材料力學(xué)——5梁的彎曲應(yīng)力

1、15 5 純彎曲純彎曲1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力Q 剪應(yīng)力t t彎矩M 正應(yīng)力s s平面彎曲時(shí)橫截面s 純彎曲梁(橫截面上只有M而無(wú)Q的情況)平面彎曲時(shí)橫截面t 橫力彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)2、研究方法、研究方法縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面P1P2例如： 某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。PPaaAB純彎曲純彎曲(Pure Bending):5LaaFFFFF圖SF(+)(-)-FFa(+)M-圖圖純彎曲純彎曲梁彎曲變形時(shí)，梁彎曲變形時(shí)，橫截面上只有彎矩而無(wú)剪橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力（力（ ）。）。0, 0SFM

2、0, 0SFM橫力彎曲橫力彎曲梁彎曲變形梁彎曲變形時(shí)，橫截面上既有彎矩又時(shí)，橫截面上既有彎矩又有剪力（有剪力（ ）。）。純彎曲純彎曲橫力橫力彎曲彎曲橫力橫力彎曲彎曲例例:火車輪軸火車輪軸6M1 1、研究對(duì)象：、研究對(duì)象：等直細(xì)長(zhǎng)對(duì)稱截面梁等直細(xì)長(zhǎng)對(duì)稱截面梁2 2、前提、前提: :(a)(a)小變形小變形在彈性變形范圍內(nèi)，在彈性變形范圍內(nèi)，(b)(b)滿足平面彎曲條件，滿足平面彎曲條件， （c c）純彎曲。）純彎曲。3 3、實(shí)驗(yàn)觀察、實(shí)驗(yàn)觀察: :MM凹邊縮短凹邊縮短凸邊伸長(zhǎng)凸邊伸長(zhǎng)長(zhǎng)度保持長(zhǎng)度保持不變的縱不變的縱向纖維向纖維橫截面上橫截面上只有正應(yīng)只有正應(yīng)力無(wú)剪應(yīng)力無(wú)剪應(yīng)力力縱向纖維間無(wú)擠壓作

3、用縱向纖維間無(wú)擠壓作用 7中性層中性層桿件彎曲變形時(shí)，其縱向線段既不伸長(zhǎng)又不桿件彎曲變形時(shí)，其縱向線段既不伸長(zhǎng)又不 縮短的曲面?？s短的曲面。中性軸中性軸中性層與橫截面的交線。中性層與橫截面的交線。4 4、平面截面假設(shè)、平面截面假設(shè)橫截面變形后保持為平面，只是橫截面變形后保持為平面，只是 繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度。繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度。中性層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸8（1 1）變形分布規(guī)律）變形分布規(guī)律mmnndx1o2oaby變形后變形后y任意縱向纖維至任意縱向纖維至中性層的距離中性層的距離 中性層中性層 的曲率半徑，的曲率半徑，21oo縱向纖維縱向纖維ab:變形前變形前 dxooa

4、b21d變形后變形后 ba dy)( ob a dy5-2 梁的彎曲正應(yīng)力梁的彎曲正應(yīng)力oo曲率中心，曲率中心，9所以縱向纖維所以縱向纖維ab的應(yīng)變?yōu)榈膽?yīng)變?yōu)?ababdxddy)(dydy橫截面上距中性軸為橫截面上距中性軸為y y處的軸向變形規(guī)律。處的軸向變形規(guī)律。曲率曲率),(1);(則則曲率曲率),(1);(則則.,1yC當(dāng)當(dāng)；時(shí)0,0y.,maxmax時(shí)yy與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。(a)10（2 2）應(yīng)力分布規(guī)律）應(yīng)力分布規(guī)律在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)用胡克定律在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)用胡克定律(b)sEyE對(duì)一定材料，對(duì)一定材料， E=C； 對(duì)一定截面，對(duì)一定截面，.1Cys橫截面上某點(diǎn)處

5、的應(yīng)力與此點(diǎn)距中性軸的距離橫截面上某點(diǎn)處的應(yīng)力與此點(diǎn)距中性軸的距離y y成比例。成比例。當(dāng)當(dāng)；時(shí)0,0sy.,maxmaxss時(shí)yy與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。應(yīng)力為零的點(diǎn)的連線。應(yīng)力為零的點(diǎn)的連線。M11（3 3）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應(yīng)力計(jì)算公式）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應(yīng)力計(jì)算公式z(中性軸中性軸)y(對(duì)稱軸對(duì)稱軸)xMMdAdAss由由 得得0 xFdAsA=0將將(b)(b)式代入，得式代入，得0AdAyE0AydAE0zSE0zS因此因此z z軸通過(guò)截面形心軸通過(guò)截面形心，即，即中性軸通過(guò)形心，并垂直于載荷作用面中性軸通過(guò)形心，并垂直于載荷作用面。(c)12考

