課題數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

1、課題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念汪洋濤（湖北省荊門市龍泉中學(xué)）一、教學(xué)設(shè)計1 、教學(xué)目標(biāo)分析數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念是人教版普通高中數(shù)學(xué)實驗教材選修2-2 第三章第一節(jié)的內(nèi)容，課時安排約一課時.復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個初步的、完整的認(rèn)識，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.根據(jù)以上分析，確定教學(xué)目標(biāo)如下：（ 1 ）知識與技能：理解虛數(shù)單位等概念；掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件.（ 2）過程與方法：由經(jīng)歷解方程的運作領(lǐng)悟

2、引入復(fù)數(shù)的必要性，在探索復(fù)數(shù)有關(guān)概念中進(jìn)一步提升合作、交流水平，在定義復(fù)數(shù)相等的探討中增強(qiáng)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化意識.（ 3）情感、態(tài)度與價值觀：在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系2 、教學(xué)內(nèi)容解析復(fù)數(shù)的引入實現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充新課程中復(fù)數(shù)內(nèi)容突出復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，同時也強(qiáng)調(diào)了復(fù)數(shù)的幾何意義它的內(nèi)容是分層設(shè)計的：先將復(fù)數(shù)看成是有序?qū)崝?shù)對，再把復(fù)數(shù)看成是直角坐標(biāo)系下平面上的點或向量，最后介紹復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義同時，復(fù)數(shù)作為一種新的數(shù)學(xué)語言，也為我們今后用代數(shù)的方法解決

3、幾何問題提供了新的工具和方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想本節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面讓學(xué)生回憶數(shù)系擴(kuò)充的過程，體會虛數(shù)引入的必要性和合理性；另一方面，讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，為今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用，是本章的重點內(nèi)容根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點確定為：（ 1 ）感受數(shù)系擴(kuò)充的過程，體會引進(jìn)虛數(shù)單位i 的必要性和對i 的規(guī)定；（ 2）理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件3 、教學(xué)問題診斷結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，預(yù)測學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容可能產(chǎn)生的認(rèn)知障礙與學(xué)習(xí)困難：為什么要引入i ？如何引入？i 是什么？根據(jù)教與學(xué)的關(guān)系，學(xué)生的學(xué)可以促進(jìn)教師的教與學(xué)教師通

4、過學(xué)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充歷史，了解數(shù)系擴(kuò)充的原則與方法，從而為虛數(shù)單位i 的引入奠定理論基礎(chǔ)；虛數(shù)的引入雖然最先由于數(shù)學(xué)本身的需要，但也只有當(dāng)高斯用于表示一個向量的時候，復(fù)數(shù)在解決實際問題中才得到廣泛的應(yīng)用，漸漸地才被大家接受因此，i 是人類理性思維的產(chǎn)物，是一種創(chuàng)造所以本節(jié)課的教學(xué)難點確定為：虛數(shù)單位i 的引入和復(fù)數(shù)概念的理解.4、教學(xué)對策分析本節(jié)課是章節(jié)起始課，在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過程中，復(fù)數(shù)的概念如果單純地講解或介紹會顯得較為空洞無味，加之由于學(xué)生對數(shù)系擴(kuò)充的知識不熟悉，對了解實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程有困難，也就是對虛數(shù)單位i 的引入難以理解，另外學(xué)生對虛數(shù)單位i 和實數(shù)進(jìn)行四則運算也不容易接受。本節(jié)

5、課運用多媒體課件輔助教學(xué)，圖文并茂，講解數(shù)的發(fā)展簡史，增強(qiáng)生動性；并通過動畫演示，類比實數(shù)，從幾何意義角度認(rèn)識虛數(shù)單位i,進(jìn)而借助幾何圖形展示理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a bi ,降低難度，便于學(xué)生接受.5、教學(xué)基本流程創(chuàng)設(shè)情景一一回顧歷史一一懸疑探究一一建構(gòu)新知一一生成理論一一鞏固練習(xí)6、教學(xué)過程設(shè)計一、創(chuàng)設(shè)情景：同學(xué)們，很高興有機(jī)會和同學(xué)們一起學(xué)習(xí)，首先我想問大家?guī)讉€問題：全班共有多少人？其中男生多少？女生多少？男、女生比例多少？男生比女生多多少？設(shè)計意圖：一方面拉近與學(xué)生的距離，另一方面引出了自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)，從而很自然的過 渡到回顧數(shù)的發(fā)展史.二、回顧歷史：問題1數(shù)集經(jīng)歷了哪幾次擴(kuò)充？（配圖

