí)，可考慮采用這種替換方法(t=ex,t=ax)問題12：求下列不定積分：dx.ex1.ex-1十五.常用變量替換四：倒替換1講解：當(dāng)被積函數(shù)的分母最高次數(shù)高于分子的最高次數(shù)時(shí)，有時(shí)可以考慮倒替換(t=)x問題13:求下列定積分：312dx1x、3x2-2x-1十六.考察不

9、定積分和定積分的分部積分法講解：需要掌握不定積分和定積分的分部積分法，并會(huì)用分部積分法推導(dǎo)遞推公式不定積分的分部積分法則為：假定u=u(x)與v=v(x)均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則Juvdx=uv-jvudx(或?qū)懗蒍udv=uv-Jvdu)定積分的分部積分法則為：若u(x)與v(x)在a,b上連續(xù),則分部積分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)原則u和v,選取的原則一般為：v容易積分，Jvdu比Judv容buvdx=uva一(vudx(或?qū)懗蒩3一1vdu)積計(jì)算。問題14:JIJI求In=jsinnxdx和Jn=cosnxdx(n=0,1,2)十七.考察有理函數(shù)的積分講解：有理函數(shù)可以分解成多項(xiàng)式和真分式之和。積分

10、的關(guān)鍵是求真分式的積分。設(shè)有真分式R(x)=(5。首先將Q(x)因式分解，若分解后含有因子(x-a)n1,Q(x)2(要求p-4q0)(按照高等代數(shù)的知識(shí)，一定可以分解成不超過二次的因式則采用待定系數(shù)法將R(x)分解為A1,1A,2x-4(x-a1)2A,n(x-A)n1A2,1A2,2x-a2(x-a2)Ai1x-aiBI,IX，G,IA,2(x-a)2A2,n2(x-a2)n2A,n(x-aTB1,2XC1,2x2,2、PIXq(xpxq1)B2,IXC2,1B2,2XC2,22,2、xp2xq2(xp2xq2)Bmx.C1m1,mM,111(x2PIXq)m1B2,m2XC2,m2Bj,

11、2xCj,2Bj,2xCj,2(x2P2Xq2)m2.Bj,mxCj,mjx2PjXqj(x2PjXqj)2(x2PjXqj)mj此時(shí)只含有四類積分：(D為任意常數(shù))(1)A.1_dx=Aln nxa+Dx-a(2)AAfdx=-7+D(m01)mm-4(x-a)(m-1)(x-a)(3)2BXCdx=Bxpxq2lnx2+px+q-2c二嗎arctan2x二嗎D4q-p24q-p2BxC(x2pxq),Bdx=1：m2(m-1)(x2pxq廣(C號(hào)).(x2pxq)mdx(x2)2(xaj,(x2+px+q)m1,(x2+p2x+q2)m2,2、mj(xPjXqj),dxp4q-p其中2m可

12、令t=x+t,a=-(x2pxq)m222dx一則_dL(t2a2再利用分部積分法得到遞推公式求解。 問題15:按照自己喜好填寫A,A2,B1,B2,G,C2,Di,D2,Ei,E2的值，再按照上面方法求積分。,Ax4+B1x3+C1x2+Dx+E4f3-2-dxA2xB2xC2xD2xE2十八.考察三角有理式的積分講解：所謂三角有理式是指以sinx與cosx為變量的有理函數(shù)，即為R(sinx,cosx)。此時(shí)總可以采用x萬能代換tan=t使被積函數(shù)有理化，2R(sinx,cosx)dx2t1-t22dt二R(2，2)21t1-t1t問題16:求下列不定積分:1dx1sinx十九.利用定積分的

