【高考數(shù)學(xué)秘籍】導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用及綜合應(yīng)用

1、第 20 講 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用及綜合應(yīng)用1 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式 + 10(x 6)2,其中 3vxv6, a 為常數(shù)已知銷售價格X 3為 5 元/千克時，每日可售出該商品11 千克.(1) 求 a 的值；(2) 若該商品的成本為 3 元/千克，試確定銷售價格x 的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.CD (1)因為當(dāng) x= 5 時，y= 11,所以一 + 10(5 6)2= 11,解得 a = 2.5 322(2)由(1)知該商品每日的銷售量y=+ 10(x 6) (3vxv6),x 3所以該商場每日銷售

2、該商品所獲得的利潤22f(x)= + 10(x 6) (x 3)x 32=2+10(x3)(x6) (3vxv6),所以 f (x)= 10(x 6)2+ 2(x 3)(x 6)=30(x 4)(x 6).當(dāng) x 變化時，f(x), f (x)的變化情況如下表x(3,4)4(4,6)f (x)+0一f(x)單調(diào)遞增極大值 42單調(diào)遞減由上表可得，x= 4 是函數(shù) f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當(dāng) x= 4 時，f(X)max= 42.答：當(dāng)銷售價格定為 4 元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.2請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD 是邊長為 60 cm

3、的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A、B、C、D 四個點重合于圖中的點 P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F 是 AB 上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE = FB = x(cm).(1) 若廣告商要包裝盒側(cè)面積S(cm )最大，試問 x 應(yīng)取何值？(2) 若廣告商要包裝盒容積V(cm3)最大，試問 x 應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.2=8(x 15)2+ 1800(0 x30).畫(1)根據(jù)題意，有.22S= 4 2x -(60 2x) = 240 x 8x所以 x= 15 時包裝盒側(cè)面積 S 最大.根據(jù)題意，

4、有V= ( 2x)2#(60 - 2x)= 2 _ 2X2(30 - x)(0 x30). 所以 V = 6,2x(20 - x).當(dāng) 0 x0, V 單調(diào)遞增；當(dāng) 20 x30 時，V 0，則由 f (x)= 0 得 x= In a.當(dāng) x q -m,In a)時，f (x)0.故 f(x)在(-m,in a)上單調(diào)遞減，在(In a, +m)上單調(diào)遞增.若 a0，則由 f (x)= 0 得 x= ln(-.ra當(dāng) xq-m,I n(-2)時，f(x)0.aa故 f(x)在(-m,i n( - 2)上單調(diào)遞減，在(I n( - 2),+m)上單調(diào)遞增.若 a= 0,則 f(x)= e“，所以

5、 f(x)0.若 a0，則由得，當(dāng) x = In a 時，f(x)取得最小值，最小值為f(In a) = -a2In a,從而當(dāng)且僅當(dāng)一 a2In a0，即 a 0.若 a0, 即 a 2e4 時，f(x) 0.綜上，a 的取值范圍是2e3, 1.4此時，包裝盒的高與底面邊長的比值為*60-2xi,2x=221 e4.(2016 四川卷)設(shè)函數(shù) f(x)= ax a In x, g(x)=-，其中 a R R, e= 2.718 為自x e然對數(shù)的底數(shù).(1)討論 f(x)的單調(diào)性；證明：當(dāng) x1 時，g(x)0;確定 a 的所有可能取值，使得f(x)g(x)在區(qū)間(1 ,+ )內(nèi)恒成立.1

6、2ax? -1(1)由題意得 f (x)= 2ax -=-(x 0).x 當(dāng) aw0 時，f (x)v0, f(x)在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞減.1當(dāng) a0 時，由 f (x)= 0 有 x= ,V2a1當(dāng) xq0 , - )時，f (x)v0, f(x)單調(diào)遞減；V2a當(dāng)xq2a ,+s)時，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增.(2)證明：令 s(x) = ex1 x,貝 U s (x) = ex1 1.當(dāng) x 1 時，s (x)0,所以 ex1x,1從而 g(x)= -由知，當(dāng) x 1 時，g(x)0.當(dāng) aw0, x 1 時，f(x)= a(x2 1) In xv0.故當(dāng) f(x) g(x)在區(qū)間(1, +m)內(nèi)恒成立時，必有 a 0.1 1當(dāng)0vav1 時，.習(xí)匸所以此時 f(x) g(x)在區(qū)間(1,+s)內(nèi)不恒成立.1當(dāng) a 勺勺時，令 h(x)= f(x) g(x)(x 1).442、， “，111x111 X 2x+1X 2x+1當(dāng) x 1 時，h (x) = 2ax-+2 ex-+2-=2-2-0.x xx x x xx因此，h(x