實(shí)分析與復(fù)分析1-可測(cè)性概念

1、實(shí)分析與復(fù)分析Rudin第第一一章章 抽象積分抽象積分可測(cè)性概念1.2 1.2 定義定義1.3 1.3 定義定義充分性充分性證明證明10( ).xf fVV 所所以以是是 的的鄰鄰域域，且且必要性0.fx 在在 點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)1( )ffV 因因?yàn)闉?是是連連續(xù)續(xù)映映射射，所所以以是是開開集集，00,()xX Vf x 設(shè)設(shè)為為的的任任意意開開領(lǐng)領(lǐng)域域，10( ),VYxfV 設(shè)設(shè) 為為 中中任任意意開開集集，對(duì)對(duì)00(),()f xVVf x 因因?yàn)闉?是是開開集集，所所以以點(diǎn)點(diǎn) 00111()( )xf xUfVfVfV , ,是是開開集集, ,00()()0,f xf xVVVfx 鄰鄰域

2、域使使得得，因因?yàn)闉?在在 點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù), , 0000(),xxf xxUf UVV 所所以以點(diǎn)點(diǎn)鄰鄰域域使使得得.f所所以以 是是連連續(xù)續(xù)映映射射證明證明,V Zg設(shè)設(shè) 為為 中中任任意意開開集集，因因?yàn)闉?是是連連續(xù)續(xù)的的1( )gVY 是是 中中的的開開集集，111( )( ),.hVfgVh 而而所所以以 是是連連續(xù)續(xù)的的11( )fgVX 是是 中中的的開開集集，(a)f因因?yàn)闉?是是連連續(xù)續(xù)映映射射，所所以以111( )( ),.hVfgVh 而而所所以以 是是可可測(cè)測(cè)的的11( )fgVX 是是 中中的的可可測(cè)測(cè)集集，(b)f因因?yàn)闉?是是可可測(cè)測(cè)映映射射，所所以以證明證明,V

3、uv設(shè)設(shè) 為為直直線線上上的的任任意意開開集集，由由可可測(cè)測(cè)11( ),( )uV vVX 都都是是 中中的的可可測(cè)測(cè)集集，根根據(jù)據(jù)平平面面上上開開集集構(gòu)構(gòu)造造，平平面面上上任任意意開開集集至至多多 ( )=( ), ( ) ,f xu x v xxXhf 令令, , 1.7(b),f 連連續(xù)續(xù)， 由由定定理理只只需需證證明明 可可測(cè)測(cè)，12.,RRII 設(shè)設(shè) 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)開開矩矩形形則則是是可可列列個(gè)個(gè)開開矩矩形形的的并并. .所所以以只只需需要要考考慮慮開開矩矩形形就就可可以以了了. . 12,=,I Ifu v是是兩兩個(gè)個(gè)開開區(qū)區(qū)間間11112( )=( )()fRuIv

4、I 1,kkVVR 設(shè)設(shè) 是是平平面面上上任任意意開開集集，則則 (1,2,)kR k 其其中中，是是平平面面上上的的開開矩矩形形. . 11111( ),kkkkfVfRfR 1112,( ),( )uvuIvIX 可可測(cè)測(cè)都都是是 中中的的可可測(cè)測(cè)集集，1( )fRX 是是 中中的的可可測(cè)測(cè)集集. .1( )fVX 則則是是 中中的的可可測(cè)測(cè)集集. .證明證明 : ( ) 0 ,Ex X f x 設(shè)設(shè) 1,( ),( ) =,( ),( )xExxxXf xxEf x 令令則則1 1，( )0,( )0,xEf xf x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， ( )( )( )0,f xx f xxE ( )( )

5、,( )f xxExf x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， ( )( )( ) ,f xxf xxE ( )( )( ) ,.f xxf xxX 1,sup ,1.1,2,= inf13nknnkkkabakb 設(shè)設(shè)令令且且 ， limsup.nnnaa 稱稱 為為的的上上極極限限，記記為為1inf ,1,2,=supknnkkkcakc 類類似似定定義義下下極極限限，令令且且， liminf.nnnaa 稱稱 為為的的下下極極限限，記記為為liminf()limsup,nnnnaa顯顯然然limsup()liminf.nnnnaa引理引理1 是是 an 的上極限的上極限,則存在則存在an的的lim.kknnka

6、a 子子列列，使使得得證明證明sup,1,2,knnkbak 因因?yàn)闉閗b所所以以單單調(diào)調(diào)遞遞減減的的，于于是是1=inflim.kkkkbb 1120,sup,ba a 由由于于1111,.nnab 根根據(jù)據(jù)上上確確界界定定義義，使使得得,1,2,nnbbn 又又因因遞遞減減 故故11.nab所所以以有有，同理同理, , 由于由于 111112sup,nnnbaa 2121111,.nnnnnab 有有，12,knnn使使 照此做下去照此做下去,可求得可求得11,1, 2,.kknnabk kna這這樣樣得得到到的的子子列列，,1, 2,.kknnbaklimlim.kknnkkba所所以以