6、，穿插數(shù)的發(fā)展史相關(guān)知識）設(shè)計意圖：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)等，在此基 礎(chǔ)之上，幫助學(xué)生重新建構(gòu)數(shù)集的擴(kuò)充過程，即自然數(shù)集一整數(shù)集一有理數(shù)集一實數(shù)集，這是學(xué) 生的“最近發(fā)展區(qū)”，也是本節(jié)課知識的生長點.數(shù)學(xué)典故的講解可提高學(xué)生的興趣，讓學(xué)生更 加了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。問題2什么原因?qū)е聰?shù)的概念逐步擴(kuò)充的？計意意圖：學(xué)生通過回憶、思考每次數(shù)集擴(kuò)充的必要性，解決了哪些問題，即數(shù)集為什么要 擴(kuò)充？自然數(shù)集引入 整數(shù)集 引入 有理數(shù)集引入 一實數(shù)集負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)讓學(xué)生感受到這些數(shù)的產(chǎn)生不是從天而降，是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，也是社會發(fā)展的需要.問題3新數(shù)集與舊數(shù)集是怎樣的關(guān)

7、系？N Z Q R/ / 一一 、設(shè)計意圖：一方面培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括與表達(dá)能力；另一方面通過對前幾次數(shù)集擴(kuò)充的梳 理，為數(shù)系的再一次擴(kuò)充以及如何擴(kuò)充打好了堅實的基礎(chǔ)，讓學(xué)生感受到數(shù)系擴(kuò)充的合理性，并 能提煉出數(shù)系擴(kuò)充的一般原則.由此，突破本節(jié)課的一個難點.三、懸疑探究問題4 將10分成兩部分，使兩者的乘積為40.有這樣的兩個數(shù)嗎？設(shè)計意圖：一方面展示數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)娘L(fēng)采，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；另一方面，引領(lǐng)學(xué)生重溫 歷史，感悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不神秘，數(shù)學(xué)家也是從常規(guī)問題入手.同時為復(fù)數(shù)的引入及為什么引入和 引入的意義埋下伏筆。即60開平方問題，就是要找一個數(shù)的平方為 60,260 601，我們知道，J6

8、0已經(jīng)解決，因此問轉(zhuǎn)化為（？ ）21 ）即解方程x21.設(shè)計意圖：打破原有認(rèn)知平衡，形成認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受到數(shù)已經(jīng)不夠用了，體現(xiàn)學(xué)習(xí)新 知識的必要性.四、建構(gòu)新知問題5為什么用i呢？是誰引入了 i呢？i是“虛幻的”英文單詞imaginary的第一個字母.卡當(dāng)只是發(fā)現(xiàn)了這個矛盾，它的引入者是 被稱為“分析的化身”的瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉，引入時間公元1777年，從十六世紀(jì)到十八世紀(jì)，歷史的車輪已經(jīng)行進(jìn)了兩百多年，可見科學(xué)上每一步的邁出是多么的艱辛！設(shè)計意圖：教師通過自問自答， 介紹與虛數(shù)單位i有關(guān)的歷史，激發(fā)學(xué)生興趣，強(qiáng)化對i的認(rèn) 識，并讓學(xué)生感受到科學(xué)上每一步的邁出是多么的艱辛！問題6虛數(shù)i真的

