【中考數(shù)學(xué)壓軸題專題突破28】圓中的新定義問題

1、【中考壓軸題專題突破28】圓中的新定義問題(2)以點(diǎn)P為端點(diǎn)豎直向下的一條射線PN,以它為對稱軸向左右對稱擺動形成了射線PN1,PN2,我們規(guī)定：/N1PN2為點(diǎn)P的“搖擺角”，射線PN搖擺掃過的區(qū)域叫作點(diǎn)P的“搖擺區(qū)域”(含PN1,PN2).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(2,3).(1)當(dāng)點(diǎn)P的搖擺角為60°時(shí)，請判斷O(0,0)、A(1,2)、B(2,1)、C(2+73,0)屬于點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是(填寫字母即可)；(2)如果過點(diǎn)D(1,0),點(diǎn)E(5,0)的線段完全在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，那么點(diǎn)P的搖擺角至少為。；(3)OW的圓心坐標(biāo)為(a,0),半徑為1,如果。W上的所有點(diǎn)都

2、在點(diǎn)P的搖擺角為第1頁(共17頁)2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過。T外一點(diǎn)P引它的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,若60°MPN<180°,則稱P為。T的環(huán)繞點(diǎn).(1)當(dāng)。O半徑為1時(shí)，在P1(1,0),P2(1,1),P3(0,2)中，。的環(huán)繞點(diǎn)是;直線y=2x+b與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,若線段AB上存在。的環(huán)繞點(diǎn)，求b的取值范圍；(2)OT的半徑為1,圓心為(0,t),以(m,y_3m)(m>0)為圓心，lm為半徑33的所有圓構(gòu)成圖形H,若在圖形H上存在OT的環(huán)繞點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍.第2頁(共17頁)3.對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M,

3、N,給出如下定義：如果點(diǎn)P為圖形M上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圖形N上任意一點(diǎn)，那么稱線段PQ長度的最小彳1為圖形M,N的“近距離”記作d(M,N).若圖形M,N的“近距離”小于或等于1,則稱圖形M,N互為“可及圖形”.(1)當(dāng)。O的半徑為2時(shí)，如果點(diǎn)A(0,1),B(3,4),那么d(A,OO)=,d(B,OO)=如果直線y=x+b與。O互為“可及圖形”，求b的取值范圍；(2) OG的圓心G在x軸上，半徑為1,直線y=-x+5與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,如果。G和/CDO互為“可及圖形”，直接寫出圓心G的橫坐標(biāo)m的取值范圍.>AIDbal-S7£54321LA二二二二廠hoV-M9

4、87G54S2IF-1-.2-3-4-5事7斕瑪10一一019&76S2L1一二二二-L12于45-67E9Q1-第3頁(共17頁)4 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)B在x軸上，以AB為直徑作。C,點(diǎn)P在y軸上，且在點(diǎn)A上方，過點(diǎn)P作。C的切線PQ,Q為切點(diǎn)，如果點(diǎn)Q在第一象限，則稱Q為點(diǎn)P的離點(diǎn).例如，圖1中的Q為點(diǎn)P的一個(gè)離點(diǎn).(1)已知點(diǎn)P(0,3),Q為P的離點(diǎn).如圖2,若B(0,0),則圓心C的坐標(biāo)為,線段PQ的長為;若B(2,0),求線段PQ的長；(2)已知1WPAW2,直線l：y=kx+k+3(kw0).當(dāng)k=1時(shí)，若直線l上存在P的離點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q縱坐

5、標(biāo)t的最大值為;記直線l:y=kx+k+3(kw0)在-1WxW1的部分為圖形G,如果圖形G上存在P的離點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍.第4頁(共17頁)5 .定義：有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)平行四邊形”.例如：凸四邊形ABCD中，若/A=/C,/Bw/D,則稱四邊形ABCD為準(zhǔn)平行四邊形.(1)如圖，A,P,B,C是。O上的四個(gè)點(diǎn)，/APC=ZCPB=60°,延長BP到Q,使AQ=AP.求證：四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形；(2)如圖，準(zhǔn)平行四邊形ABCD內(nèi)接于。O,ABWAD,BC=DC,若。的半徑為5,AB=6,求AC的長；(3)如圖，在RtAABC中，/C=90°