6、慮平衡條件考慮平衡條件MMzydAMAz)(sAdAyE2MdAyEA2MIEzzIzI為截面對(duì)中性軸的慣性矩。為截面對(duì)中性軸的慣性矩。(e)zyxMdAdAss13可得可得撓曲線的曲率方程撓曲線的曲率方程：zEIM1 為常數(shù)，撓曲線為常數(shù)，撓曲線是一條圓弧線是一條圓弧線zEI抗彎剛度抗彎剛度。正應(yīng)力的計(jì)算公式為正應(yīng)力的計(jì)算公式為zIMys橫截面上最大正應(yīng)力為橫截面上最大正應(yīng)力為zIMymaxmaxsmax/ yIMzzWMmaxyIWzz截面的截面的抗彎截面模量，抗彎截面模量，反映了截面反映了截面的幾何形狀、尺寸對(duì)強(qiáng)度的影響。的幾何形狀、尺寸對(duì)強(qiáng)度的影響。14簡(jiǎn)單截面的慣性矩簡(jiǎn)單截面的慣性矩

7、12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh 矩形截面矩形截面園形截面園形截面15矩形、圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：矩形、圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：zz 豎放：豎放：,1213bhIz,1213hbIz261bhWzbhhb261hbWz平放：平放：若若hb, 則則 。zzWW 16zd,644dIz,323dWzdzD)(6444dDIz)1 (6444D)(Dd)1 (3243DWz17 注意注意：（1 1）要特別注意）要特別注意正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律的規(guī)律，在中性軸上為零，而，在中性軸上為零，而在梁的

8、上下邊緣處正應(yīng)力在梁的上下邊緣處正應(yīng)力最大最大。（3 3）必須熟記矩形截面、圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩）必須熟記矩形截面、圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩 的計(jì)算式。的計(jì)算式。（2 2）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，正應(yīng)力的正正應(yīng)力的正 負(fù)號(hào)（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負(fù)及梁的變形狀態(tài)來(lái)負(fù)號(hào)（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負(fù)及梁的變形狀態(tài)來(lái) 確定確定。18 mNqlMmax3000216000222 圖圖5-8所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長(zhǎng)所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長(zhǎng)l=1m，均布載，均布載荷集度荷集度q=6kN/m；梁由；梁由10號(hào)槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的號(hào)槽鋼制成

9、，由型鋼表查得橫截面的慣性矩慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。（1）作彎矩圖，）作彎矩圖， 求最大彎矩求最大彎矩19 因危險(xiǎn)截面上的彎因危險(xiǎn)截面上的彎矩為負(fù)，故截面上緣受矩為負(fù)，故截面上緣受最大拉應(yīng)力，其值為最大拉應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為MPa385Pa103850328. 0106 .253000682maxmax yIMzCs s（2）求最大應(yīng)力）求最大應(yīng)力MPa178Pa101780152. 0106 .253000681maxmax yIMzTs s20BAl = 3mq=

10、60KN/myxC1mMxkNql5 .678/2( )30zy180120K1.C 截面上K點(diǎn)正應(yīng)力2.C 截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力4. C 截面的曲率半徑(已知E=200GPa)( )( )FSx90KN90KNkNmM605 . 0160190C 1. 求支反力kNFAy90 kNFBy90 453Z10832. 512mbhI MPa7 .6110832. 510)302180(1060533ZKCK IyMs s（壓應(yīng)力）21BAl = 3mq=60KN/myxC1mMxkNmql5 .678/2( )30zy180120K( )( )FSx90KN90KN2. C 截面

11、最大正應(yīng)力C 截面彎矩kNmM60C C 截面慣性矩453Z10832. 512mbhI MPa55.9210832. 51021801060533Zmaxmax IyMCCs s22BAl = 3mq=60KN/myxC1mMxkNmql5 .678/2( )30zy180120K( )( )FSx90KN90KN3. 全梁最大正應(yīng)力最大彎矩kNmM5 .67max 截面慣性矩45310832. 512mbhIz MPa17.10410832. 5102180105 .67533Zmaxmaxmax IyMs s23BAl = 3mq=60KN/myxC1mMxkNmql5 .678/2(

12、)30zy180120K( )( )FSx90KN90KN4. C 截面曲率半徑C 截面彎矩kNmM60C C 截面慣性矩453Z10832. 512mbhI m4 .194106010832. 510200359CZC MEI Z1EIM(已知E=200GPa)24 梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力 梁的危險(xiǎn)截面梁的危險(xiǎn)截面梁的危險(xiǎn)截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上梁的危險(xiǎn)截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上危險(xiǎn)截面位于梁中部危險(xiǎn)截面位于梁中部危險(xiǎn)截面位于梁根部危險(xiǎn)截面位于梁根部 梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處Zmaxmax

