巧用三余弦定理解題

1、巧用“三余弦定理”解題AOPQ“三余弦定理”的內(nèi)容：如圖，直線AO是平面 的斜線，AQ是AO在平面內(nèi)的射影，直線AP在平面內(nèi).設(shè)，有以下結(jié)論：.我們可以形象地把這個結(jié)論稱為“三余弦定理”，應(yīng)用“三余弦定理”可以使我們的很多立體幾何問題的解決變得簡單. 圖應(yīng)用“三余弦定理”解題的步驟如下：1. 明確三線：平面內(nèi)的直線（以下簡稱“內(nèi)線”），平面的斜線和斜線在平面內(nèi)的射影.2. 明確三角：斜線與“內(nèi)線”所成為，斜線與射影所成的角為，射影與“內(nèi)線”所成的角為.3. 定理運算.AOPlB例1.如圖,已知AO是平面的一條斜線,OB,B是垂足,AP是內(nèi)一直線,OAP=60o,BAP=45o,求斜線AO與平面

2、所成的角.分析：AP是“內(nèi)線”，AO是斜線，AB是射影，所以，直接利用“三余弦定理”求解.解題過程略.略解：點評：斜線與平面所成的角即斜線與射影所成的角，明確了“三線”與“三角”，直接代定理求解. 圖變式1：已知OAB=45o,BAP=45o,求直線AO與AP所成的角；分析：同例1.變式2：已知OAB=45o,BAP=45o, l/AP, 求直線AO與l所成的角；分析：因為l/AP，直線AO與AP所成的角同AO與l所成的角相等.我們在解題時，只需要明確“三線”，這時l是“內(nèi)線”，AO是斜線，AB是射影，然后斜線 AO與“內(nèi)線”l所成為，斜線AO與射影AB所成的角為，射影AB與“內(nèi)線”l所成的角

3、為, 問題迎刃而解. C1ABCDA1B1D1FE例2如圖，在棱長為1正方體ABCD- A1B1C1D1中，E、F分別是B1C1和CC 1的中點，求異面直線A1B與EF所成角的余弦值. 分析：直線BA1是平面BCC1B1的斜線，BB1是射影，EF為“內(nèi)線”，這樣就明確是三線 ， 再明確三角，然后定理計算即可.解：由題意可知，直線BA1是平面BCC1B1的斜線，BB1是BA1在平面內(nèi)的射影，EF為平面內(nèi)的直線，所以BA1與EF所成的角為，EF與BB1所成的角為 圖 又因為，所以即異面直線A1B與EF所成角的余弦值為點評：只要明確了“三線”，不管他們的位置怎樣，斜線與“內(nèi)線”所成為，斜線與射影所成

4、的角為，射影與“內(nèi)線”所成的角為，明確了“三角”，公式的應(yīng)用水到渠成.變式：若E、F是B1C1和CC 1上的點，滿足EC1= ，F(xiàn)C1= ，求異面直線A1B與EF所成角的余弦值.PABCDE分析：明確“三線”，直線BA1是斜線，BB1是射影，EF為“內(nèi)線”，然后按規(guī)則找出“三角”，定理計算即可.BACS 圖 圖練習(xí)：1.如圖，S是 ABC所在平面外一點，SA，SB，SC兩兩垂直，求證： ABC是銳角三角形2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形， BAD=90o，AD/BC，AB=BC=a,AD=2a,且PA底面ABCD，PD與底面成30o，且AEPD，E為垂足,求異面直線AE與CD所成角的大小“三余弦定理”是一個容易讓人忽視的問題，可能有一些同學(xué)的記憶中幾乎沒有它的位置.但如果我們能夠準確的理解這個定理，并巧用定理去解題，