齊次線性方程組有非零解的條件

1、齊次線性方程組有非零解的條件（線性方程組可解的判別法）（線性方程組可解的判別法）線性方程組（線性方程組（1 1）有解的）有解的充分且必要條件是：充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩的秩. .定理定理 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩，那么當(dāng)秩，那么當(dāng)r r 等于方程組所含的未知量的個數(shù)等于方程組所含的未知量的個數(shù)n n時，時，方程組有唯一解；當(dāng)方程組有唯一解；當(dāng)r nr n 時，方程組有無窮多解時，方程組有無窮多解. . 考察齊次考察齊次線性方程組線性方程組.0,0,022112222121121211

2、1nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa( (1 1) )必然必然有解有解0, 0, 021nxxx零解零解.0,0,0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa( (1 1) )唯一解唯一解無窮多解無窮多解（只有零解只有零解）（除零解以外還有其他解除零解以外還有其他解）非零解非零解齊次齊次線性方程組線性方程組解的情況：解的情況：nr nr 定理定理 一個齊次線性方程組有非零解的充分且一個齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩必要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩r r小于它的未小于它的未知量的個數(shù)知量的個數(shù)n n。方程

3、個數(shù)方程個數(shù)m=n，齊次線性方程組（齊次線性方程組（2）含有）含有n個未知量個未知量n個方程個方程由克拉默法則，方程組（由克拉默法則，方程組（2）有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式不等于）有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式不等于0.1111221211222211220,0,0.nnnnnnnnna xaxaxaxaxaxaxaxax( (2 2) )齊次齊次線性方程組線性方程組反之，方程組（反之，方程組（2）有非零解）有非零解(無窮多解無窮多解)當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式等于當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式等于0.推論推論1 1 含有含有n n個未知量個未知量n n個方程的齊次線性方個方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件

4、是：程組有非零解的充分且必要條件是：方程組的方程組的系數(shù)行列式等于零系數(shù)行列式等于零。.0,0,0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa( (1 1) )齊次齊次線性方程組線性方程組當(dāng)當(dāng)mn時，時，系數(shù)矩陣的秩系數(shù)矩陣的秩rm秩秩rn齊次線性方程組齊次線性方程組(1)有非零解有非零解推論推論2 2 若在一個齊次線性方程組中，方程的若在一個齊次線性方程組中，方程的個數(shù)個數(shù)m m小于未知量的個數(shù)小于未知量的個數(shù)n n，那么這個方程組一，那么這個方程組一定有非零解。定有非零解。推論推論2 2 若在一個齊次線性方程組中，若在一個齊次線性方程組中，方程

5、的個數(shù)方程的個數(shù)m m小于未知量的個數(shù)小于未知量的個數(shù)n n，那，那么這個方程組一定有非零解。么這個方程組一定有非零解。推論推論1 1 含有含有n n個未知量個未知量n n個方程的齊次線性方程個方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：組有非零解的充分且必要條件是：方程組的系數(shù)方程組的系數(shù)行列式等于零行列式等于零。定理定理 一個齊次線性方程組有非零解的充分且必一個齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩r r小于它的未知量的小于它的未知量的個數(shù)個數(shù)n n。例例 設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 （* *） 問當(dāng)問當(dāng)取何值時，上述方程組（取何值時，上述方程組（* *）有非零解。有非零解。 0) 1(0) 1(0) 1(321321321xxxxxxxxx解齊次方程組（解齊次方程組（*）的系數(shù)）的系數(shù)行列式為行列式為111111111A當(dāng)當(dāng) 或或 時，時，