二、 線性稀疏矩陣方程的直接解

1、電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n高斯消去法高斯消去法n三角分解法三角分解法n節(jié)點(diǎn)編號順序的優(yōu)化節(jié)點(diǎn)編號順序的優(yōu)化電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有直接解法n 線性方程組可以用直接解法，計(jì)算實(shí)踐表明，對電力系統(tǒng)來說它很有效。n 電力系統(tǒng)中常見的大型線性方程組的系數(shù)矩陣十分稀疏，直接解法的計(jì)算速度很快。n 與迭代法相比，沒有收斂性問題。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有一、高斯消去法一、高斯消去法 設(shè)有n階線性方程組a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2 . (21)an1x1+an2x2+an

2、nxn=bn 或縮記為：AX=B (22)電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有求解的具體步驟如下：求解的具體步驟如下：（1）若a110，由（21）第1式解出 x1=b1-(a12x2+a1nxn)/a11a11x1+ a12x2 + a1nxn =b1 a22(1)x2+a2n(1)xn=b2(1) . (23) an2(1)x2+ann(1)xn=bn(1)代入第2至第n式消去x1 ,有式中，;)(jiijijaaaaa11111i=2,3,n;j=i,i+1,n;)(11111baabbiii電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有(2)若a22(1)0，由（23）第2式解出11112

3、213311nna xa xa xa xb23(1)(1)(1)(1)223222()/nnxbaxaxa代入第代入第3 3至第至第n n式以消去式以消去, ,便得便得: : (1)(1)(1)(1)23222322(2)(2)(2)3 3333(2)(2)(2)3 3 nnnnnnnnna xa xa xba xa xba xa xb式中，式中，(1)(1)22(2)(1);(1)22ijijija aaaa(1)(1)(2)(1)22;(1)22iiia bbba(i=3,4,n； j=i,i+1,n)電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有 由此只要 ,消元過程就可繼續(xù)，在作完第k步消元

4、后，原方程組將變?yōu)?1)0kkka1111221,1111(1)(1)(1)(1)2122222,1( )( )( )11,11,1( )( )( )1,1kknnknnkkkkknkkknkkkkknnnnn ka x a xaxa x ba xaxa x baxax baxa x b(24)(1)(1)(1)(1)( )(1)(1)(1)1kkppkikkjippjkkijijkpijpkkppaaaaaaaaa（i=k+1,. ,n； j=i,i+1, n+1） 式中 ,(25)電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n如果不滿足，可將尚待繼續(xù)消元的那部分方程式重新排列次序，使第k個(gè)方程

5、中 的系數(shù)不為零即可。n由于 與 的算法相同，若把 記為 ，在利用公式（25）時(shí)可把列標(biāo) j 一直取到n+1。 以求取 ( )kib( )kijaib,1i na(1)0kkkakx( )kibn只要： ，消元就可以繼續(xù) 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有12111211(1)(1)(1)(1)22222(1)(1)(1)(1)(1)1iinnininiiiiniiininnnnnna x a xa x a x baa xa x baxax bax b(26)式中 ， （i=1,2, ,n ; j=i,i+1,n+1） (1)(1)1(1)(1)1kkiikkjiijijkkkkaaaa

6、a(27)n經(jīng)過n-1次消元，最后得到的方程為。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有消元的結(jié)果是把原方程組（消元的結(jié)果是把原方程組（21）演化成系數(shù)矩陣呈上三）演化成系數(shù)矩陣呈上三角形的方程組角形的方程組 （26）。這兩組方程組有同解）。這兩組方程組有同解 。 12111211(1)(1)(1)(1)22222(1)(1)(1)(1)(1)1iinnininiiiiniiininnnnnna x a xa x a x baa xa x baxax bax b回代過程求解X 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有(1)(1)(1)1()/ (,1,1)niiiiiijjiij ixbaxa

