六年級奧數(shù)解析(共36講)

1、繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，涉及分?jǐn)?shù)與小數(shù)的定義新運(yùn)算問題，綜合性較強(qiáng)的計(jì)算問題1繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算必須注意多級分?jǐn)?shù)的處理，如下所示：甚至可以簡單地說：“先算短分?jǐn)?shù)線的，后算長分?jǐn)?shù)線的”找到最長的分?jǐn)?shù)線，將其上視為分子，其下視為分母2一般情況下進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘、除運(yùn)算使用真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)，而不使用帶分?jǐn)?shù)所以需將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)3某些時(shí)候?qū)⒎謹(jǐn)?shù)線視為除號，可使繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算更加直觀4對于定義新運(yùn)算，我們只需按題中的定義進(jìn)行運(yùn)算即可5本講要求大家對分?jǐn)?shù)運(yùn)算有很好的掌握，可參閱思維導(dǎo)引詳解五年級.1計(jì)算：【分析與解】原式=2計(jì)算：【分析與解】注意，作為被除數(shù)的這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子、分母均含有于是，我們想到改變運(yùn)算順序，如果分子與分

2、母在后的兩個(gè)數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果一致，那么作為被除數(shù)的這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的值為1；如果不一致，也不會(huì)增加我們的計(jì)算量所以我們決定改變作為被除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序 而作為除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)，我們注意兩個(gè)加數(shù)的分母相似，于是統(tǒng)一通分為1995×0.5具體過程如下：原式=3計(jì)算：【分析與解】原式=4計(jì)算：已知=，則x等于多少?【分析與解】方法一：交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1.25方法二：有，所以；所以，那么1.255求這10個(gè)數(shù)的和【分析與解】 方法一：=.方法二：先計(jì)算這10個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字和為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十位數(shù)字和為4×9=36，加上個(gè)位的進(jìn)位的3，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的百

3、位數(shù)字和為4×8=32，加上十位的進(jìn)位的3，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的千位數(shù)字和為4×7=28，加上百位的進(jìn)位的3，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的萬位數(shù)字和為4×6=24，加上千位的進(jìn)位的3，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十萬位數(shù)字和為4×5=20，加上萬位的進(jìn)位的2，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的百萬位數(shù)字和為4×4=16，加上十萬位的進(jìn)位的2，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的千萬位數(shù)字和為4×3=12，加上百萬位的進(jìn)位的1，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的億位數(shù)字和為4×2=8，加上千萬位的進(jìn)位的1，為；最后計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十億位數(shù)字和為4×1=4，加上億

4、位上沒有進(jìn)位，即為所以，這10個(gè)數(shù)的和為49382715916如圖1-1，每一線段的端點(diǎn)上兩數(shù)之和算作線段的長度，那么圖中6條線段的長度之和是多少?【分析與解】 因?yàn)槊總€(gè)端點(diǎn)均有三條線段通過，所以這6條線段的長度之和為：7我們規(guī)定，符號“”表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：352.9=2.93.5=3.5符號“”表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：3.52.9=2.93.5=2.9請計(jì)算：【分析與解】原式8規(guī)定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，如果，那么方框內(nèi)應(yīng)填的

5、數(shù)是多少?【分析與解】=.9從和式中必須去掉哪兩個(gè)分?jǐn)?shù)，才能使得余下的分?jǐn)?shù)之和等于1?【分析與解】 因?yàn)?，所?的和為l，因此應(yīng)去掉與.10如圖1-2排列在一個(gè)圓圈上10個(gè)數(shù)按順時(shí)針次序可以組成許多個(gè)整數(shù)部分是一位的循環(huán)小數(shù)，例如1.892915929那么在所有這種數(shù)中。最大的一個(gè)是多少?【分析與解】有整數(shù)部分盡可能大，十分位盡可能大，則有92918較大，于是最大的為11請你舉一個(gè)例子，說明“兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的和可以是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，而且這三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母誰也不是誰的約數(shù)”.【分析與解】 有， 評注：本題實(shí)質(zhì)可以說是尋找孿生質(zhì)數(shù)，為什么這么說呢?注意到，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)a、b、c兩兩互質(zhì)時(shí)，顯然滿足題意顯然當(dāng)a

6、、b、c為質(zhì)數(shù)時(shí)一定滿足，那么兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于另一個(gè)質(zhì)數(shù)，必定有一個(gè)質(zhì)數(shù)為2，不妨設(shè)a為2，那么有，顯然b、c為一對孿生質(zhì)數(shù)即可得出一般公式：，c與c+2均為質(zhì)數(shù)即可.12計(jì)算：【分析與解】原式=.13已知.問a的整數(shù)部分是多少？【分析與解】.因?yàn)樗?同時(shí)所以a.綜上有a所以a的整數(shù)部分為10114問與相比，哪個(gè)更大，為什么?【分析與解】 方法一：令，有.而B中分?jǐn)?shù)對應(yīng)的都比A中的分?jǐn)?shù)大，則它們的乘積也是BA，有A×A4×B，所以有A×A，那么A即與相比，更大方法二：設(shè)，則=，顯然、都是小于1的，所以有A2，于是A.15下面是兩個(gè)1989位整數(shù)相乘：問：乘積的各