6、;,/A=30°,BC=2,若四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，且/BCDw/BAD,請直接寫出BD長的最大值.(圖I圖)1圖)第5頁(共17頁)6 .我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”.如：如圖，已知。O的兩條弦ABXCD,則AB、CD互為“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”.(1)若。O的半徑為5,一條弦AB=8,則弦AB的“十字弦”CD的最大值為,最小值為.(2)如圖1,若。O的弦CD恰好是OO的直徑，弦AB與CD相交于H,連接AC,若AC=12,DH=7,CH=9,求證：AB、CD互為“十

7、字弦”；(3)如圖2,若。的半徑為5,一條弦AB=8,弦CD是AB的“十字弦”，連接AD,若/ADC=60°,求弦CD的長.3第6頁(共17頁)【中考壓軸題專題突破28】圓中的新定義問題（2）參考答案與試題解析一.解答題（共6小題）1.解：（1）根據(jù)“搖擺角”作出圖形，如圖所示，將O、A、B、C四點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中描出后，可以發(fā)現(xiàn)，B、C在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，故屬于點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是B、C（2）如圖所示，當(dāng)射線PNi過點(diǎn)D時(shí)，由對稱性可知，此時(shí)點(diǎn)E不在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，當(dāng)射線PN2過點(diǎn)E時(shí)，由對稱性可知，此時(shí)點(diǎn)D在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，易知：此時(shí)PQ=QE,EPQ=45°,

8、，如果過點(diǎn)D（1,0）,點(diǎn)E（5,0）的線段完全在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，那么點(diǎn)P的搖擺角至少為90°（3）如果。W上的所有點(diǎn)都在點(diǎn)P的搖擺角為60。時(shí)的搖擺區(qū)域內(nèi)，此時(shí)。W與射線PN1相切，設(shè)直線PN1與x軸交于點(diǎn)M,OW與射線PN1相切于點(diǎn)N,P為端點(diǎn)豎直向下的一條射線PN與x軸交于點(diǎn)Q,由定義可知：/PMW=60°,.NW=1,PQ=3,PQsin/PMW=叫tan/PMW=MW此時(shí)w的坐標(biāo)為:KQ由對稱性可知：當(dāng)OW與射線PN2相切時(shí),此時(shí)W的坐標(biāo)為：（2+苧，0）aw2，a的范圍為：2-第7頁（共17頁）M,N為切點(diǎn)，連接TM,TN.當(dāng)/MPN=60°時(shí)，PT

9、平分/MPN, ./TPM=ZTPN=30°, .TMXPM,TNXPN, ./PMT=ZPNT=90°,第8頁（共17頁），TP=2TM,以T為圓心，TP為半徑作OT,觀察圖象可知：當(dāng)60°MPN<180°時(shí)，OT的環(huán)繞點(diǎn)在圖中的圓環(huán)內(nèi)部（包括大圓設(shè)的點(diǎn)不包括小圓上的點(diǎn)）.如圖1中，以O(shè)為圓心2為半徑作OO,觀察圖象可知,故答案為P2,P3.如圖2中，設(shè)小圓交y軸的正半軸與于E.當(dāng)直線y=2x+b經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，b=1.當(dāng)直線y=2x+b與大圓相切于K（在第二象限）時(shí)，連接OK,P2,P3是。O的環(huán)繞點(diǎn),由題意B（0,b）,A（一3，0）,b,.OB

