微分中值定理 ppt課件

1、3.1 微分中值定理微分中值定理 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.羅爾定理；羅爾定理； 2.拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理。 3.柯西中值定理柯西中值定理 教學(xué)要求教學(xué)要求 1.深刻理解羅爾定理和拉格朗日中值定理深刻理解羅爾定理和拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論；的條件和結(jié)論； 2.熟練掌握用羅爾定理和拉格朗日中值定熟練掌握用羅爾定理和拉格朗日中值定理證明等式或不理證明等式或不 等式解題方法。等式解題方法。 3.了解通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、利用已有的定理證了解通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、利用已有的定理證明柯西中值定理的數(shù)學(xué)思想。明柯西中值定理的數(shù)學(xué)思想。 一、羅爾定理一、羅爾定理 如果函數(shù)如果函數(shù) )(xf滿足條件：滿足條件：

2、（1在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), （2在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ),( ba),()()3(bfaf 0)( f使使得得 那么在那么在 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，( , )a b例：例：32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上上連連續(xù)續(xù)在在 ,)3 , 1(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在 ( 1)(3)0ff1( 1,3) 取( )0f),1(2)( xxf函數(shù)函數(shù)（1）（2）（3）使得使得xyabo)(xfy AB羅爾定理的幾何解釋?zhuān)毫_爾定理的幾何解釋?zhuān)? 2 C;,)()1(上上是是一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線在在baxfy ;),()2(軸軸的的切切線線內(nèi)內(nèi)處處處處有

3、有不不垂垂直直于于曲曲線線在在xba;)3(度度相相同同曲曲線線在在兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)處處的的高高.是是水水平平的的，上上至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線弧弧CAB在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線如下圖如下圖:注意：注意： 若羅爾定理中的三個(gè)條件有任何一個(gè)不滿足，若羅爾定理中的三個(gè)條件有任何一個(gè)不滿足，就不能保證定理的結(jié)論成立就不能保證定理的結(jié)論成立.例如，下列三個(gè)函數(shù)例如，下列三個(gè)函數(shù) 1, 110, 121)(xxxxf)11(|)( xxxg)10()( xxxhoyx11 )(xfy oyx1 1)(xgy oyx11)(xhy 由圖可知，由圖可知，1 , 0,1 , 1,1 , 0 上分別

4、不滿足羅爾定理中的條件上分別不滿足羅爾定理中的條件).3(),2(),1(因而，它們的圖像都沒(méi)有水平切線因而，它們的圖像都沒(méi)有水平切線.這三個(gè)函數(shù)在指定的區(qū)間這三個(gè)函數(shù)在指定的區(qū)間用羅爾定理證明曲線用羅爾定理證明曲線例例1xxxf)1()( 在區(qū)間在區(qū)間)1 , 0(內(nèi)有水平切線內(nèi)有水平切線.證明證明:xxxf)1()( 在閉區(qū)間在閉區(qū)間1 , 0上連續(xù)上連續(xù) . )(xfxx213 )(xf在在)1 , 0(所以所以?xún)?nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo)并且并且 )0(f由羅爾定理：由羅爾定理：在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間)1 , 0(內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn), , 0)( f使使.)(,()(處處的的切切線線是是水

5、水平平的的上上點(diǎn)點(diǎn)從從而而曲曲線線 fxfy 0213)( xxxf令令31 x,31 取取 )31(f332 .)332,31()(處有水平切線處有水平切線上點(diǎn)上點(diǎn)從而曲線從而曲線 xfy0)1( f)(1()1( xxxx二、拉格朗日二、拉格朗日Lagrange中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) )(xf滿足條件：滿足條件：（1在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), （2在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ),( ba那么至少存在一點(diǎn)那么至少存在一點(diǎn)),(ba 使得使得拉格朗日中值定理幾何解釋拉格朗日中值定理幾何解釋:.,ABCAB平平行行于于弦弦在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線上上至至少少有有