7、位數(shù)字之和是多少?【分析與解】 在算式中乘以9，再除以9，則結(jié)果不變因?yàn)槟鼙?整除，所以將一個(gè)乘以9，另一個(gè)除以9，使原算式變成：=得到的結(jié)果中有1980÷9=220個(gè)“123456790”和“987654320”及一個(gè)“12345678”和一個(gè)“987654321”，所以各位數(shù)之和為：+評注：111111111÷9=12345679；M×的數(shù)字和為9×k(其中M)可以利用上面性質(zhì)較快的獲得結(jié)果本講主要是補(bǔ)充計(jì)算綜合(I)未涉及和涉及不深的問題，但不包括多位數(shù)的運(yùn)算1n×(n+1)=n×(n+1)×(n+2)-(n-1)&#

8、215;n×(n+1)÷3；2從1開始連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的平方和的計(jì)算公a式： 3平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)1已知a=試比較a、b的大小.【分析與解】其中A=99,B=99+因?yàn)锳<B，所以98+ >98+，所以有a < b2試求的和【分析與解】 記則題目所要求的等式可寫為：而所以原式的和為1評注：上面補(bǔ)充的兩例中體現(xiàn)了遞推和整體思想3試求1+2+3+4+99+100的值?【分析與解】 方法一：利用等差數(shù)列求和公式，(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2=(1+100)×100÷2=5050方法二：倒序相加，1+2+

9、3+4+5+ 97+98+99+100 100+99+98+97+96+4+3+2+1上下兩個(gè)數(shù)相加都是101，并且有100組，所以兩倍原式的和為101×100，那么原式的和為10l×100÷2=5050方法三：整數(shù)裂項(xiàng)(重點(diǎn))，原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+100×2)÷2=5050.4試求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+99×100 【分析與解】方法一：整數(shù)裂項(xiàng)原式=(1×2×3+2×3

10、5;3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+99×100×3)÷3 =1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+99×100×(101-98)÷3 方法二：利用平方差公式12+22+32+42+n2=原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99 =12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+

11、99 = =328350+4950=3333005計(jì)算下列式子的值： 0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+9.7×9.9+9.810.0【分析與解】這個(gè)題看上去是一個(gè)關(guān)于小數(shù)的問題，實(shí)際上我們可以先把它們變成整數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算即先計(jì)算1×3+24+3×5+46+9799+98×100。再除以100方法一：再看每一個(gè)乘法算式中的兩個(gè)數(shù)，都是差2，于是我們?nèi)菀紫氲搅秧?xiàng)的方法 0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+9.7×9.9+9.810

12、.0=(1×3+2×4+3×5+4×6+97×99+98×100)÷100=(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+(97×98+97)+(98×99+98)÷100=(1×2+2×3+3×4+4×5+97×98+98×99)+(1+2+3+4+97+98)÷100=(×98×99×100+×98×99)÷

13、;100=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+9.7×9.9+9.8×10.0=(1×3+2×4+3×5+4×6+97×99+98×l00)÷100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1)÷100=(11+22+32+42+52+992-99)÷100=(×99×100×199-99)÷

14、;100=16.5×199-0.99=16.5×200-16.5-0.99 =3282.51評注：首先，我們要清楚數(shù)與數(shù)之間是相通的，小數(shù)的計(jì)算與整數(shù)的計(jì)算是有聯(lián)系的下面簡單介紹一下整數(shù)裂項(xiàng)1×2+2×3+3×4+(n-1)×n=×1×2×3+2×3×3+3×4×3+(n-1)×n×3=×1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+(n-1)×nn+1-(n-

15、2)=6計(jì)算下列式子的值： 【分析與解】 雖然很容易看出可是再仔細(xì)一看，并沒有什么效果，因?yàn)檫@不像分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng)我們再來看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式12+22+32+n2=×n×(n+1)×(2n+1)，于是我們又有減號前面括號里的式子有10項(xiàng)，減號后面括號里的式子也恰好有10項(xiàng)，是不是“一個(gè)對一個(gè)”呢?=7計(jì)算下列式子的值：【分析與解】顯然直接求解難度很大，我們試著看看是否存在遞推的規(guī)律.顯然12+1=2；所以原式=198012×2=396024習(xí)題：計(jì)算17×18+18×19+19×20+29&

16、#215;30的值提示：可有兩種方法，整數(shù)裂項(xiàng)，利用1到n的平方和的公式.答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.多位數(shù)的運(yùn)算，涉及利用10k-1，提出公因數(shù)，遞推等方法求解問題一、10k-1的運(yùn)用：在多位數(shù)運(yùn)算中，我們往往運(yùn)用10k-1來轉(zhuǎn)化問題；如：×59049我們把轉(zhuǎn)化為÷3，于是原式為×59049=（÷3）×59049=×59049=（-1）×19683=19683×

17、;-19683而對于多位數(shù)的減法，我們可以列個(gè)豎式來求解；+1如：，于是為 簡便計(jì)算多位數(shù)的減法，我們改寫這個(gè)多位數(shù)原式=×2×3×3×=×2×3×=×（-1）=×-=,于是為.2計(jì)算=A×A，求A【分析與解】 此題的顯著特征是式子都含有，從而找出突破口. = =×（-1） =×（） =×（×3×3）=A2所以，A.3計(jì)算××25的乘積數(shù)字和是多少?【分析與解】我們還是利用=來簡便計(jì)算，但是不同于上式的是不易得出湊成，于是我們