7、in n (28)回代過程:n按列消元對應(yīng)于網(wǎng)絡(luò)變換時(shí)的消去節(jié)點(diǎn)，物理概念清晰 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有例例2 21 1 按列消元按行回代的高斯消去法按列消元按行回代的高斯消去法n按列消去1232332312 2.52.55 1248xxxxxx 123123123231237135425xxxxxxxxx12323232 3 12 2.52.55 11.50.525xxxxxxx n按行回代: ( 1)由第三式解得x3=4 (2) 由此及第二式解得x2=2 (3) 由x3、x2此第一式解得x1=1電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n電力系統(tǒng)計(jì)算中，高斯消去法的另一種常用

8、計(jì)算格式是按行消元逐行規(guī)格化的算法。n具體做法如下： （1）若 則以 乘方程組（21）中的第1 式，使之規(guī)格化，得到 （29） 式中, （j=2,3,n+1）110,a111/a(1)(1)(1)112211nnxa xa xb(1)1111/jjaaa電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有（2）對方程組（21）中的第2式作運(yùn)算。首先進(jìn)行消元，用-a21乘（29）全式，再同式（21）的第2式相加，便得到 ：(1)(1)(1)(1)23222322nna xa xa xb(1)(1)22211(2,3,1)jjjaaa ajn式中，假定 ，用 去乘上式規(guī)格化，便得 (1)220a(1)221/

9、a(2)(2)(2)223322nnxa xa xb(2)(1)(1)2222/jjaaa這樣，得到了經(jīng)過消元和規(guī)格化處理的第2個(gè)方程式。 （j=3，4， ，n+1） 式中 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n消元過程逐行進(jìn)行。對原方程組（21）中的第i個(gè)方程式的演算包括，先作i-1次消元，利用已完成消元和規(guī)格化處理的i-1個(gè)方程式依次消去 ,然后作一次規(guī)格化計(jì)算，使 的系數(shù)變?yōu)?。以k代表消元次數(shù)，逐次消元計(jì)算通式為 ：121,ix xxix( )(1)(1)( )kkkkijkjijikaaaa(1,2,1;1,2,1)kijkkn（210）作完i-1次消元后，規(guī)格化計(jì)算公式為 (

10、)(1)(1)/iiiijijiiaaa（j=i+1,i+2,.,n+1） （211） 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n一般，經(jīng)過i-1步按行消去運(yùn)算，增廣矩陣變成(1)(1)(1)12131,1(2)(2)232,1(1)(1)11,1,11,112,1111nniiiiiiniiii nnnnin naaaaaaaaaaaaaaF電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n按照上述步驟，對方程組（21）的全部方程式作完消元和規(guī)格化演算，便得到了以下的方程組 (1)(1)(1)(1)(1)123112131,111(2)(2)(2)(2)2312,12223(1)(1)11,1( )

11、nnnnnnnnnnnnnnnnnnx a xa xaxa x bx a xaxa x bxax bx b（212）式中的系數(shù)表達(dá)式為： 1( )(1)( )(1)1()/iikkiijijikkjiikaaaaa（i=1,2,n-1;j=i+1,i+2, ,n+1） （213）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n利用方程組 （212）,通過回代計(jì)算，即可求得全部的未知變量，其計(jì)算通式為 ( )( )1niiiiijjj ixba x （i=n,n-1,.,1 ) (2-14)n注意（212），（213），（214）與式（26），（27），（28）本質(zhì)上一致。 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)

12、態(tài)分析版權(quán)所有例例2 22 2 按行消元逐行規(guī)格化的高斯消去法按行消元逐行規(guī)格化的高斯消去法S1. 規(guī)格化第一行123123123231237135425xxxxxxxxx23112371 135425()1/213/21/26371 13542513/21/2655 5225542(3)S2. 一、二行相消S3. 規(guī)格化第二行2/(5)13/21/2611 25425S4.一、三行相消311/26211 223125)2(5213/21/2611 21223 24/8S5. 二、三行相消()1/1213/21/2611 214S6. 第三行規(guī)格化電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有最后得

