N級行列式性質(zhì)ppt課件

1、2 24 n4 n級行列式的性質(zhì)級行列式的性質(zhì)行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211證明證明 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式記記ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabijij 即即按定義按定義 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又由于行列式又由于行列式D可表示為可表示為 .12121 nppptnaaaD故故.TDD 證畢證畢設(shè)行列式設(shè)行列式,2122

2、221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 闡明闡明 行列式中行與列具有同等的位置行列式中行與列具有同等的位置,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ijaDdet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpjpipptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1為為自自然然排排列列其其中中nji.1的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為排排列列njippppt,11tppppnji的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)排排列列那么有那么有即當(dāng)即當(dāng) 時時,jik, ;k

3、pkpab 當(dāng)當(dāng) 時時,jik, ,ipjpjpipabab 例如例如推論推論 假設(shè)行列式有兩行列完全一樣，那假設(shè)行列式有兩行列完全一樣，那么此行列式為零么此行列式為零. .證明證明互換一樣的兩行，有互換一樣的兩行，有 . 0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 證畢證畢,571571 266853.825825 361567567361266853kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 性質(zhì)行列式中假設(shè)有兩行列元素成比性質(zhì)行列式中假設(shè)有兩行列元素成比例，那么此行列式為零

4、例，那么此行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性質(zhì)性質(zhì)5 5假設(shè)行列式的某一列行的元素都是假設(shè)行列式的某一列行的元素都是兩數(shù)之和兩數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 那么那么D等于以下兩個行列式之和：等于以下兩個行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性質(zhì)把行列式的某一列行的各元素

5、乘以性質(zhì)把行列式的某一列行的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對應(yīng)的元素上去，行對應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如EXA1計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbb

6、bna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例2 2 奇數(shù)階的反對稱行列式的值等于零奇數(shù)階的反對稱行列式的值等于零. .一個n階行列式D,假設(shè)它的元素滿足njiaajiij，21那么稱D為反對稱行列式.假設(shè)假設(shè)D D是反對稱行列式是反對稱行列式, ,那么那么D D的主對角線上的主對角線上的值全為零的值全為零, ,對稱行列式上的每一個元素都對稱行列式上的每一個元素都是原行列式的相反數(shù)是原行列式的相反數(shù). .DDaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnnnnnnn) 1(;000000) 1(000212121122121211221212112，有式實際上，對反對稱行列

7、當(dāng)當(dāng)n n為奇數(shù)時為奇數(shù)時,D=0,D=0EXA3EXA3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設(shè)設(shè),)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明證明證明;0111111kkkkkpppppD 設(shè)設(shè)為為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運算作運算對對11DkrrDji 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把作作運運算算對對22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 設(shè)設(shè)為為,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化為下三角形

8、行列式化為下三角形行列式把把算算列作運列作運，再對后，再對后行作運算行作運算的前的前對對DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD 4、 計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列式的值小結(jié)小結(jié)3 3、行列式的、行列式的6 6個性質(zhì)個性質(zhì)1 1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需方程個數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需求而定義的求而定義的. .2 2、 階行列式共有階行列式共有 項，每項都是位于不同項，每項都是位于不同行、不同列的行、不同列的 個元素的乘積個元素的乘積, ,正負(fù)號由下標(biāo)正負(fù)號由下標(biāo)陳列的逆序數(shù)決議陳列的逆序數(shù)決議. .nn!n11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已已知知思索題思索題計算計算4 4階行列式階行列式思索題解答思索題解答2、111111112222dddccc