18、就創(chuàng)造條件使用：××25=×（）××（）+1×25=×（）××（）+1×25=××2×-2×2×（）+1×25=×4×-2×-2=×-×=100×-50×=(求差過程詳見評注)=所以原式的乘積為那么原式乘積的數(shù)字和為1×2004+5×2004=12024評注：對于的計(jì)算，我們再詳細(xì)的說一說=4計(jì)算的積.【分析與解】 我們先還是同上例來湊成；(求差過

19、程詳見評注)我們知道能被9整除，商為：049382716又知1997個(gè)4，9個(gè)數(shù)一組，共221組，還剩下8個(gè)4，則這樣數(shù)字和為8×4=32,加上后面的3，則數(shù)字和為35，于是再加上2個(gè)5，數(shù)字和為45，可以被9整除能被9整除，商為04938271595；我們知道能被9整除，商為：061728395；這樣9個(gè)數(shù)一組，共221組，剩下的1995個(gè)5還剩下6個(gè)5，而6個(gè)5和1個(gè)、6，數(shù)字和36，可以被9整除能被9整除，商為0617284于是，最終的商為：評注：對于-計(jì)算，我們再詳細(xì)的說一說-+1-+1.二、提出公因式：有時(shí)涉及乘除的多位數(shù)運(yùn)算時(shí)，我們往往需提出公因式再進(jìn)行運(yùn)算，并且往往公因

20、式也是和式或者差式等5.計(jì)算：（1998+19981998+199819981998+）÷（1999+19991999+199919991999）×1999【分析與解】 1998×原式1998（1+10001+100010001+）÷1999×（1+10001+100010001+）×19991998÷1999×19991998.6試求1993×123×999999乘積的數(shù)字和為多少?【分析與解】 我們可以先求出1993×123的乘積，再計(jì)算與(10000001)的乘積，但是1993&

21、#215;123還是有點(diǎn)繁瑣設(shè)1993×123=M，則(1000×123)123000<M<(2000×123=)246000，所以M為6位數(shù)，并且末位不是0；令M則M×999999M×（1000000-1）1000000M-M-+1+1那么這個(gè)數(shù)的數(shù)字和為：a+b+c+d+e+(f1)+(9a)+(9b)+(9c)+(9d)+(9e)+(9f+1)=9×6=54所以原式的計(jì)算結(jié)果的數(shù)字和為54評注：M×的數(shù)字和為9×k(其中M的位數(shù)為x，且xk)7試求9×99×9999×

22、99999999××××乘積的數(shù)字和為多少?【分析與解】 通過上題的計(jì)算，由上題評注：設(shè)9×99×9999×99999999××××M， 于是M×類似的情況，于是，確定好M的位數(shù)即可；注意到9×99×9999×99999999×××M，則M<10×100×100013×100000000×××其中k=1+2+4+8+16+512=1024l=1023；

23、即M<，即M最多為1023位數(shù)，所以滿足的使用條件，那么M與乘積的數(shù)字和為1024×9=102401024=9216原式的乘積數(shù)字和為9216三、遞推法的運(yùn)用：有時(shí)候，對于多位數(shù)運(yùn)算，我們甚至可以使用遞推的方法來求解，也就是通常的找規(guī)律的方法8我們定義完全平方數(shù)A2=A×A，即一個(gè)數(shù)乘以自身得到的數(shù)為完全平方數(shù)；已知：1234567654321×49是一個(gè)完全平方數(shù)，求它是誰的平方?【分析與解】 我們不易直接求解，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來求解：121112；123211112；123432111112于是，我們歸納為1234

24、n4321=（）2所以，1234567654321：11111112；則，1234567654321×49=11111112×72=77777772所以，題中原式乘積為7777777的平方評注：以上歸納的公式1234n4321（）2，只有在n<10時(shí)成立9. =A2，求A為多少? 求是否存在一個(gè)完全平方數(shù)，它的數(shù)字和為2005？【分析與解】 方法一：問題直接求解有點(diǎn)難度，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來求解：注意到有可以看成，其中n2004；尋找規(guī)律：當(dāng)n=1時(shí)，有49=72；當(dāng)n=2時(shí)，有4489=672；當(dāng)n=3時(shí)，有444889=667

25、2； 于是，類推有=方法二：下面給出嚴(yán)格計(jì)算：=+1；則+1×（4×+8）+1×4×（+1）+8+1×4×（）+12+1（）2×36+12×+1（）2×62+2×（6×）+1（）2由知，于是數(shù)字和為(4n+8n一8+9)=12n+1=2005；于是，n=167，所以=，所以存在，并且為.10計(jì)算×9×的乘積是多少?【分析與解】 采用遞推的方法6×9×3=162； 66×9×33=19602； 666×9×3