13、到：最后得到：n其中，依次取1/2，3，2/5，5，-23/2，-1/12為運(yùn)算因子。n由后向前取虛線上三角中元素進(jìn)行回代運(yùn)算S1. 取1662( 1) 4244 S2. 取1/213/21/2611 2146 1/2 442244 43/2 212244 S3. 取3/2電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有因子表1/23/21/232/51523/21/12電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有高斯消去法的每一步演算都相當(dāng)于進(jìn)行矩陣的初等變換。以按列消元的算法為例，第一步消元時(shí)所用的初等矩陣為 11121111llnL1111/iilaa其中（i=2，3，,n） 二、三角分解法二、三角

14、分解法 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n用 左乘式（22）的兩端，將結(jié)果展開便得到方程組 (23）n以后的每一步消元都是對上次變換所得的結(jié)果再作一次初等變換。所用的變換矩陣都是單列單位下三角矩陣，第k步消元所用的矩陣為 11L11111,1klkklnkL（215）(1)(1)/kkikikkklaa（i=k+1, ,n） （216）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n依次作完n-1次變換后，便得到方程組 (26)。若將方程組 (26）的系數(shù)矩陣記為R，則其元素為 (1)iijijra(i=1,2, ,n;j=i,i+1, ,n) 從演算過程可知 （217）111121nnRL

15、LL A因?yàn)槌醯染仃嚪瞧?，故?根據(jù)單列單位下三角矩陣的性質(zhì)可知 121nL LLRA1111,1klkklnkL電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有這樣，便得到 A=LR 2112131321231111nnnnllllll LL LL（218）非奇方陣A被表示為矩陣L和R的乘積，這兩個(gè)三角矩陣稱為A的因子矩陣. 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有 從計(jì)算公式可見，要使分解得以進(jìn)行下去，必須有 。為滿足這個(gè)條件，要求矩陣A的各階主子式都不等于零。如果矩陣A非奇異，通過對它的行（或列）的次序的適當(dāng)調(diào)整，這個(gè)條件是能滿足的。 11()/ijjijik kjjjklal rr11ijii

16、jik kjkral r2,3, ;1,2,1inji1,2, ;,1,inji in（219）0jjr 利用公式 (25）和 (27），可確定兩個(gè)因子矩陣的元素計(jì)算公式： 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有LF=B RX=F 或者展開寫成2131321231111nnnllllll123nffff123nbbbb（220）11121222nnnnrrrrrrnxxx21nfff21（221）n將A=LR代入線性方程組(22），便得LRX=B.這個(gè)方程又可以分解為以下兩個(gè)方程電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n這兩組方程式的系數(shù)矩陣都是三角形矩陣，求解極為方便。先由方程組（220）

17、自上而下地依次算出 其計(jì)算通式為 n方程組（221）與式（26）一致，求解屬于回代過程，類似式（28）。 12,nfff11iiiij jjfbl f(1,2, )in（222）1()/ ,1,1niiij jiij ixfr xrin n 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有例例2 23 3 三角分解法(LR)111112121313222221 12232321 1321211131311132223223 13535 73 1()()()()()(/)(/)13/22222(5/2523( 43)/25(rarararal rral rlarlarlarl 31 1222333331

18、 133322232352(1)12)/()2)rrlrral rl r 23137154211.512.54.61L2312.52.512Rn利用DOLITTLE分解電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有三角分解后，求解過程如下：112233112121.511352.54.61548ffffffLFBLF=B RX=F 11322233123142.52.52121xfxxfxxfx RXF電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有 n如果A非奇，則上三角矩陣R的對角線元素都不等于零。矩陣R又可分解為對角線矩陣D和單位上三角矩陣U的乘積，即R=DU，或展開寫成 11121111212222

19、22111nnnnnnnnrrrduurrdurd比較兩方的對應(yīng)元素可得比較兩方的對應(yīng)元素可得 ,/iiiiijijiidr urd (1,2, ;1, )in jin 由此可知由此可知 (1)( ),iiiiiiijijdaua（223）（224）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有這樣便得 A=LDU （225） 這種分解稱為方陣A的一種LDU分解。若A的各階主子式均不為零，則這種分解是唯一的。 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有11iiiiiikkikkkdal u d(1,2, )in11()/iijijikkjkkiikual u dd1,2,11,injin 11()/j