7、，,k 令令上上不不等等式式中中的的由由極極限限保保號(hào)號(hào)性性，lim=.knka 由由 的的任任意意性性，引理引理2 ,lim,kknnnkEsaaas 設(shè)設(shè)=sup.EE 則則證明證明由上確界定義由上確界定義 lim= ,nnnsEs 存存在在使使得得( )( ), lim,k iknnnik iiaaas 因因?yàn)闉閷?duì)對(duì)1111,1,nnnaaas 故故對(duì)對(duì)2121211,22nn nnaaas 1111,kkknn nnkaaaskk limlimlim.kknnkkkkkaass .E 命題命題1 1 設(shè)設(shè) an 為廣義實(shí)數(shù)列為廣義實(shí)數(shù)列. 則有則有(i) 是是 an 的上極限的充要條件

8、是的上極限的充要條件是(ii) 是是 an 的下極限的充要條件是的下極限的充要條件是;na 是是所所有有收收斂斂子子列列極極限限值值的的最最大大數(shù)數(shù)na 是是所所有有收收斂斂子子列列極極限限值值的的最最小小數(shù)數(shù). .證證 這里僅證這里僅證 (i). ,lim,kknnnkEsaaas 設(shè)設(shè)=sup.2.EE 記記由由引引理理 ，1,.E 由由引引理理 ，na 是是所所有有收收斂斂子子列列極極限限值值的的最最大大數(shù)數(shù). .limlim.kknnkkab 由由極極限限保保號(hào)號(hào)性性，有有,1,2,kknnabk 也也有有=sup,1,2,1,2,knnnn kbakab n 因?yàn)?，因?yàn)?，knnaa

9、對(duì)對(duì)的的任任意意收收斂斂子子列列，limlimlim.kknnnkknabb . . 綜綜上上所所述述，類似地可以證明類似地可以證明(ii).limsupliminf.nnnnaa 命題命題2 2 廣義實(shí)數(shù)列廣義實(shí)數(shù)列an存在極限的充要條件是存在極限的充要條件是:充分性充分性limsupliminf.nnnnAaa ,kknnnaaa 對(duì)對(duì)如如果果收收斂斂，證明證明limlimsupliminf,knnnknnaAaAa 設(shè)設(shè)，則則limsupliminfnnnnaa 因因?yàn)闉?，充分條件說明充分條件說明lim.1nna 同同一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)由由命命題題 ，必要性limsupliminflim.nn

10、nnnnaaa na所所以以對(duì)對(duì)的的任任意意子子列列都都收收斂斂 lim.nnnaaA 所所以以，收收斂斂，且且 na因因?yàn)闉槭帐諗繑浚?nfX設(shè)設(shè)為為集集上上的的廣廣義義實(shí)實(shí)值值函函數(shù)數(shù)列列， 1sup( )sup( ) ;nnnfxfx sup:,nfXxX 定定義義: :為為，inf:,nfXxX 同同理理，為為 1inf( )inf( ) .nnnfxfx nfX設(shè)設(shè)為為集集上上的的廣廣義義實(shí)實(shí)值值函函數(shù)數(shù)序序列列，limsup:,nnfX 定定義義: :為為， , limsup( )limsup( ) ;nnnnxXfxfx , liminf( )liminf( ) .nnnnxXf

11、xfx liminf:,nnfX 同同理理，為為.的的點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)極極限限:,fX 如如果果存存在在，使使得得 , lim( )( ),nnnxXfxf xff 對(duì)對(duì)則則稱稱 為為,Ra 設(shè)設(shè)如如果果對(duì)對(duì)任任意意的的上上的的可可測(cè)測(cè)函函數(shù)數(shù)。是是則則稱稱Xxf)( 都都是是可可測(cè)測(cè)集集，axfXxafX )( nfX設(shè)設(shè)為為1 1. .集集上上的的1 14 4定定理理廣廣義義實(shí)實(shí)值值suplim supnnnff 可可測(cè)測(cè)函函數(shù)數(shù)列列，則則和和，inflim inf.nnnff 以以及及和和均均可可測(cè)測(cè)證明：證明：，對(duì)任意的實(shí)數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)a)1(,1afafnnnXxnXx ，使得，使得supl

12、im supnnngfhf 記記和和，.agXx ,)()(sup)(,00axfxfxgnnnn ,)(axfnn ，使得，使得，于是，于是，1afnagnXX ,nfn因因?yàn)闉榭煽蓽y(cè)測(cè)，所所以以 對(duì)對(duì)每每一一個(gè)個(gè)nfaX 可可測(cè)測(cè)，,1可測(cè)可測(cè)afnagnXX supngf 從從而而，可可測(cè)測(cè)。(2)supknnn kgff 記記, ,因因?yàn)闉槊棵恳灰粋€(gè)個(gè)可可測(cè)測(cè)，(1),kg由由證證明明每每一一個(gè)個(gè)是是可可測(cè)測(cè)的的，1lim sup=infknkhg 從從而而，是是可可測(cè)測(cè)的的. .infnf同同理理可可證證，可可測(cè)測(cè)。liminfnnf 同同理理可可證證，可可測(cè)測(cè)。X可可測(cè)測(cè)函函數(shù)數(shù)列列，且且收收斂斂到到 上上的的廣廣義義實(shí)實(shí)值值( ),2f xxX 函函數(shù)數(shù)，對(duì)對(duì)由由命命題題 ，證明證明 nfX設(shè)設(shè)為為集集 上上的的廣廣義義實(shí)實(shí)值值( )lim(sup)( )lim(inf)( ).nnnnf xfxfx limsupliminf,nnnnfff 1.14.f由由定定理理， 是是可可測(cè)測(cè)的的證明證明1.14.