26、33=1996002； 于是，猜想×9×= ×9×=評注：我們與題l對比，發(fā)現(xiàn)題1為×9×3×使用遞推的方法就有障礙,=10kl這種方法適用面要廣泛一點(diǎn)練習(xí)1設(shè)N=×9×，則N的各位數(shù)字之和為多少?練習(xí)2乘積×的積是多少?各位數(shù)字之和又是多少?練習(xí)3試求×的各位數(shù)字之和是多少?成本、利潤、價(jià)格等基本經(jīng)濟(jì)術(shù)語，以及它們之間的關(guān)系各種已知數(shù)據(jù)或所求結(jié)果中包含比例與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題，有時(shí)恰當(dāng)選取較小的量作為一個(gè)單位，司以實(shí)現(xiàn)整數(shù)化計(jì)算1迎春農(nóng)機(jī)廠計(jì)劃生產(chǎn)一批插秧機(jī)，現(xiàn)已完成計(jì)劃的56，如果再生

27、產(chǎn)5040臺(tái)，總產(chǎn)量就超過計(jì)劃產(chǎn)量的16那么，原計(jì)劃生產(chǎn)插秧機(jī)多少臺(tái)?【分析與解】 5040÷(1+16-56)=8400(臺(tái))2圓珠筆和鉛筆的價(jià)格比是4：3，20支圓珠筆和21支鉛筆共用715元問圓珠筆的單價(jià)是每支多少元?【分析與解】 設(shè)圓珠筆的價(jià)格為4，那么鉛筆的價(jià)格為3，則20支圓珠筆和21支鉛筆的價(jià)格為20×4+21×3=143，則單位“1”的價(jià)格為71.5÷143：0.5元所以圓珠筆的單價(jià)是O.5×4=2(元)3李大娘把養(yǎng)的雞分別關(guān)在東、西兩個(gè)院內(nèi)已知東院養(yǎng)雞40只；現(xiàn)在把西院養(yǎng)雞總數(shù)的賣給商店，賣給加工廠，再把剩下的雞與東院全部的雞

28、相加，其和恰好等于原來東、西兩院養(yǎng)雞總數(shù)的50.原來東、西兩院一共養(yǎng)雞多少只?【分析與解】 方法一：設(shè)原來東西兩院一共養(yǎng)雞只，那么西院養(yǎng)雞只依題意：,解出.即原來東、西兩院一共養(yǎng)雞280只方法二：50即，東、西兩院剩下的雞等于東院的加上西院的，即20+西院原養(yǎng)雞數(shù)有東院剩下40只雞，西院剩下原的雞所以有西院原養(yǎng)雞(4020)÷=240只，即原來東、西兩院一共養(yǎng)雞40+240=280只4用一批紙裝訂一種練習(xí)本如果已裝訂120本，剩下的紙是這批紙的40；如果裝訂了185本，則還剩下1350張紙這批紙一共有多少張?【分析與解】 方法一：裝訂120本，剩下40的紙，即用了60的紙那么裝訂18

29、5本，需用185×(60÷120)=925的紙，即剩下1-925=75的紙，為1350張所以這批紙共有1350÷75=18000張方法二：120本對應(yīng)(1-40=)60的總量，那么總量為120÷60=200本當(dāng)裝訂了185本時(shí)，還剩下200-185：15本未裝訂，對應(yīng)為1350張，所以每本需紙張：1350÷15=90張，那么200本需200×90=18000張即這批紙共有18000張5有男女同學(xué)325人，新學(xué)年男生增加25人，女生減少5，總?cè)藬?shù)增加16人那么現(xiàn)有男同學(xué)多少人?【分析與解】 男生增加25人，女生減少5，而總?cè)藬?shù)增加了16

30、人，說明女生減少了25-16=9人，那么女生原來有9÷5=180人，則男生有325-180=145人增加25人后為145+25=170人，所以現(xiàn)有男同學(xué)170人6有一堆糖果，其中奶糖占45，再放人16塊水果糖后，奶糖就只占25那么，這堆糖果中有奶糖多少塊? 【分析與解】方法一：原來奶糖占，后來占，因此后來的糖果數(shù)是奶糖的4倍，也比原來糖果多16粒，從而原來的糖果是16+( 1)=20塊.其中奶糖有20×=9塊方法二：原來奶糖與其他糖(包含水果糖)之比是45：(1-45)=9：11,設(shè)奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是25：(1-25)=1：3=9

31、：27,奶糖的份數(shù)不變，其他糖的份數(shù)增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16塊，所以，l份即1塊奶糖占9份，就是9塊奶糖7甲乙兩包糖的重量比是4：l，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲乙兩包糖的重量比變?yōu)?：5那么兩包糖重量的總和是多少克?【分析與解】 兩包糖數(shù)量的總數(shù)是 克.8有若干堆圍棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，且每堆中自子都占28小明從某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，現(xiàn)在，在所有的棋子中，白子將占32那么，共有棋子多少堆?【分析與解】 方法一：設(shè)有堆棋子，每堆有棋子“1”根據(jù)拿走黑子白子總數(shù)不變列方程得×32，化簡得28 =32(-)，兩邊同除以4，得7=8(-

32、)，解得=4即共有棋子4堆方法二：注意到所有棋子中的白子個(gè)數(shù)前后不變，所以設(shè)白子數(shù)為“1”那么有： 黑子變化了，對應(yīng)為堆；所以對應(yīng)l堆而開始共有棋子l+，所以共有堆9幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生已知大班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3，中班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為2：1，那么大班有女生多少名?【分析與解】設(shè)大班女生有名，則中班女生有(18-)名根據(jù)男生數(shù)可列出方程：×+(18-)×=32，解得=12所以大班有女生12名10某校四年級原有2個(gè)班，現(xiàn)在要重新編為3個(gè)班，將原一班的號與原二班的丟組成新一班，將原一班的與原二班的吉組成新二班，余下的30人組成新三班如果新一班

