高等數(shù)學(xué)61 隨機(jī)樣本

1、6. 1 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本第六章第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念一一、總體和子樣、總體和子樣: :數(shù)理統(tǒng)計(jì)中數(shù)理統(tǒng)計(jì)中, , 通常把研究對(duì)象的全體稱為通常把研究對(duì)象的全體稱為總體總體 , ,構(gòu)成總體的每一個(gè)成員稱為構(gòu)成總體的每一個(gè)成員稱為個(gè)體個(gè)體 . .注注 在實(shí)際問(wèn)題中在實(shí)際問(wèn)題中, , 往往不需要研究總體的一切往往不需要研究總體的一切屬屬性性, , 而需要研究總體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)而需要研究總體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo), , 因此因此, ,可以把研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的全體看作總可以把研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的全體看作總體體, , 把每個(gè)數(shù)值作為個(gè)體把每個(gè)數(shù)值作為個(gè)體 . .對(duì)于選定的某個(gè)數(shù)量

2、指標(biāo)而言對(duì)于選定的某個(gè)數(shù)量指標(biāo)而言, , 每個(gè)個(gè)體的取值每個(gè)個(gè)體的取值是不同的是不同的, , 因而因而 X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, , X 的分布完的分布完全描述了總體中這一數(shù)量指標(biāo)的分布情況全描述了總體中這一數(shù)量指標(biāo)的分布情況 . . 由于由于在處理實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候在處理實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候, , 人們所關(guān)心的只是數(shù)量人們所關(guān)心的只是數(shù)量指標(biāo)指標(biāo), , 因此把總體與數(shù)量指標(biāo)因此把總體與數(shù)量指標(biāo) X 等同起來(lái)等同起來(lái), , 把數(shù)把數(shù)量指標(biāo)量指標(biāo) X 的分布稱為的分布稱為總體的分布總體的分布 . .總體總體有限總體有限總體無(wú)限總體無(wú)限總體(按照按照總體中的總體中的個(gè)體數(shù)量個(gè)體數(shù)量)因?qū)τ跓o(wú)限總體

3、或具有破壞性的試驗(yàn)因?qū)τ跓o(wú)限總體或具有破壞性的試驗(yàn), , 無(wú)法進(jìn)行無(wú)法進(jìn)行 逐一試驗(yàn)逐一試驗(yàn), , 所以一般采用所以一般采用抽樣調(diào)查抽樣調(diào)查的方法的方法 . .從總體中抽取一個(gè)個(gè)體進(jìn)行一次觀察并記錄結(jié)果從總體中抽取一個(gè)個(gè)體進(jìn)行一次觀察并記錄結(jié)果, ,在相同條件下對(duì)總體在相同條件下對(duì)總體 X 進(jìn)行進(jìn)行 n 次次重復(fù)重復(fù)、獨(dú)立獨(dú)立的觀的觀察察 , 將將 n 次試驗(yàn)結(jié)果按試驗(yàn)的次序記為次試驗(yàn)結(jié)果按試驗(yàn)的次序記為 X1 , X2 , , Xn . 因試驗(yàn)間是獨(dú)立重復(fù)的因試驗(yàn)間是獨(dú)立重復(fù)的, 所以可認(rèn)為所以可認(rèn)為X1 , X2 , , Xn 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 且與且與 X 具有相同分布具有相同分布 .

4、1、定義、定義6.1:與總體與總體 X 同分布同分布, 則稱則稱( X1 , X2 , , Xn )為總體為總體若若 X1 , X2 , , Xn 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量, 且且X 的的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 . 樣本中含有分量的個(gè)數(shù)樣本中含有分量的個(gè)數(shù) n 稱為該稱為該樣本樣本的的容量容量 .當(dāng)當(dāng) n 次觀察一經(jīng)完成次觀察一經(jīng)完成 , 就可得到一組實(shí)數(shù)就可得到一組實(shí)數(shù) x1 , x2 , , xn , 它們依次是隨機(jī)變量它們依次是隨機(jī)變量X1 , X2 , , Xn 的的觀察值觀察值, 稱為稱為樣本值樣本值 .注注 對(duì)于有限總體對(duì)于有限總體, , 采用放回抽樣就得到簡(jiǎn)

