高中數(shù)學(xué)平面向量專題復(fù)習(xí)含例題練習(xí)

1、平面向量專題復(fù)習(xí)一向量有關(guān)概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：2零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩

2、個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！（因?yàn)橛?；三點(diǎn)共線共線；6相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如例1：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_2、 向量的表示1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，等；3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示

3、。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1e2。如例2（1）若，則_（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. （3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是_四實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)0時(shí)，注意：0。五平面向量的數(shù)量積：1兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，稱為向

4、量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直。2平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。3在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。4的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。例3如（1）ABC中，則_（2）已知，與的夾角為，則等于

5、_ （3）已知，則等于_（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_例4已知，且，則向量在向量上的投影為_例5（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是 。六向量的運(yùn)算：1幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。2坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：向量的加減法運(yùn)算：，。實(shí)數(shù)與向量的積：。若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的

6、終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。平面向量數(shù)量積：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夾角；（2）若x，函數(shù)的最大值為，求的值向量的模：。兩點(diǎn)間的距離：若，則。例6：_；_；_例7（1）已知點(diǎn)，若，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（2）已知，則 例8設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_例9已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_七向量的運(yùn)算律：1交換律：，；2結(jié)合律：，；3分配律：，。例10下列命題中： ； ； ； 若，則或；若則；。其中正確的是_提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘

7、以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？八向量平行(共線)的充要條件：0。例11(1)若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同（2）已知，且，則x_（3）設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線九向量垂直的充要條件： .特別地。例11(1)已知，若，則 （2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ （3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是_ 十向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；

8、當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).（3）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為。為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)； （4）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.例12若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標(biāo)為_例13平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_高考真題選講一、選擇題1 設(shè) ,向量且 ,則（）ABCD3 在中,設(shè)點(diǎn)滿足.若,則（）ABCD24 設(shè)、都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使成立的充分條件是（）A且 B C D5 已知向量a = (1,1),b = (2,x).若a

9、83;b = 1,則x =（）A1BCD16 對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和,定義,若平面向量、滿足,與的夾角,且和都在集合中,則（）AB1C D7 若向量,則（）AB C D9 中,邊的高為,若,則（）AB C D二、填空題10在ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則=_.12已知向量,夾角為,且|=1,|=,則|=_.14如圖,在平行四邊形ABCD中 ,APBD,垂足為P,且= .15已知向量,則()與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為_;()向量與向量夾角的余弦值為_.16 已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則的值為_.17 設(shè)向量,若,則.鞏固練習(xí)例1 設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡：， 例2設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k (kÎR)，若，試求k例3 已知向量，且，求實(shí)數(shù)的值例4已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)例5已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角例6 已知，按下列條件求實(shí)數(shù)的值 （1）；（2）；例7已知，且與