10、=b,OA=1,AB=Joa2sB產(chǎn)+小.OK=2,?AB?OK=4l?OA?OB,22第9頁（共17頁）解得b=2-75，觀察圖象可知，當(dāng)1vbw糖時(shí)，線段AB上存在。O的環(huán)繞點(diǎn)，根據(jù)對稱性可知：當(dāng)-2后wbv-1時(shí)，線段AB上存在OO的環(huán)繞點(diǎn),綜上所述，滿足條件的b的值為1vbw2后或-2jwbv-1.(2)如圖3中，不妨設(shè)E(m,1_m),則點(diǎn)E在直線y=£_x時(shí),33m>0,點(diǎn)E在射線OE上運(yùn)動，作EMx軸,E(m,-£-m),3.OM=m,EM=,3m)(m>0)為圓心，近m為半徑的OE與x軸相切，作。E的切線ON,3觀察圖象可知，以E(m,m)(m&

11、gt;0)為圓心,m為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H,圖形H即為/MON的內(nèi)部，包括射線OM,ON上.當(dāng)。T的圓心在y軸的正半軸上時(shí)，假設(shè)以T為圓心，2為半徑的圓與射線ON相切于D,連接TD.tan/EOM,0M3 ./EOM=30°,.ON,OM是。E的切線， ./EON=ZEOM=30°, ./TOD=30°,.OT=2DT=4, T(0,4),當(dāng)。T的圓心在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，且經(jīng)過點(diǎn)O(0,0)時(shí)，T(0,-2),觀察圖象可知，當(dāng)-2vtW4時(shí)，在圖形H上存在OT的環(huán)繞點(diǎn).3.解：(1)如圖1中，設(shè)。交y軸于巳連接OB交。于F.第10頁(共17頁)TISi由題意d(

12、A,OO)=AE=1,d(B,OO)=BF=OB-OF=5-2=3.故答案為1,3.如圖2中，作OH，EF于H,交。O于G.當(dāng)GH=1時(shí)，OF=OG+GH=3, 直線EF的解析式為y=x+b,E(0,b),F(-b,0),.OE=OF=b, .OHXEF,HE=HF, .EF=2OH=6, b=3%歷，_根據(jù)對稱性可知當(dāng)-3wbW3/時(shí)，直線y=x+b與。O互為“可及圖形”(2)如圖3中,第11頁(共17頁)當(dāng)。G在y軸的左側(cè)，OG=2時(shí)，GG(-2,0),當(dāng)。G'在y軸的右側(cè)，作G'HLCD于H,當(dāng)HG'=2時(shí)， 直線y=x-5交x軸于C,交y軸于D,.C(5,0),

13、D(0,5),.-.OC=OD=5,ZOCD=45°, ./CHG'=90°,.CH=HG'=2, CG，=2而， G，(5-2/,0),當(dāng)點(diǎn)G在直線CD的右側(cè)時(shí)，同法可得G(5+2、歷，0),5+2J2.觀察圖象可知滿足條件的m的值為：-2WmW2或5-2歷wmW4.解：(1)如圖可知：C(0,1),在RtAPQC中，CQ=1,PC=2,，PQ=g,故答案為(0,1);限如圖，過C作CMy軸于點(diǎn)M,連接CP,CQ.A(0,2),B(2,0),.C(1,1).M(0,1).在RtAACM中，由勾股定理可得CA=J$.cq=V2.P(0,3),M(0,1),P

14、M=2.在RtAPCM中，由勾股定理可得PC=JE.在RtPCQ中，由勾股定理可得PQ=VPC2-CQ2=(2)如圖1:當(dāng)k=1時(shí)，y=x+4,.Q(t-4,t),1<PA<2,.P的縱坐標(biāo)為4時(shí)，PQ與圓C相切,設(shè)B(m,0),第12頁(共17頁).CQXPQ,CQ的解析式為y=-x+_1+1,2.Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為一SL-3,42.CQ=AC,(2t-5)2+1=2(tT)2,.t=6或t=2,二.t的最大值為6;故答案為6.,-Kx<1,y=kx+k+3經(jīng)過定點(diǎn)(-1,3),PQ是圓的切線，AO是圓的弦，pq2=pa?po,當(dāng)k<0時(shí)，Q點(diǎn)的在端點(diǎn)(-1,3)禾1,2k