5、單隨采用放回抽樣就得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本機(jī)樣本 , 但放回抽樣使用不方便但放回抽樣使用不方便 , 故當(dāng)總體故當(dāng)總體中個(gè)體數(shù)中個(gè)體數(shù) N 比樣本容量比樣本容量 n 大得多時(shí)大得多時(shí), 將不放將不放回抽樣近似看作有放回抽樣回抽樣近似看作有放回抽樣 .對(duì)于無(wú)限總體對(duì)于無(wú)限總體來(lái)說(shuō)來(lái)說(shuō), , 抽取一個(gè)個(gè)體并不影響抽取一個(gè)個(gè)體并不影響其分布其分布, 所以常采用不放回抽樣所以常采用不放回抽樣 . 例如例如, 檢檢驗(yàn)一大批產(chǎn)品的質(zhì)量時(shí)驗(yàn)一大批產(chǎn)品的質(zhì)量時(shí) , 常常是從中抽取常常是從中抽取 n個(gè)樣品來(lái)進(jìn)行試驗(yàn)個(gè)樣品來(lái)進(jìn)行試驗(yàn), 以此來(lái)推斷總體的情況以此來(lái)推斷總體的情況 .2、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的分布函數(shù)、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的分

6、布函數(shù):總體總體 X 的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 則則( X1 , X2 , , Xn )若若 F(x)是總體是總體 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù), X1 , X2 , , Xn 是是的的分布函數(shù)為分布函數(shù)為12=1(,) =() ,nniiF xxxF x若若 X 是連續(xù)型的是連續(xù)型的, 其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為 f (x) , 則則( X1 , X2 , , Xn )的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為12=1(,) =() .nniif xxxf x二二、子樣分布、子樣分布: :在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, , 作為研究對(duì)象的總體作為研究對(duì)象的總體 X 永遠(yuǎn)是永遠(yuǎn)是未知的未知的. .

7、即使是由以往的經(jīng)驗(yàn)知道總體即使是由以往的經(jīng)驗(yàn)知道總體 X 的分的分布布, , 但其某些參數(shù)也是未知的但其某些參數(shù)也是未知的 . . 這就需要對(duì)總這就需要對(duì)總體進(jìn)行抽樣調(diào)查體進(jìn)行抽樣調(diào)查, , 從而作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)從而作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì) . . 通常通常的作法是取得一組樣本值的作法是取得一組樣本值 , , 根據(jù)樣本值對(duì)總體根據(jù)樣本值對(duì)總體分布進(jìn)行了解與分析分布進(jìn)行了解與分析 . . 這就需要了解子樣中數(shù)這就需要了解子樣中數(shù)據(jù)分布情況據(jù)分布情況, , 即子樣分布的情況即子樣分布的情況 . . 1、子樣的頻數(shù)分布和頻率分布、子樣的頻數(shù)分布和頻率分布: :例例6.1 從紡織車間抽取從紡織車間抽取 7 匹布匹

8、布, , 檢查每匹布上的檢查每匹布上的疵疵點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù), , 得到一組子樣值得到一組子樣值 ( 0, 3, 2, 1, 1, 0, 1 ) . 把這把這 7 個(gè)子樣值按從小到大的順序排列個(gè)子樣值按從小到大的順序排列, 相同相同的數(shù)合并的數(shù)合并, , 并記錄下重復(fù)的次數(shù)并記錄下重復(fù)的次數(shù), , 就獲得如表就獲得如表所示的頻數(shù)表所示的頻數(shù)表 . . 將其稱為將其稱為頻數(shù)分布頻數(shù)分布 . .X 0 1 2 3頻數(shù)頻數(shù) 2 3 1 1頻數(shù)是子樣中各個(gè)不同數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)頻數(shù)是子樣中各個(gè)不同數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù) , , 而而頻率是指頻數(shù)除以子樣容量頻率是指頻數(shù)除以子樣容量 . . X 0 1 2 3頻率頻率 2/7