9、那么 虛幻”？它是否跟實數(shù)一樣有意義？rqIeI1»-101-1011X(-1)=-11XiXi=-11乘-1逆時針旋轉(zhuǎn)1801乘i逆時針旋轉(zhuǎn)90進(jìn)一步探究 2 i 2i,3 i 3i,( 2) i 2i.問題7虛數(shù)i與實數(shù)b相乘的幾何意義，即數(shù) bi的幾何意義是什么？數(shù)bi也落在一條數(shù)軸上(與實數(shù)數(shù)軸垂直)問題8 bi與實數(shù)a相加的幾何意義呢？復(fù)平面上的點 a,b對應(yīng)a bi形式的數(shù)，點a, b唯一.設(shè)計意圖：分別類比實數(shù)賦予虛數(shù)單位i ,數(shù)bi和a bi的幾何表示，使學(xué)生更清楚的認(rèn)識“虛數(shù)不虛”，很自然的引出了復(fù)數(shù)的定義，同時為復(fù)數(shù)的分類和兩個復(fù)數(shù)相等的條件等知識的出現(xiàn)打下了堅實

10、的基礎(chǔ)，同時也為第二節(jié)內(nèi)容作好了鋪墊五、生成理論問題9：虛數(shù)與實數(shù)構(gòu)成了一個新的數(shù)集，我們把這個新的數(shù)集叫做復(fù)數(shù)集，記作C .這樣我們就完成了數(shù)系的又一次擴(kuò)充.我們把新的數(shù)系稱作復(fù)數(shù)系.該怎樣用描述法表示集合 C呢？1、復(fù)數(shù)的定義：形如a bi a,b R的數(shù)，我們把它們叫做復(fù)數(shù)， 其中a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部。C zz a bi,a,b R設(shè)計意圖：難點突破了，接下來就是本節(jié)課的而重點內(nèi)容。練一練：大家能不能構(gòu)造出幾個不同類型的復(fù)數(shù)，再指出其實部和虛部?師生活動：學(xué)生快速在白紙上寫出幾個不同類型的復(fù)數(shù)，教師巡視，選有代表性兩張進(jìn)行投影然后請學(xué)生說明理由,師生共同總結(jié)出復(fù)數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)

11、，從而得出復(fù)數(shù)的分類.2、復(fù)數(shù)的分類:復(fù)數(shù)Za bi實數(shù)(b 0)虛數(shù)(b 0)當(dāng)a0時為純虛數(shù)設(shè)計意圖：通過學(xué)生自己動手，合作探究，找到復(fù)數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，解決復(fù)數(shù)的分類問題加深對這一知識的理解.練習(xí)：判斷下列說法是否正確：(1) 一個數(shù)是實數(shù)，則這個數(shù)一定是復(fù)數(shù)；(2) 一個數(shù)是虛數(shù)，則這個數(shù)一定是純虛數(shù)；(3) 一個數(shù)有可能既是虛數(shù)，又是實數(shù)；(4) 1 2i2是虛數(shù)；(5) 3 2i的虛部是 2i ；(6) 1 bi b R是虛數(shù).六、鞏固練習(xí)例1、實數(shù)m分別取什么值時，復(fù)數(shù) z m 1 m 1 i是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？分析：因為m R,所以m 1,m 1都是實數(shù)，由復(fù)數(shù)

12、 z a bi是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件可以確定實數(shù) m的值.解：(1)當(dāng)m 10,即m 1時，復(fù)數(shù)z是實數(shù)；(2)當(dāng)m 1 0,即m 1時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；m 1 0當(dāng)，即m 1時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).m 1 0練習(xí)：若x2 1 x2 3x 2 i是純虛數(shù)，則實數(shù) x=；設(shè)計意圖：及時反饋，了解學(xué)生對概念的理解情況，鞏固復(fù)數(shù)的分類的條件，特別強(qiáng)調(diào)純虛數(shù)滿足兩個條件.問題10：對于復(fù)數(shù)z1a bi,z2 c dia,b,c,d R 在什么情況下相 等呢?a bi c例2、已知(2x 1) idi ac且bdy (3 y)i 淇中 x, y R ,求 x, y .分析：因為x, y R,所以由兩個復(fù)數(shù)