20、ijijikkjkkjjklal u dd2,3,1,2,1injn（226）n利用公式（219），計(jì)及式（223），可得因子矩陣的元素表達(dá)式如下電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有例例2 24 4 三角分解法(LDU)23137154211.512.54.61L2312.52.512Rn利用DOLITTLE分解11.512.54.61L22.512D13/21/2111Un利用LDU分解電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有將式（225）代入式（22），可得 LDUX=B（227）這個(gè)方程又可分解為以下三個(gè)方程組 LFBDHFUXH即（220）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有

21、根據(jù)式（222）和（213）可知 。因此，求解這組方程相當(dāng)于對經(jīng)消元變換后的右端常數(shù)作一次規(guī)格化演算。 /iiiihfd(1,2, )in（229）( ) iiihbn由此可得11112222nnnndhfdhfdhf方程組DHF可展開為 （228）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有當(dāng)A的各階主子式均不為零時(shí)，根據(jù)分解的唯一性，應(yīng)有 因此 ()TTTTTAALDULDUU D LTTLUUL或TTALDLU DU（230）n方程組UX=H展開后即是式（212）n若A為對稱矩陣，則應(yīng)有：電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有利用公式（226），計(jì)及 ，便得各因子矩陣的元素表達(dá)式為 由于三

22、角矩陣U和L互為轉(zhuǎn)置，只需算出其中的一個(gè)即可。 ijjiul221111iiiiiiikkkiikikkkkdal dau d(1,2, )in11()/iijijkikjkkiikuau u dd1,2,11,injin 11()/jijijik jkkkjjklal l dd2,3,1,2,1inji（231）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有若令LD=C，則矩陣C仍為下三角矩陣，其元素為 這樣便得: A=CU這種分解亦稱為Crout分解。(1,2, )2,3,1,2,1iiiiijijjjcdinincl dji（232）（233）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n利用公式

23、（226），計(jì)及式（232），可得因子矩陣的元素表達(dá)式如下11111,2, 1,2,1,2,1()/ 1,jijijikkjkiijijikkjiikincac ujiinuac ucjin （234）n不難驗(yàn)證，用Crout分解求解線性方程組的算法，相當(dāng)于按行消元逐行規(guī)格化的高斯消去法電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有例例2 25 5 三角分解法(CROUT)1111121211131311222221 12232321 132221213131323231 1223/2 1/23515 73( 1 3)/( )1()(/)(/)()()/)()()()322225323123452(

24、5222cauacuaccac uuac uccacacac u 333331 1332232)(12 cac uc u 231371542235/2523/212C13/21/2111Un利用CROUT分解(2-34)電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有對比按行消元逐行規(guī)格化的高斯消去法因子表：1/23/21/232/51523/21/12235/2523/212C13/21/2111U電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有三角分解后，求解過程如下：112233212632.5132511.51254hhhhhh CHBCH=B UX=H 13223113/21/2641122141x

25、xxxxx UXH電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n網(wǎng)絡(luò)方程需要求解多次，每次只是改變方程右端的常數(shù)向量B，使用的系數(shù)矩陣A相同n對線性方程組的系數(shù)矩陣A進(jìn)行三角分解，所得的下三角矩陣用于消元運(yùn)算，而上三角因子矩陣則用于回代運(yùn)算。 n對于需要多次求解的方程組，可以把三角形因子矩陣的元素以適當(dāng)?shù)男问劫A存起來以備反復(fù)應(yīng)用。n不同的形成因子表方法，對應(yīng)求解過程（公式）有所不同。 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有作LR分解時(shí)，可把因子矩陣L和R的元素排列成： 作LDU分解時(shí)，把各因子矩陣的元素排列成： 矩陣L和U的對角元素都是1，不必存放。上述因子矩陣的元素正好占據(jù)矩陣A的對應(yīng)元素位置

26、。因此，以上幾種排列格式都可以稱為矩陣A的因子表。 111213111222323132333123nnnnnnnnrrrrlrrrllrrlllr作Crout分解時(shí)，把因子矩陣C和U的元素排列成： 111213111222323132333123nnnnnnnncuuuccuucccucccc111213111222323132333123nnnnnnnnduuulduulldullld對矩陣A，作三種因子分解時(shí)的因子矩陣元素電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n以按行消元逐行規(guī)格化的算法為例，這種算法需要保留矩陣C和U的元素。由于對角線元素Cii在計(jì)算過程中都作為除數(shù)出現(xiàn)，在計(jì)算機(jī)中乘