6、一一點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線弧弧( )( )( ).f bf afbaABxoy)(xfy ba1 2 1C 2C 證明：證明：則弦則弦AB方程為：方程為：).()(axkafy ).()()(axkafxf )()()(bFaFxF 滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件abafbfk )()(記記的的端端點(diǎn)點(diǎn)重重合合，的的端端點(diǎn)點(diǎn)與與曲曲線線弦弦)(xfyAB )(xF根根據(jù)據(jù)羅羅爾爾定定理理至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)),(ba 0)( F使使0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf ab1 2 xoy)(xfy AB1C2CxMN 0)( kf 即即 由拉格朗日定理的幾何意

7、義可以看出，由拉格朗日定理的幾何意義可以看出，如果在拉格朗日中值定理中加上條件如果在拉格朗日中值定理中加上條件 )()(bfaf 那么就成為羅爾定理那么就成為羅爾定理. 所以羅爾定理可以看成是拉格朗日中所以羅爾定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。值定理的特殊情形。說(shuō)明：說(shuō)明：例例2上上滿滿足足在在區(qū)區(qū)間間驗(yàn)驗(yàn)證證函函數(shù)數(shù) 2, 0cos)( xxf拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理.解解 ,2, 0cos)(上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間因因?yàn)闉楹瘮?shù)數(shù) xxf內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在)2,0( 滿滿足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理故故)(xf.的條件的條件xxfsin)( 而而02)0()2(

8、ff)0cos2(cos2 2 ，由由 2sin 2arcsin 解得解得)2, 0( . 并求并求拉格朗日定理有以下兩個(gè)推論拉格朗日定理有以下兩個(gè)推論:推論推論1內(nèi)內(nèi)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)恒恒等等于于零零，在在區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)),()(baxf.),()(內(nèi)內(nèi)恒恒等等于于常常數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間則則baxf證明證明:條條件件，上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在則則,)(21xxxf,),(21xxba，內(nèi)任取兩點(diǎn)內(nèi)任取兩點(diǎn)在區(qū)間在區(qū)間，不妨設(shè)不妨設(shè)21xx 由由拉拉格格朗朗日日定定理理，得得),)()()(1212xxfxfxf 21xx , 0)( xf由由于于, 0)( f所以所以21(

9、)( ).f xf x于是有,),(21內(nèi)內(nèi)任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)是是區(qū)區(qū)間間，由由于于baxx.),()(內(nèi)內(nèi)恒恒等等于于常常數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間所所以以baxf推論推論2證明證明:內(nèi)內(nèi)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間和和如如果果函函數(shù)數(shù)),()()(baxgxf處處相等，處處相等，),()(xgxf 即即只只相相差差一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)，在在區(qū)區(qū)間間),(ba)()(xgxf和和則則，常數(shù)常數(shù)C即存在一個(gè)即存在一個(gè),)()(Cxgxf 使使,)()(Cxgxf 或或),()()(xgxfxF 令令內(nèi)內(nèi)處處處處有有則則在在),(ba)()()(xgxfxF 0 由推論由推論1知知,)(CxF .)()(Cxgxf

10、 所所以以三、柯西三、柯西Cauchy中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) ( )( )f xg x與滿足條件：滿足條件：那么至少存在一點(diǎn)那么至少存在一點(diǎn)),(ba 使得使得( )( )( ).( )( )( )f bf afg bg ag（1在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), （2在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且 ),( ba( )0g x ( )( )( )( ) ( )( ( )( )( )( )f bf aF xf xf ag xg ag bg a( )( )( )( )( )0( )( )f bf aFfgg bg a( )( )()( )( )()f bfafg bg ag顯然，證明：證明：令令( )F x在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 上 , a b( , )a b可導(dǎo)，且 ，根據(jù)羅爾定理，( )( )0F aF b至少存在一個(gè) ，使得( , )a b因?yàn)?，可得( )0g x 四、課堂小結(jié)四、課堂小結(jié) 1、拉格朗日中值定理注意與羅爾定理的、拉格朗日中值定理注意與羅爾定理的關(guān)系）；關(guān)系）； 2、拉格朗日中值定理的推論；、拉格朗日中值定理的推論； 3、拉格朗日中值定理的應(yīng)用；、拉格朗日中值定理的應(yīng)用； 4、利用函數(shù)構(gòu)造法證明柯西中值定理。、利用函