13、幾何意義求定積分的值b講解：若f(x)dx是熟知的平面圖形的面積，則可以直接使用幾何意義求解定積分的值。問題17:求下列定積分:b2J=x(x-a)(x-b)dxa-二十.利用被積函數(shù)的分解與結(jié)合來求定積分的積分值講解：有時(shí)我們可以采用分項(xiàng)積分將被積函數(shù)進(jìn)行分解，再對(duì)其中某幾項(xiàng)采用第二換元法轉(zhuǎn)換為另一種形式，再與其他項(xiàng)結(jié)合在一起求解積分。問題18:求下列定積分：,二xsinx,I二dx01cosx二十一.考察反常積分講解：反常積分我們專業(yè)考察較弱(不知道你們數(shù)學(xué)專業(yè)如何)，重點(diǎn)考察無窮區(qū)間上反常積分的概念、瑕積分的概念、用定義判斷反常積分的收斂性及計(jì)算積分值，需要掌握常見反常積分的收斂性判斷、

14、反常積分的運(yùn)算法則。問題19:計(jì)算下列反常積分的值：e，dx0 x(lnx)2二十二.考察與定積分概念有關(guān)的題目(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二。問題20:1設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)=x+1xf(x)dx,求f(x)二十三.利用定積分的基本性質(zhì)確定積分值的符合(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二、知識(shí)點(diǎn)四和知識(shí)點(diǎn)十六。問題21:X2in2t2函數(shù)F(x)=(fdt,其中f(t)=e(1+sint)cos2t,則F(x)()(A)為正數(shù)(B)為負(fù)數(shù)(C)為零(D)不是常數(shù)二十四.根據(jù)定積分的比較定理證明積分不等式(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二。問題22:證明下列不等式：2：4x.

15、tanxdx:一80032二十五.考察原函數(shù)的存在定理(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)三。問題23:設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)有定義，cw(a,b),又f(x)在(a,b)內(nèi)僅有c一個(gè)間斷點(diǎn)，且為第一類間斷點(diǎn)，討論f(x)在(a,b)內(nèi)是否存在原函數(shù)?(1)dx1x2-2x(x-1)4二十六.考察常用的不定積分計(jì)算方法(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)六到知識(shí)點(diǎn)十八（除了知識(shí)點(diǎn)八）問題24:有、x1x,(1) f,dx1-x小、a1sinxb1cosx,22(2)f11dx(a2+b2#0)asinxbcosxln(x-11x2)(3) -(：一一dx(1x2)2二十七.考察常用的定積分計(jì)算方法(

16、復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)六到知識(shí)點(diǎn)二十(除了知識(shí)點(diǎn)九)問題25:JT“、5sinxdx(Df01sinxcosxarctan、x-1dx1二十八.考察分段函數(shù)的積分（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)八，知識(shí)點(diǎn)十一。問題26:設(shè)函數(shù)f(x)在(,+oc)內(nèi)滿足f(x)=f(x-n)+sinx,且f(x)=x(xw0,n),求3二f（x）dx江二十九.考察廣義積分（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二十一。問題27:計(jì)算下列反常積分：三十.利用換元法證明積分等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)十一到十五。（我們專業(yè)每年都至少會(huì)考察一個(gè)證明題）問題28:假定下列所涉及的反常積分均收斂，證明：1f（x

17、）dx二jf（x）dx三十一.利用分部積分法證明積分等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)十六。問題29:設(shè)f(x)在a,b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求證：b11baf(x)dx=2(ba)(f(b)f(a)2af(x)(x-a)(x-b)dx三十二.利用變限積分證明積分不等式(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二和知識(shí)點(diǎn)三。問題30:設(shè)“*)與9J)在a,b上連續(xù)，且同為單調(diào)不減函數(shù)，證明：bbb(b-a)f(x)g(x)dx_f(x)dxg(x)dxaaa三十三.利用分部積分證明積分不等式(復(fù)習(xí)類)講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二和知識(shí)點(diǎn)十六。問題31:設(shè)f(x)在a,b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且記M=maxf(x),證明:a,bba+b(b-a)3(f(x)dx-f(-)(b-a)(-4M三十四.變限積分與求導(dǎo)的