15、+3)之間運(yùn)動，當(dāng)P(0,4)時(shí)，PQ=272,以P為圓心，PQ長為半徑的圓與y軸交于點(diǎn)(0,4-2/2),此時(shí)k=1-2G2,當(dāng)P(0,3)時(shí)，PQ=J1,Q(1,2k+3),1+4k2=3,當(dāng)k>0時(shí)，當(dāng)P(0,4)時(shí)，PQ=2出，y軸交于點(diǎn)(0,4+2>/2),以P為圓心，PQ長為半徑的圓與此時(shí)k=1+2、4,當(dāng)P(0,3)時(shí)，PQ=V3,Q(1,2k+3),1+4k2=3,第13頁(共17頁)5.證明：(1)/APC=ZCPB=60°, ./APQ=60°,且AQ=AP, .APQ是等邊三角形， ./Q=60°=ZQAP, 四邊形APBC是圓內(nèi)

16、接四邊形， ./QPA=/ACB=60°,/Q+/ACB+/QAC+/QBC=360°, ./QAC+/QBC=240°,且/QAC=ZQAP+ZBAC+ZPAB=120°+/PAB>120°, ./QBCv120°, ./QACw/QBC,且/QPA=/ACB=60°=/Q, 四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形；(2)如圖，連接BD,第14頁（共17頁）.ABWAD,BC=DC,ABDw/ADB,/CBD=ZCDB, ./ABCw/ADC, 四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形， ./BAD=ZBCD, 四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊

17、形， ./BAD+/BCD=180°,/ABC+/AI ./BAD=ZBCD=90°,BD是直徑，BD=10, ad=而2fBzMi/=8,將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AB=DH=6,AC=CH,/ACH=90° ./ABC+ZADC=180°, ./ADC+ZCDH=180°,點(diǎn)A,點(diǎn)D,點(diǎn)H三點(diǎn)共線，.AH=AD+DH=14,1AC2+CH2=AH2,2AC2=196AC=7班；過點(diǎn)O作OEAC于E,OF±BCTF,第15頁（共17頁） /0=90°,/A=30°,BC=2,，/ABC=60&#

18、176;,/ABC=60°,AC=BC=2 .四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，且/BCDw/BAD, ./ABC=/ADC=60°, ./AOC=120°,且OEAC,OA=OC, ./ACO=/CAO=30°,CE=AE=a/1，.OE=1,CO=2OE=2, .OEXAC,OFXBC,/ECF=90°,四邊形CFOE是矩形，.CE=OF=痣，OE=CF=1,.BF=BC+CF=3,BO=Mbf24c=V-9+3=，當(dāng)點(diǎn)D在BO的延長線時(shí)，BD的長有最大值，BD長的最大值=BO+OD=RK+2.6.解：(1)如圖a,當(dāng)CD是直徑時(shí)，CD的長最大，則CD的最大值為10;如圖b,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，CD有最小值,過點(diǎn)O作OELCD于E,OFLAB于F,.AF=BF=4,DE=CE,OF=4頷之7)2=G25T6=3,.OEXCD,OFXAB,/CDB=90°,四邊形CEOF是矩形，.CE=OF=3,.CD=6,二.CD最小值為6,故答案為：10,6;(2)如圖1,連接AD,CDH=7,CH=9,第16頁（共17頁）.CD=16,CD是直徑， ./CAD=90°,ADHACDA, ./AHD=ZCAD=90°, ABXCD, .AB、CD互為“十字弦”；(3)如圖2,過點(diǎn)O作OELCD于E,過點(diǎn)O作