13、相等的定義，可列出關(guān)于x,y的方程組，解這個方程 組，可求出x,y的值.解：由復(fù)數(shù)相等的條件有2x11 y解得(3 y)5 x 一2 y 4設(shè)計意圖：強(qiáng)化復(fù)數(shù)相等的條件和復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的基本方法.讓學(xué)生在解決問題的過程中 內(nèi)化復(fù)數(shù)有關(guān)概念，起到及時反饋、學(xué)以致用的效果.七、歸納總結(jié)數(shù)系擴(kuò)充史 史i21za bi (a,b復(fù)平面R)分類.實數(shù)b a,b取值虛數(shù)b0時為純虛數(shù)實部復(fù)數(shù)相等的充要條件a bi c di a c且b d 虛部復(fù)數(shù)集的擴(kuò)充是中學(xué)階段數(shù)的最后一次擴(kuò)充，后面的課我們將要解決復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的幾何意義，在解決問題的過程中要注意與實數(shù)結(jié)合，弄清它們的區(qū)別，也要抓住它們的聯(lián)系

14、隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯示出它的重要性，它不僅對數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著 極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并且在解決堤壩滲水的問 題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站(如三峽水電站)提供了重要理論依據(jù)設(shè)計意圖：通過學(xué)生總結(jié)和教師提煉，深化內(nèi)容，讓學(xué)生體會數(shù)系擴(kuò)充過程中蘊含的創(chuàng)新精神和實踐能力，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.既是對整節(jié)課堂教學(xué)的回顧，又能對教學(xué)效果起到及時反饋的作用，而對后續(xù)問題和復(fù)數(shù)理論重要性的概述，使學(xué)生進(jìn)一步明確學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的意義，激發(fā)它們繼續(xù)學(xué)習(xí)的欲望.八、布置作業(yè)1、課本第106頁習(xí)題3.1A組題 1, 2, 3題

15、2、撰寫小論文(題目自擬)完成一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告。對數(shù)發(fā)展的歷史軌跡、自己感興趣的歷史事件與人物，寫出自己 的研究報告：如如果世界沒了數(shù)、數(shù)的歷史、數(shù)的未來，可參考書籍資料、網(wǎng)絡(luò)資源等 .二、教學(xué)反思1、可取之處(1)以人為本，充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.從實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾兩個方面發(fā)現(xiàn)數(shù)系擴(kuò)充的基本特征以及通過對卡當(dāng)問題的思考進(jìn)而引出虛數(shù)單位i,都是從學(xué)生的角度出發(fā)，幫助學(xué)生解決頭腦中的疑問，同時注重發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性(2)注重數(shù)學(xué)的人文價值.通過對數(shù)學(xué)史的介紹提高了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，加強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動機(jī)，轉(zhuǎn)變了數(shù)學(xué)觀念，讓學(xué)生更加了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)(3)重視知識的生成過程 Xi的認(rèn)識、復(fù)

16、數(shù)a bi形式的給出，不是采用直接給出的方式而是通過實數(shù)的意義， 借助i21引出虛數(shù)單位i的幾何意義，進(jìn)一步在坐標(biāo)平面上得到 a bi形式的數(shù).這樣處理不僅讓學(xué)生感到“虛數(shù)不虛”，還為后一節(jié)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的幾何意義打下了堅實的基礎(chǔ).2、改進(jìn)之處(1)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力不夠，特別是自主學(xué)習(xí)的能力，做的不夠.數(shù)學(xué)發(fā)展史的這些材料如果讓學(xué)生自己去搜集，那么學(xué)生對這一部分知識會有更深刻的了解(2)復(fù)數(shù)相等的充要條件是對復(fù)數(shù)概念的一個深入理解，明確了一個復(fù)數(shù)是由一對實數(shù)對 唯一確定的，這也為后續(xù)的學(xué)習(xí)埋下了伏筆.在這個概念的構(gòu)建上本人還是在前面學(xué)生構(gòu)造的復(fù) 數(shù)的基礎(chǔ)上，由學(xué)生歸納得出.因為本人思考還不夠成熟，所以在這個環(huán)節(jié)上本人的處理仍比較 生硬.三、教學(xué)點評1、抓住知識的本質(zhì)，突破難點虛數(shù)單位幾