33、的人數(shù)比新二班的人數(shù)多10，那么原一班有多少人?【分析與解】有新三班的為原一、二班總?cè)藬?shù)的1-，為30人所以原來兩班總?cè)藬?shù)是：30÷=72(人)則新一班與新二班人數(shù)總和是72-30=42(人)現(xiàn)在再把新二班人數(shù)算作1份新一班人數(shù)=42 =22(人)，新二班人數(shù)=42-22=20(人)(原一班人數(shù))-(原二班人數(shù))=(22-20)÷=2×12=24(人)原一班人數(shù)=(72+24)÷2=48(人)11有兩包糖，每包糖內(nèi)裝有奶糖、水果糖和巧克力糖已知：第一包糖的粒數(shù)是第二包糖的；在第一包糖中，奶糖占25，在第二包糖中，水果糖占50；巧克力糖在第一包糖中所占的百

34、分比是在第二包糖中所占的百分比的兩倍當(dāng)兩包糖合在一起時(shí)，巧克力糖占28，那么水果糖所占百分比等于多少?【分析與解】 表述1：設(shè)第一包有2粒糖，則第二包有3粒糖，設(shè)第二包有3粒巧克力糖，則第一包有4粒巧克力糖 28，所以×28=20于是第一包中，巧克力糖占=40，水果糖占1-40-25=35在兩包糖總粒數(shù)中，水果糖占44表述2：設(shè)第一包糖總數(shù)為“2”，那么第二包糖總數(shù)為“3”，并設(shè)第一包糖含有巧克力糖2c，第二包糖含有巧克力糖c那么有2×2c+3×c=28×(2+3)，有7c=140，所以c=20，那么有如下所示的每種糖所占的百分?jǐn)?shù)所以水果糖占總數(shù)的(35

35、×2+50×3)÷(2+3)=4412某次數(shù)學(xué)競賽設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)已知：甲、乙兩校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)相等：甲校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)與乙校相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)的比為5:6；甲、乙兩校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)總和占兩校獲獎(jiǎng)人數(shù)總和的20；甲校獲三等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)人數(shù)的50；甲校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)是乙校獲二等獎(jiǎng)人數(shù)的4.5倍那么，乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)等于多少?【分析與解】 表述1：不妨設(shè)甲校有60人獲獎(jiǎng)，由、，乙校有50人獲獎(jiǎng)由知兩校獲二等獎(jiǎng)的共有(60+50)×20=22人；由知甲校獲二等獎(jiǎng)的有22÷(4.5+1)×4.

36、5=18人；由知甲校獲一等獎(jiǎng)的有60-60×50-18=12人，從而所求百分?jǐn)?shù)等于12÷50×100=24表述2：(這有一個(gè)“5”)1.2÷5×100=24，即乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的2413某校畢業(yè)生共有9個(gè)班，每班人數(shù)相等已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個(gè)班的女生總數(shù)多1；四、五、六班三個(gè)班的女生總數(shù)比七、八、九班三個(gè)班的男生總數(shù)多1那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少?【分析與解】 表述1：由知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多1知，四至九班的男生總數(shù)比七、八、九班總?cè)藬?shù)少1因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、七、八、九共

37、五個(gè)班的人數(shù)，則女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)所以，男、女生之比是5：4表述2： 有“一、二、三班男生”加上“四、五、六、七、八、九班男生”即為一至九班全體男生數(shù)，恰為“二、三班總?cè)藬?shù)”加上“四、五、六班總?cè)藬?shù)”，即為五個(gè)班總?cè)藬?shù)，則女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)所以，男、女生之比是5：414某商品按原定價(jià)出售，每件利潤為成本的25；后來按原定價(jià)的90出售，結(jié)果每天售出的件數(shù)比降價(jià)前增加了15倍問后來每天經(jīng)營這種商品的總利潤比降價(jià)前增加了百分之幾?【分析與解】 設(shè)這種商品的成本為“1”，共賣出商品“1”，則利潤為25，總利潤為0.25，定價(jià)為125那么按原定價(jià)的90出售，即以1.25× 90=1

38、.125的價(jià)格出售，現(xiàn)在銷售的件數(shù)比原來增加了1.5倍，利潤為0.125×(1.5+1)=O.3125，而原來的總利潤為O.25，現(xiàn)在增加了0.3125一O.25=0.0625，0.0625÷0.25：25所以，后來每天經(jīng)營這種商品的總利潤比降價(jià)前增加了2515贏利百分?jǐn)?shù)=某電子產(chǎn)品去年按定價(jià)的80出售，能獲得20的贏利；由于今年買入價(jià)降低，按同樣定價(jià)的75出售，卻能獲得25的贏利那么是多少?【分析與解】 根據(jù)題中給出的公式知：贏利百分?jǐn)?shù)×買入價(jià)=賣出價(jià)一買入價(jià)則買入價(jià)×(贏利百分?jǐn)?shù)+1)=賣出價(jià)，那么買入價(jià)=兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比一、比和比例的性質(zhì)

