切線方程與切點(diǎn)弦方程

1、 切線方程與切點(diǎn)弦方程1、 圓的切線方程 一、圓的方程為:(x - a)² + (y - b)² = r²1. 已知：圓的方程為:(x - a)² + (y - b)² = r², 圓上一點(diǎn)P(x0, y0)。 求過點(diǎn)P的切線方程 解： 圓心C(a, b)；直線CP的斜率：k1 = ( y0- b) / ( x0- a) 因?yàn)橹本€CP與切線垂直, 所以切線的斜率：k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b) 根據(jù)點(diǎn)斜式, 求得切線方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = - (x0 -

2、 a) / (y0 - b) (x - x0) 整理得：(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (切線方程公式) 展開后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0² - y0² = 0 (1) 因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上, 所以它的坐標(biāo)滿足方程： (x0 - a)² + (y0 - b)² = r² 化簡(jiǎn): x0² - 2ax0 + a² + y0² - 2by0 + b² = r² 移項(xiàng): - x0² - y0²

3、 = -2ax0 - 2by0 + a² + b² - r² (2) 由(2)代入(1), 得：x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a² + b² - r²) = 0 化簡(jiǎn)：(x0x - ax - ax0 + a²) + (y0y - yb- by0 + b²) = r² 整理： (x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r² 變式-1 已知:圓的方程為:(x - a)² + (y - b)&

4、#178; = r² , 圓外一點(diǎn)P(x0, y0)2、 對(duì)于圓的一般方程:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 過圓上的點(diǎn)的切線方程.2. 已知:圓的方程為:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 圓上一點(diǎn)P(x0, y0)解： 圓心C( -D/2, -E/2 ) 直線CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2) 因?yàn)橹本€CP與切線垂直, 所以切線的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2) 根據(jù)點(diǎn)斜式, 求得切線方程： y - y0 = k2 (x

5、 - x0) y - y0 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2) (x - x0) 整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x0² - y0² = 0 (3) 因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上, 所以它的坐標(biāo)滿足方程： x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F = 0 移項(xiàng): - x0² - y0² = Dx0 + Ey0 + F (4) 由(4)代入(3), 得：x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0 整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 0變式-2 已知:圓的方程為:x² + y² + Dx + Ey + F = 0 , 圓外一點(diǎn)P(x0, y0)2、 圓的切點(diǎn)弦方程 3、 圓錐曲線的切線方程和切點(diǎn)弦方程 設(shè)P(x