13、WMs5-3 梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件25 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：maxmaxsszWM可解決三方面問(wèn)題：可解決三方面問(wèn)題：（1 1）強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核，即已知，即已知 檢驗(yàn)梁是否安全；檢驗(yàn)梁是否安全；, ,maxzWMs（2 2）設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面，即已知，即已知 可由可由 確定確定 截面的尺寸；截面的尺寸；, ,maxsMmaxsMWz（3 3）求許可載荷求許可載荷，即已知，即已知 可由可由 確定。確定。, ,sZWmaxszWMMmax梁內(nèi)最大彎矩梁內(nèi)最大彎矩WZ危險(xiǎn)截面抗彎截面模量危險(xiǎn)截面抗彎截面模量材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力26 脆性材料脆性材料抗拉和抗壓

14、性能不同，二方面都要考慮抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮ttssmax,ccssmax, 變截面梁要綜合考慮變截面梁要綜合考慮 與與MzI 注意注意：27作彎矩圖，尋找需要校核的截面作彎矩圖，尋找需要校核的截面ccttssssmax,max,要同時(shí)滿足要同時(shí)滿足分析：分析： 非對(duì)稱截面，要尋找中性軸位置非對(duì)稱截面，要尋找中性軸位置 T T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強(qiáng)度。試校核梁的強(qiáng)度。例題 MPa,160,MPa30ctss28mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面對(duì)中性軸）求截面對(duì)中性軸z z的慣性矩的慣性矩46

15、2323m1064. 728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：29（4 4）B B截面校核截面校核 ttssMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccssMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖kN.m5 .2kN.m430（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ ttssMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作彎矩圖）

16、作彎矩圖 ttssMPa2 .27max, ccssMPa1 .46max,kN.m5 .2kN.m4315-4 彎曲時(shí)的切應(yīng)力彎曲時(shí)的切應(yīng)力1.1.矩形截面梁矩形截面梁2.2.工字形截面梁工字形截面梁1SmaxdhF:腹板AFS23maxt32AFS34maxtAFS2maxt3. 3. 圓形、圓環(huán)形截面梁圓形、圓環(huán)形截面梁33 ttmax梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件是：梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件是：下列情況須進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核：下列情況須進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核： 若梁較短或載荷很靠近支座，梁的最大彎矩若梁較短或載荷很靠近支座，梁的最大彎矩Mmax可能可能很小而最大剪力很小而最大剪力Fs,max卻相對(duì)較大，如果據(jù)

17、此時(shí)的卻相對(duì)較大，如果據(jù)此時(shí)的Mmax選擇截面尺寸選擇截面尺寸,就不一定能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。就不一定能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。 對(duì)于一些組合截面梁，如其腹板的寬度對(duì)于一些組合截面梁，如其腹板的寬度b相對(duì)于截面高相對(duì)于截面高度很小時(shí)，橫截面上可能產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力。度很小時(shí)，橫截面上可能產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力。1. 對(duì)于木梁，它在順紋方向的抗剪能力較差，而由剪應(yīng)力對(duì)于木梁，它在順紋方向的抗剪能力較差，而由剪應(yīng)力互等定理，在中性層上也同時(shí)有互等定理，在中性層上也同時(shí)有t tmax作用，因而可能沿作用，因而可能沿中性層發(fā)生剪切破壞，所以需要校核其剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。中性層發(fā)生剪切破壞，所以需要校核其剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

18、。34解：畫(huà)內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x35求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 .

19、 15 . 1maxmaxttAQ365-6 梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：maxmaxsszWM在在s s一定時(shí)，提高彎曲強(qiáng)度的主要途徑：一定時(shí)，提高彎曲強(qiáng)度的主要途徑：max,MWz（一）、選擇合理截面（一）、選擇合理截面（1 1）矩形截面中性軸附近的材）矩形截面中性軸附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：z37（2 2）為降低重量，可在中性軸附近開(kāi)孔。）為降低重量，可在中性軸附近開(kāi)孔。382、根據(jù)截面模量選擇：、根據(jù)截面模量選擇： 為了比較各種截面的合理性，以為了

20、比較各種截面的合理性，以 來(lái)衡量。來(lái)衡量。 越大，越大，截面越合理。截面越合理。AWzAWzAWz截面形狀截面形狀矩形矩形圓形圓形槽鋼槽鋼工字鋼工字鋼0.167h0.125d(0.270.31)h (0.270.31)h(d=h)393、根據(jù)材料特性選擇：、根據(jù)材料特性選擇：塑性材料：塑性材料：,ss宜采用中性軸為對(duì)稱軸的截面。宜采用中性軸為對(duì)稱軸的截面。脆性材料：脆性材料：,ss宜采用中性軸為非對(duì)稱軸的截面，宜采用中性軸為非對(duì)稱軸的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：ycz1y2y拉邊拉邊壓邊壓邊zzIMyIMy21maxmaxss21yyss即使最大拉、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值。即使最大拉、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用