27、法要比除法節(jié)省時(shí)間。因此，在實(shí)際使用的因子表中，對角線位置都是存放Cii的倒數(shù)1/Cii。n由于對稱矩陣的因子矩陣L和U互為轉(zhuǎn)置矩陣，在因子表中保留上三角部分（或下三角部分），而對角線位置則存放矩陣D的對應(yīng)元素的倒數(shù)。(常用) 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有利用因子表(CROUT分解)：n消元n回代：1niijjj iixhu x （i=n,n-1,.,1 ) (2-14)11()/iiiijjiijhbc hc(1,2, )in（222）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有利用因子表(LDU分解)：n消元n回代：1niijjj iixfu x （i=n,n-1,.,1 ) (2

28、-14)11()/iiiijjjjiijfbl d fd(1,2, )in（222）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有右端的常數(shù)向量分別取為： 解：解：用CROUT分解形成因子表如下： 111213212223313233231371542aaaAaaaaaa(1)12135;(2)693TTBB例例2 26 6 用因子表求解方程組AX=B。 1112132122233132331/1/23/21/21/32/511/523/21/12cuucccccc電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n先做消元運(yùn)算11112221 1223331 132233/1/265()/(18)/2223

29、()/(5 6(2)/ 141132522hbchbc hchbc hc hc 1112132122233132331/1/23/21/21/32/511/523/21/12cuuccuccc11()/iiiijjiijhbc hc1niijjj iixhu x n再做回代33222331112213342( 1 4)2316(2)(4)122xhxhu xxhu xu x 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n先做消元運(yùn)算11112221 1223331 132233/1/235()/(3 3)/02()/(5 30693)/ 121hbchbc hchbc hc hc 11121321

30、22233132331/1/23/21/21/32/511/523/21/12cuuccuccc11()/iiiijjiijhbc hc1niijjj iixhu x n再做回代33222331112213310( 1 1)1313(1)(1)122xhxhu xxhu xu x 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有設(shè)四節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)編號分別如圖（a）(b)所示。三、節(jié)點(diǎn)編號順序的優(yōu)化三、節(jié)點(diǎn)編號順序的優(yōu)化 （a）（b）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n對應(yīng)這兩種編號方案的節(jié)點(diǎn)方程分別為： 1114111213141111222421222222333431333333414243

31、4441444444; YYYYYYUIUIYYYYUIUIYYYYUIUIYYYYYYUIUI（235）*n分別進(jìn)行三次、一次消元運(yùn)算消去系數(shù)矩陣中第一列后，這兩個(gè)系數(shù)矩陣中非零元素的分布將如下式所示。n“*”表示原非零元：“”表示消元后新出現(xiàn)的非零元，稱注入元。 （236）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n再分別進(jìn)行三次、兩次消元運(yùn)算，消去其中第二、第三列，得上三角矩陣中的非零元素分布如下式所： *（237）n按方案一編號時(shí)，需經(jīng)六次消元進(jìn)入回代；n按方案二編號時(shí)，僅需三次消元就可進(jìn)入回代。n方案二回代過程也較簡單。 n差別關(guān)鍵在于消元過程中是否會出現(xiàn)注入元，取決于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)編號的順

32、序 為保持節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣從而保持因子表的稀疏度，降低對存貯空間的需求、減少運(yùn)算量，必須盡可能優(yōu)化節(jié)點(diǎn)編號的順序。 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有 n先將式(236)以及相應(yīng)的右端項(xiàng)部分展開如下： 21 1221 1321 1421222111111111231 1231 1331 14313331311111111441 1241 1341 1441444111111111*Y YY YY YYYIIYYYYUY YY YY YYYIIUYYYYUY YY YY YYYIIYYYY22242233343341 14414243444141111*YYIUYYIUY YYYYYIIUYY