39、性質(zhì)1：若a: b=c：d，則(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性質(zhì)2：若a: b=c：d，則(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性質(zhì)3：若a: b=c：d，則(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x為常數(shù))性質(zhì)4：若a: b=c：d，則a×d = b×c；(即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積)正比例：如果a÷b=k(k為常數(shù))，則稱a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k為常數(shù))，則稱a、b成反比二、比和比例在行程問題中的體現(xiàn)在行程問題中，因?yàn)橛兴俣?，所以：當(dāng)一組物體行走速度相等，那么行走的路程比等于對應(yīng)時(shí)間的反比；當(dāng)一

40、組物體行走路程相等，那么行走的速度比等于對應(yīng)時(shí)間的反比；當(dāng)一組物體行走時(shí)間相等，那么行走的速度比等于對應(yīng)路程的正比1A和B兩個(gè)數(shù)的比是8：5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，試求這兩個(gè)數(shù)【分析與解】 方法一：設(shè)A為8x，則B為5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A為136，B為85方法二：因?yàn)闇p少的數(shù)相同，所以前后A 、B的差不變，開始時(shí)差占3份，后來差占1份且與B一樣多，也就是說減少的34，占開始的3-1=2份，所以開始的1份為34÷2=17，所以A為17×8=136，B為17×5=852近年來火車大提速，1427次火車自北京西站

41、開往安慶西站，行駛至全程的再向前56千米處所用時(shí)間比提速前減少了60分鐘，而到達(dá)安慶西站比提速前早了2小時(shí)問北京西站、安慶西站兩地相距多少千米?【分析與解】 設(shè)北京西站、安慶西站相距多少千米？ (x+56)：x=60：120，即(x+56)：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232即北京西站、安慶西站兩地相距1232千米，3兩座房屋A和B各被分成兩個(gè)單元若干只貓和狗住在其中已知：A房第一單元內(nèi)貓的比率(即住在該單元內(nèi)貓的數(shù)目與住在該單元內(nèi)貓狗總數(shù)之比)大于B房第一單元內(nèi)貓的比率；并且A房第二單元內(nèi)貓的比率也大于B房第二單元內(nèi)貓的比率試問是否整座房屋A內(nèi)貓的比率必定大于整座房屋B內(nèi)貓的比率

42、?【分析與解】 如下表給出的反例指出：對所提出問題的回答應(yīng)該是否定的表中具體寫出了各個(gè)單元及整座房屋中的寵物情況和貓占寵物總數(shù)的比率4家禽場里雞、鴨、鵝三種家禽中公禽與母禽數(shù)量之比是2：3，已知雞、鴨、鵝數(shù)量之比是8：7：5，公雞、母雞數(shù)量之比是1：3，公鴨、母鴨數(shù)量之比是3：4試求公鵝、母鵝的數(shù)量比【分析與解】 公雞占家禽場家禽總數(shù)的=，母雞占總數(shù)的；公鴨占總數(shù)的，母鴨占總數(shù)的；公鵝占總數(shù)的，母鵝占總數(shù)的，公鵝、母鵝數(shù)量之比為：3：25在古巴比倫的金字塔旁，其朝西下降的階梯旁6m的地方樹立有1根走子，其影子的前端正好到達(dá)階梯的第3階(箭頭)另外，此時(shí)樹立l根長70cm自桿子，其影子的長度為1

43、75cm，設(shè)階梯各階的高度與深度都是50cm，求柱子的高度為多少？ 【分析與解】 70cm的桿子產(chǎn)生影子的長度為175cm;所以影子的長度與桿子的長度比為：175：70=2.5倍于是，影子的長度為6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以桿子的長度為11.25÷2.5=4.5m6已知三種混合物由三種成分A、B、C組成，第一種僅含成分A和B，重量比為3：5；第二種只含成分B和C，重量比為I：2；第三種只含成分A和C，重量之比為2：3以什么比例取這些混合物，才能使所得的混合物中A，B和C，這三種成分的重量比為3：5：2 ?【分析與解】 注意到第一種混合物種A、B重量比與最終混

44、合物的A、B重量比相同，均為3：5.所以，先將第二種、第三種混合物的A、B重量比調(diào)整到 3：5，再將第二種、第三種混合物中A、B與第一種混合物中A、B視為單一物質(zhì).第二種混合物不含A，第三種混合物不含B，所以1.5倍第三種混合物含A為3，5倍第二種混合物含B為5，即第二種、第三種混合物的重量比為5：1.5于是此時(shí)含有C為5×2+1.5×3=14.5，在最終混合物中C的含量為3A5B含量的2倍有14.5÷2-1=6.25，所以含有第一種混合物6.25即第一、二、三這三種混合物的比例為6.25：5：1.5=25：20：67現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體