9、 3/7 1/7 1/7例例6.1的頻率分布可用下表表示的頻率分布可用下表表示 .例例6.2 一自動(dòng)化車床連續(xù)用刀具加工某種零件一自動(dòng)化車床連續(xù)用刀具加工某種零件, ,從換上新刀具到刀具損壞為止加工的零件個(gè)數(shù)從換上新刀具到刀具損壞為止加工的零件個(gè)數(shù)稱為刀具的壽命稱為刀具的壽命, , 現(xiàn)記錄現(xiàn)記錄100把刀具的壽命把刀具的壽命 : :344 352 340 351 353 348 353 349 351 355350 345 352 349 355 341 351 355 352 348353 348 341 346 349 350 351 348 353 362338 355 352 356

10、350 351 349 357 348 358353 346 352 350 352 345 347 354 351 347346 343 347 343 357 349 353 345 350 358354 344 349 340 345 359 348 356 346 357359 349 355 354 344 353 346 351 354 352352 344 347 363 355 342 366 352 350 347346 349 350 360 346 358 350 345 349 355將所得數(shù)據(jù)由小到大依次排列將所得數(shù)據(jù)由小到大依次排列, 相同的合并相同的合并, 即可得

11、子樣頻數(shù)分布與頻率分布即可得子樣頻數(shù)分布與頻率分布:X 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 頻數(shù)頻數(shù) 8 7 9 7 4 7 2 3 3 2 1頻率頻率 0.08 0.07 0.09 0.07 0.04 0.07 0.02 0.03 0.03 0.02 0.01X 362 363 366頻數(shù)頻數(shù) 1 1 1頻率頻率 0.01 0.01 0.01X 338 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 頻數(shù)頻數(shù) 1 2 2 1 2 4 5 7 5 6 9頻率頻率 0.01 0.02 0.02 0.01 0.02

12、 0.04 0.05 0.07 0.05 0.06 0.09一般地一般地, , 子樣值子樣值(x1 , x2 , , xn)中數(shù)據(jù)可以按由中數(shù)據(jù)可以按由小到大依次排列小到大依次排列, , 把相同的數(shù)合并把相同的數(shù)合并, , 并指出其并指出其12,n xxx設(shè)設(shè)子子樣樣中中不不同同的的數(shù)數(shù)值值為為12, l m mm相相應(yīng)應(yīng)的的頻頻數(shù)數(shù)為為其其中中12=1, =lliixxxmn .且且頻數(shù)頻數(shù) . .子樣的頻率分布子樣的頻率分布X x1* x2* xn* 頻數(shù)頻數(shù) mi m1 m2 ml子樣的頻數(shù)分布子樣的頻數(shù)分布X x1* x2* xn* 頻數(shù)頻數(shù) mi / n m1/n m2/n ml /

13、n注注 頻率等于頻數(shù)頻率等于頻數(shù) mi 除以除以 n .2、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù): :(1) 定義定義:設(shè)子樣值為設(shè)子樣值為 (x1 , x2 , , xn) , 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) x , 子樣子樣值中小于或等于值中小于或等于 x 的個(gè)數(shù)記為的個(gè)數(shù)記為 m(x) , 則稱則稱( )( ) =nm xFx n為子樣的為子樣的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) . .經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有相同的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有相同的性質(zhì)性質(zhì), , 如如 非降性、右連續(xù)性非降性、右連續(xù)性, , Fn( - -) = 0 , Fn( + +) = 1 .(2) 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的具體表達(dá)

14、形式經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的具體表達(dá)形式: :11121223 0 , , , ( ) = , nxxmxxxnm + mxxxnFx 12+1 , , 1 , kkkl m + m + mxxxnxx (3) 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的圖形經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的圖形: :1OFn(x)xx2*x1*xl*1m n2m nlm n經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的圖形是一梯形曲線經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的圖形是一梯形曲線 , , 可以看出可以看出它類似于離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)它類似于離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) . .例例6.3 在例在例6.1中子樣的中子樣的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的表達(dá)式為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的表達(dá)式為 0 , 02 , 0175( ) = , 12 76

