中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)③等腰三角形存在性問題探究

1、類型等腰三角形存在性問題探究，備考攻略)(問題分類1 .某函數(shù)圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構(gòu)成等腰三角形.2 .動點在幾何圖形的邊上運動與兩個定點構(gòu)成等腰三角形.c學(xué)生常見錯誤1 .動點坐標(biāo)與動線段長度的轉(zhuǎn)化不能較好理解.2 .分類討論不清，答案不全.(基本思路首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點(若某邊為底，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況).先借助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐標(biāo)，按分類的情況，分別利用相應(yīng)類別下兩腰相等，使用兩點間的距離公式，建立方程，解出此方程，即可求出動點的橫坐標(biāo)，再借助動點所在圖象的函數(shù)關(guān)系式

2、，可求出動點縱坐標(biāo)，注意去掉不合題意的點(就是不能構(gòu)成三角形這個題題型攻略1. 一個動點在幾何圖形的邊上運動與兩個定點構(gòu)成等腰三角形.2 .某函數(shù)圖象上或拋物線對稱軸上是否存在一點，使之與另兩個定點構(gòu)成等腰三角形:拋物線上或?qū)ΨQ軸上的動點與拋物線與坐標(biāo)軸交點構(gòu)成等腰三角形.3 .坐標(biāo)軸上的動點與兩定點構(gòu)成等腰三角形.，典題精講)4 .兩個動點與一個定點構(gòu)成等腰三角形.等腰三角形存在性問題探究【例1】已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,對角線AC,BD交于點O.點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；

3、當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也停止運動.連接PO并延長，交BC于點E,過點Q作QF/AC,交BD于點F.設(shè)運動時間為t(s)(0vt<6),解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時，4AOP是等腰三角形？(2)設(shè)五邊形OECQF的面積為S(cm2),試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使S五邊形OECQF：SaACD=9：16?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得到AC=10,當(dāng)AP=PO=t,如圖，過點P作PMXAO于點M,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AP=t=§,當(dāng)AP=AO=t=5,進(jìn)而O得到結(jié)論；（2）過點

4、O作OHLBC交BC于點H,已知BE=PD,則可求BOE的面積，可證得DFQsDOC,由相似三角形的面積比可求得4DFQ的面積，從而可求五邊形OECQF的面積；（3）計算4ACD的面積，結(jié)合上步已得五邊形OECQF的面積，可得1t2+2t+12；：24=9：16,解之即可確定t的值.【答案】解：.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,.AC=10cm,當(dāng)AP=PO=t,如圖，過點P作PMLAO于點M,115AM=AO=4AC=2，.ZPMA=ZADC=90°,/PAM=/CAD,APMAACD,.AP=AM"ACAD'AP=t=25,8當(dāng)AP=AO=t=5,

5、當(dāng)t為§或5時，AOP是等腰三角形；8fl圖（2）如圖，過點O作OHLBC于點H,11則OH=-CD=5AB=3cm, 四邊形ABCD為矩形，AD/BC, ./PDO=/EBO,DO=BO,又./POD=ZEOB,.PODAEOB,，BE=PD=8t.113 Saboe="BEOH=3(8t)=12-t.QF/AC, .DFQADOC,DQ=t''DC_65c,2.DFQtS'doc3611 SDoc=-Swabcd=-X6X8=2.22ttSadfq=12X=12,3八t2t2DFQ363，1,4S五邊用OECQF=SzDBCSBOESaDFQ=5

6、X6X8,12tj .S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-t2+|t+12;ON存在，1'''S，acd=&X6X8=24,S五邊形12：24=9:16,3解得1=3或1=會t=3或”時,S五邊形OECQF,S'ACD=916.例2如圖，拋物線y=ax?+bx3(awo)的頂點為E,該拋物線與x軸交于A,B兩1點，與y軸交于點C,且BO=OC=3AO,直線y=qx+1與y軸交于點D.O(1)求拋物線的解析式；(2)證明：DBOseBC;(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的P點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.E【解析】

7、(1)先求出點C的坐標(biāo)，再由BO=OC=3AO,確定出點B,A的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；(2)先求出點A,B,C,D,E的坐標(biāo)，從而求出BC=3/2,BE=245,CE=V2,OD=1,OB=3,BD=Vio,求出比值,得到CEOD=BCOB=BE票得出結(jié)論;BD(3)設(shè)出點P的坐標(biāo)，表示出PB,PC,求出BC,分三種情況計算即可.【答案】解：(1);拋物線y=ax2+bx-3,c=-3,.C(0,-3),.OC=3,BO=OC=3AO,BO=3,AO=1,B(3,0),A(-1,0),.該拋物線與x軸交于A,B兩點，9a+3b-3=0,ab3=0,解得a=1,b=-2，拋物線

8、解析式為y=x2-2x-3,(2)作EFx軸于點F,CG，EF于點G.由(1)知，拋物線解析式為y=x2-2x-3=(x-1)2-4,E(1,-4).B(3,0),A(-1,0),C(0,-3),.OB=3,OC=3,EF=4.又.EFx軸，CGXEF,.CG=1,EG=1,BF=2,.BC=4OB2+OC2=3恒BE=4bF2+EF2=275,CE=、CG2+GE2=72.;直線y=；x+1與y軸交于點D,3D(0,1).-B(3,0),.OD=1,OB=3,BD=QD2+OB2=嚴(yán),.CE_QBC_QBE_Q-OD-®OB-BD-W，CEBCBEODOBBD'.DBOAE

9、BC;存在.符合條件的P點坐標(biāo)為(1,1)或(1,/4)或(1,/4)或(1,3+67)或(1,3甲7).針對訓(xùn)練,如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1,0),B(4,0),C(0,2)三點.(1)求拋物線的解析式；(2)若直線l是拋物線的對稱軸，設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)APAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；(3)在線段AB上是否存在點M(m,0),使得以線段CM為直徑的圓與邊BC交于Q點(與點C不同)，且以點Q,B,O為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.解：(1).拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1,0),B(4,0),C(0,2)三點，_1，a

10、-b+c=0,'a=2，116a+4b+c=0,解得3b=一2，c=2,2c=-2,拋物線的解析式為y=32一32；圖(2)如圖，拋物線的對稱軸是直線x=|.連接BC,當(dāng)點P落在線段BC上時，PA+PC最小，APAC的周長最小.設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為D.B(4,0),C(0,-2).OB=4,OC=2.35又OD=2，.BD=,.;l/y軸,.BDPDB。OC'PD=BDOCBO54.點P的坐標(biāo)為I3,5j(3)存在，過點Q作QMBC于點Q,交AB于點M,如圖,圖則根據(jù)直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)，知點Q在以CM為直徑的圓上，-A(-1,0),B(4,0),C(0,2),.OA=1,OB=4,OC=2.AC=>/OA2+OC2=乖,BC=VoB2+OC2=2®AB=5,AB2=AC2-BC2, .AABC是直角三角形， .ZACB=90,AC±BC,又 QMIIAC, .BMQBAC.BQBM一BC=AB-5M(m,0),BM=4-m.當(dāng)QB=QO時，