45、女工可用同樣天數(shù)完成同樣的工作；若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對調(diào)一下，則全體男25天完成的工作，全體女工需36天才能完成，問：男、女工各多少人?【分析與解】 直接設(shè)出男、女工人數(shù)，然后在通過方程求解，過程會(huì)比較繁瑣設(shè)開始男工為“1”，此時(shí)女工為“k”，有1名男工相當(dāng)k名女工男工、女工人數(shù)對調(diào)以后，則男工為“k”，相當(dāng)于女工“k2”，女工為“I” 有k2：1=36：25，所以k=于是，開始有男工數(shù)為×1100=500人，女工600人8有甲乙兩個(gè)鐘，甲每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢5分鐘，而乙每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快5分鐘，在3月15日的零點(diǎn)零分的時(shí)候兩鐘正好對準(zhǔn)若已知在某一時(shí)刻，乙鐘和甲鐘時(shí)針與分針都分別重合，且

46、在從3月15日開始到這個(gè)時(shí)候，乙鐘時(shí)針與分針重合的次數(shù)比甲鐘多10次，那么這個(gè)時(shí)候的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少?【分析與解】 標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)鐘每隔分鐘重合一次假設(shè)經(jīng)歷了x分鐘于是，甲鐘每隔分鐘重合一次，甲鐘重合了×x次；同理，乙鐘重合了×x次； 于是，需要乙鐘比甲鐘多重合×x-×x=×x=10;所以，x=24×60；所以要經(jīng)歷24×60×65分鐘，則為天.于是為65天小時(shí)分鐘9一隊(duì)和二隊(duì)兩個(gè)施工隊(duì)的人數(shù)之比為3：4，每人工作效率之比為5：4，兩隊(duì)同時(shí)分別接受兩項(xiàng)工作量與條件完全相同的工程，結(jié)果二隊(duì)比一隊(duì)早完工9天后來，由一隊(duì)工人與二

47、隊(duì)工人組成新一隊(duì)，其余的工人組成新二隊(duì)兩支新隊(duì)又同時(shí)分別接受兩項(xiàng)工作量與條件完全相同的工程，結(jié)果新二隊(duì)比新一隊(duì)早完工6天試求前后兩次工程的工作量之比?【分析與解】 一隊(duì)與二隊(duì)的工作效率之比為：(3×5)：(4×4)=15：16一隊(duì)干前一個(gè)工程需9÷=144天新一隊(duì)與新二隊(duì)的工作效率之比為： 新一隊(duì)干后一個(gè)工程需6÷=282天一隊(duì)與新一隊(duì)的工作效率之比為：所以一隊(duì)干后一個(gè)工程需282×天前后兩次工程的工作量之比是144：(282×)=(144×45)：(282×46)=540：1081.多人完成工作、水管的進(jìn)水與排水

48、等類型的應(yīng)用題解題時(shí)要經(jīng)常進(jìn)行工作時(shí)間與工作效率之間的轉(zhuǎn)化1甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時(shí)司以完成任務(wù)如果甲單獨(dú)加工，便需要12小時(shí)完成現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了2小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個(gè)零件才完成任務(wù)問乙一共加工零件多少個(gè)?【分析與解】 乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加工=.甲調(diào)出后，剩下工作乙需做(82)×(÷)=(小時(shí))，所以乙每小時(shí)加工零件420÷=25個(gè)，則2小時(shí)加工2×25=60(個(gè))，因此乙一共加工零件60+420480(個(gè))2某工程先由甲單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成如果由甲、乙兩人合作，需48天完成現(xiàn)在甲先單獨(dú)

49、做42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么還需做多少天?【分析與解】 由右表知，甲單獨(dú)工作15天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作20天，也就是甲單獨(dú)工作3天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作4天所以，甲單獨(dú)工作63天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作63÷3×4=84天，即乙單獨(dú)工作84+28=112天即可完成這項(xiàng)工程現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作42÷3×4=56天，即乙還需單獨(dú)工作11256=56天即可完成這項(xiàng)工程3有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10天，乙隊(duì)獨(dú)修需12天，丙隊(duì)獨(dú)修需15天現(xiàn)在讓3個(gè)隊(duì)合修，但中間甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了多少天才完

50、成?【分析與解】 甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)合修的工作效率為+=，那么它們6天完成的工程量為×6=，而實(shí)際上因?yàn)橹型境烦黾钻?duì)6天完成了的工程量為1所以1=是因?yàn)榧钻?duì)的中途撤出造成的，甲隊(duì)需÷=5(天)才能完成的工程量，所以甲隊(duì)在6天內(nèi)撤出了5天所以，當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了5天才完成4一件工程，甲隊(duì)獨(dú)做12天可以完成，甲隊(duì)做3天后乙隊(duì)做2天恰好完成一半現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做若干天后，由乙隊(duì)單獨(dú)完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等，則共用了多少天?【分析與解】 甲隊(duì)做6天完成一半，甲隊(duì)做3天乙隊(duì)做2天也完成一半。所以甲隊(duì)做3天相當(dāng)于乙隊(duì)做2天即甲的工作效率是乙的，從而乙單獨(dú)做12&

51、#215;=8(天)完成，所以兩段所用時(shí)間相等，每段時(shí)間應(yīng)是： 8÷(1+l+)3(天)，因此共用3×26(天)5抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙每天工作效率和的如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天才能完成？【分析與解】 已知甲、乙、丙合抄一天完成書稿的，又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因此甲兩天抄寫書稿的，即甲每天抄寫書稿的；由于丙抄寫5天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫書稿的，即丙每天抄寫書稿的；于是可知乙每天抄寫書稿的.所以乙一人單獨(dú)抄寫需要1÷=24天才能完成6游泳池