33、 （238a）（238b）電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n上兩式中虛線以下部分其實(shí)就是由式(235)式第一行解出U1并用以消去其它各行中U1后的所得。n這一消去U1 的過程，對應(yīng)用負(fù)荷移置消去節(jié)點(diǎn)1，進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)簡化的過程n不同點(diǎn)僅僅在于，采用負(fù)荷移置法時(shí)，是以全網(wǎng)節(jié)點(diǎn)電壓都等于額定值的假設(shè)條件下，不以電流而以功率表示節(jié)點(diǎn)的注入。n以圖（a）及式（238a）說明上述網(wǎng)絡(luò)簡化論點(diǎn)。n第一步 由圖(a)套用節(jié)點(diǎn)電流移置公式121212111013141211131313111013141211141414111013141211yYIIIyyyyYyYIIIyyyyYyYIIIyyyyY 電

34、力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n從而節(jié)點(diǎn)2、3、4注入電流分別改變?yōu)椋?1)(0)1222122111(1)(0)1333133111(1)(0)1444144111YIIIIIYYIIIIIYYIIIIIYn這就是（238a）式的右端列向量中各元素,第一步電流得證。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n第二步 由圖(a)套用節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納移置公式，消去節(jié)點(diǎn)1后，節(jié)點(diǎn)2與3、4、0之間導(dǎo)納變化量分別為：2113232310121314211424241012131421102010121314y yyyyyyyy yyyyyyyy yyyyyyn從而節(jié)點(diǎn)2的自導(dǎo)納及互導(dǎo)納分別為：（對應(yīng)（

35、238a）中第二行）(1)(0)(0)222020232420202324(0)2110211321142010121314(0)(0)211220211012131421 122211Yyyyyyyyyy yy yy yyyyyyy yyyyyyyY YYY(1)(0)21 132323232311()Y YYyyyY (1)(0)21 142424242411()Y YYyyyY n相似地，可以得系數(shù)矩陣第三、四行各元素n第二步 導(dǎo)納得證。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有幾個(gè)結(jié)論n以高斯消元法逐列消元，對應(yīng)于以消去節(jié)點(diǎn)法逐個(gè)消去節(jié)點(diǎn)n消元過程中的注入元，在物理意義上對應(yīng)于由于消去某

36、節(jié)點(diǎn)而出現(xiàn)新的互聯(lián)支路導(dǎo)納。n就形成因子表而言，三角分解法與高斯消元法完全等效，而以高斯消元法逐列消元又對應(yīng)于以消去節(jié)點(diǎn)法逐個(gè)消去節(jié)點(diǎn)，因此可通過考察消去節(jié)點(diǎn)以考察因子表的形成n基于如上關(guān)系，高斯消元后如出現(xiàn)注入元，該注入元也將出現(xiàn)在三角分解后所得的上、下三角矩陣中，并將出現(xiàn)在所形成的因子表中。n因子表中是否會出現(xiàn)注入元因子表中是否會出現(xiàn)注入元等價(jià)于等價(jià)于網(wǎng)絡(luò)消去節(jié)點(diǎn)后是否會出現(xiàn)新的網(wǎng)絡(luò)消去節(jié)點(diǎn)后是否會出現(xiàn)新的互聯(lián)支路互聯(lián)支路。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n節(jié)點(diǎn)編號改變會影響注入元素?cái)?shù)目n例如，對簡單五節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)編號有三種方案： 方案1 方案2 方案3分析分析:n以高斯消去法建立

37、因子表n以三角分解法建立因子表電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有（1）以高斯消去法建立因子表n消去節(jié)點(diǎn)1后n消去節(jié)點(diǎn)2后n消去節(jié)點(diǎn)3后電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n以高斯消去法建立的因子表中非零因子的分布電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析版權(quán)所有n利用下式后，可得因子表中非零因子，與高斯法完全一致（2）以三角分解法建立因子表11111212111313112121222221 12232321 13223131323231 12333331 1332 234141424241 12434341 1342 235151525251 12535351 1352 231414()laralrallalal rral rllalal rlal rl rlalal rlal rl rlalal rlal rl rra11151511242421 1422252521 15113434