15、 , 23 7 1 , 3nxxFxx xx 其其圖形如下圖圖形如下圖: :1OFn(x)173717x12327limsup( )( )= 1 .nnxPFxF x+ + - - + + - - 定理定理6.1(格利汶科格利汶科(W.Glivenko)定理定理):經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) Fn(x) 以概率以概率 1 關(guān)于關(guān)于 x 一致收斂于一致收斂于總體分布函數(shù)總體分布函數(shù) F(x) , 即即3、直方圖、直方圖: :完成直方圖的完成直方圖的步驟步驟:對(duì)總體對(duì)總體X作作n次觀測(cè)次觀測(cè), , 得到得到n個(gè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)據(jù) x1 , x2 , , xn , (1) 找出這找出這n個(gè)數(shù)據(jù)中的最小最大值個(gè)

16、數(shù)據(jù)中的最小最大值, 分別設(shè)為分別設(shè)為x1*=minx1, x2, , xn, xn*=maxx1, x2, , xn,從中插入從中插入 k - -1 個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn): :(2) 取區(qū)間取區(qū)間( a , b , 使使 a 略小于略小于 x1*, b 略大于略大于 xn* ,a = a0 a1 a2 ak- -1 ak = b將區(qū)間分成將區(qū)間分成 k 個(gè)子區(qū)間個(gè)子區(qū)間(a0 , a1 , (a1 , a2 , , (ak- -1 , ak 稱稱 ai - -ai- -1 為第為第 i 組組距組組距, (ai - -ai- -1)/2為第為第 i 組的組的組中值組中值 . 各組組距可以相等各組組距可

17、以相等, 也可以不等也可以不等 . 子區(qū)間的個(gè)數(shù)子區(qū)間的個(gè)數(shù) k 一般可取一般可取8 15個(gè)個(gè), 太多或太少太多或太少均不易顯示出分布特征均不易顯示出分布特征 . 另外另外, 每個(gè)區(qū)間的端每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)應(yīng)比所給數(shù)據(jù)的有效數(shù)字多一位點(diǎn)應(yīng)比所給數(shù)據(jù)的有效數(shù)字多一位 .(3) 計(jì)算數(shù)據(jù)落入各區(qū)間的頻數(shù)計(jì)算數(shù)據(jù)落入各區(qū)間的頻數(shù) ni 及頻率及頻率 f i :以以 f i / (ai -ai - -1) 為高作為高作 n 個(gè)小矩形個(gè)小矩形, 每個(gè)小每個(gè)小(4) 在在 x 軸上截取各子區(qū)間軸上截取各子區(qū)間, 并以各子區(qū)間為底并以各子區(qū)間為底 , fi = ni / n ( i =1,2, ,k )矩形的面

18、積矩形的面積 Si = (ai -ai - -1) f i / (ai -ai - -1)= f i ,即即 Si 等于數(shù)據(jù)落入第等于數(shù)據(jù)落入第 i 個(gè)小區(qū)間的概率個(gè)小區(qū)間的概率, 且有且有=1=1=1=1= 1ninnniiiiiiinnnSf nnn這樣就得到了直方圖這樣就得到了直方圖 .當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量 n 充分大時(shí)充分大時(shí), 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 落入落入(ai - -1 , ai 內(nèi)的頻率近似等于其概率內(nèi)的頻率近似等于其概率, 即即f i P ai - -1 X ai , i =1,2, , k .利用直方圖便可大致看出隨機(jī)變量利用直方圖便可大致看出隨機(jī)變量 X 的分的分布規(guī)律布規(guī)律 .例例6.4 作出作出例例6.2的直方圖的直方圖 .所給出的樣本觀測(cè)值中最小是所給出的樣本觀測(cè)值中最小是338, 最大