52、有甲、乙、丙三個(gè)注水管如果單開甲管需要20小時(shí)注滿水池；甲、乙兩管合開需要8小時(shí)注滿水池；乙、丙兩管合開需要6小時(shí)注滿水池那么，單開丙管需要多少小時(shí)注滿水池?【分析與解】 乙管每小時(shí)注滿水池的-=，丙管每小時(shí)注滿水池的-=.因此，單開丙管需要1÷=10(小時(shí))7一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成那么甲、丁兩人合作多少天可以完成?【分析與解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、.對于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)(乙，丙)=(甲，丁)即+=，所以甲、丁合作的工作效率為所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程8一項(xiàng)

53、工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需要多少天? 【分析與解】 方法一：對于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)(丙，甲)=2乙，即+=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為而對于工作效率有，(乙，丙)乙=丙，那么丙的工作效率為.那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需1÷=48天 方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)，所以(甲，乙，丙)=÷2，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為那么丙單獨(dú)工作的工作效率為，那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需48天 9某工程如果由第1、2、3小隊(duì)合干需要12天才

54、能完成；如果由第1、3、5小隊(duì)合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小隊(duì)合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小隊(duì)合干需要42天才能完成那么這5個(gè)小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程? 【分析與解】 由已知條件可得，對于工作效率有： (1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)所以5個(gè)小隊(duì)一起合作時(shí)的工作效率為：（2×）÷3所以5個(gè)小隊(duì)合作需要6天完成這項(xiàng)工程.評注：這類需綜合和差倍等知識(shí)的問題在工程問題中還是很常見的.10一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水若只開甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱已滿；若只開乙、丙兩

55、管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍則該水箱最多可容納多少噸水?【分析與解】 設(shè)甲管注入18噸水所需的時(shí)間為“1”，而乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍，那么乙管注入18噸的水所需時(shí)間為“O.5”，所以乙管注入27噸水所需的時(shí)間為27÷18×0.5=0.75.以下采用兩種方法：方法一：設(shè)丙在單位時(shí)間內(nèi)注入的水為“1”，那么有：因此18+“1”=27+“O.75”，則“0.25”=9噸，所以“1”=36噸，即丙在單位時(shí)間內(nèi)灌入36噸的水所以水箱最多可容納18+36=54噸的水方法二：也就是說甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效

56、率的再設(shè)甲單獨(dú)灌水的工作效率為“1”，那么乙單獨(dú)灌水的工作效率為“2”，有1+丙=(2+丙)；所以丙的工作效率為“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌時(shí)，丙也灌了27噸，那么水箱最多可容納27+27=54噸水11某水池的容積是100立方米，它有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管甲、乙兩管單獨(dú)灌滿水池分別需要10小時(shí)和15小時(shí)水池中原有一些水，如果甲、乙兩管同時(shí)進(jìn)水而排水管放水，需要6小時(shí)將水池中的水放完；如果甲管進(jìn)水而排水管放水，需要2小時(shí)將水池中的水放完問水池中原有水多少立方米?【分析與解】 甲每小時(shí)注水100÷10=10(立方米)，乙每小時(shí)注水100÷15=

57、(立方米)，設(shè)排水管每小時(shí)排水量為“排”，則(“排”10)×3=(“排”10)，整理得3“排”3×=“排”10,2“排”=40，則“排”=20所以水池中原有水(2010)×2=20(立方米) 12一個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開的排水管，上部安有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池現(xiàn)在需要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么最少要打開多少個(gè)進(jìn)水管? 【分析與解】 記水池的容積為“1”，設(shè)每個(gè)進(jìn)水管的工作效率為“進(jìn)”，排水管的工作效率為“排”，那么有： 4“進(jìn)”“排”=， 2“進(jìn)”“排”=. 所以有，2“進(jìn)”

58、=()=，那么“進(jìn)”=，則“排”=.題中需同時(shí)打開x個(gè)進(jìn)水管2小時(shí)才能注滿，有：x“進(jìn)”“排”=，即x=，解得x=8.5 所以至少需打開9個(gè)進(jìn)水管，才能在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿 13蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管要灌滿一池水，單開甲管需要3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)要排光一池水，單開乙管需要4小時(shí)，單開丁管需要6小時(shí)現(xiàn)在池內(nèi)有池水如果按甲、乙、丙、丁的順序循環(huán)開各水管，每次每管開1小時(shí)，問經(jīng)過多少時(shí)間后水開始溢出水池?【分析與解】 方法一：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開l小時(shí)，共開4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的=.最優(yōu)情況為：在完整周期后的1小時(shí)內(nèi)灌滿一池水因?yàn)榇藭r(shí)為甲管進(jìn)水時(shí)間，且甲的效率是四條管子中最大的那么在最優(yōu)情況下：完整周期只需注入1池水所需周期數(shù)為÷4那么，至少需要5個(gè)完整周期，而5個(gè)完整周期后，水池內(nèi)有水×5=剩下l池水未灌滿，而完整周期后l小時(shí)內(nèi)為甲注水時(shí)間，有÷ (小時(shí)).所以，需5個(gè)完整周期即20小時(shí)，再加上小時(shí)，即20小時(shí)后水開