六年級(jí)奧數(shù)重點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)-比和比例應(yīng)用題

1、比和比例應(yīng)用題典型例題例1:幼兒園大班和中班共有 32個(gè)男生，18個(gè)女生。已知大班男生人數(shù)與 女生人數(shù)的比為 5: 3,中班男生與女生人數(shù)的比為 2: 1。那么大班女生有多少 人？分析：題目中涉及到兩個(gè)比例關(guān)系，看起來是無從下手。注意到兩個(gè)班的男、女總數(shù)都已知，于是我們可以設(shè)大班女生人數(shù)為X,則中班女生人數(shù)為(18-X),再利用比例關(guān)系表示出兩個(gè)班男生的人數(shù)，列方程即可求出。解：設(shè)大班女生人數(shù)為 X,則中班女生人數(shù)為(18-X),根據(jù)題意列方程， 得(5/3 ) X+ 2 (18X) =32X=12即大班女人有12人。說明：這是1998年全國小學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題，屬按比例分配類型應(yīng)用

2、題，利用方程解比和比例應(yīng)用題是十分有效易懂的方法。例2:甲、乙兩廠人數(shù)的比是 7: 6,從甲廠調(diào)360人到乙廠后，甲、乙兩 廠比為2: 3。甲、乙兩廠原有多少人？分析：從甲廠調(diào) 360人到乙廠，甲、乙兩廠人數(shù)的總數(shù)不變，因此，可將 這個(gè)不變量看彳是單位“1”。甲廠原有人數(shù)占總?cè)藬?shù)的7/13 ,甲廠現(xiàn)有人數(shù)占總?cè)藬?shù)的2/5 , 360人就是總?cè)藬?shù)的 7/13 - 2/5=9/65，總?cè)藬?shù)=360/ (9/65 ) =2600人。又因?yàn)榧?、乙?廠原有人數(shù)之比為 7: 6,所以甲廠原有 2600X7/13=1400人，乙廠原有 2600X 6/13=1200 人。說明：解這類應(yīng)用題時(shí)，可抓住題目中

3、的不變量，把它看作單位“1”，然后找已知數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率，逐步推出所求的量。例3:王師傅原定在若干小時(shí)內(nèi)加工完一批零件，他估算了一下，如果按原速度 加工120個(gè)零件后工作效率提高 25%可提前40分鐘完成；如一開始工作效率就提高20%就可提前1小時(shí)完成。他原計(jì)劃每小時(shí)加工多少個(gè)零 件？分析：此題的關(guān)鍵還是在于找出不變量，確定正反比例關(guān)系。由于加工120個(gè)零件后，加工余下的零件工作效率提高 25%則提高后的 工作效率與原工作效率比為(1 + 25%: 1=5: 4,而工作量(即加工120個(gè)零件 后余下的零件)沒有改變(不變量)，所以，所需時(shí)間與原工作時(shí)間的比應(yīng)與效 率成反比例關(guān)系，即4: 5。這樣

4、加工余下零件原來所用時(shí)間是：40+ (5 4) X 5=200分鐘=10/3 小時(shí)。如果一開始工作效率就提高20%提高后的工作效率與原工作效率比為(1 + 20%: 1=6: 5,所需工作時(shí)間與原工作時(shí)間之間的比是 5: 6,于是原工作時(shí) 間為1 + (6 5) X 6=6小時(shí)，這樣便可知道加工120個(gè)零件原來需要6- 10/3=8/3 小時(shí)，所以，他原計(jì)劃每小時(shí)加工零件 120+ 8/3=45個(gè)。說明：根據(jù)工作總量一定，工作時(shí)間和工作效率成反比例的關(guān)系推出王師 傅加工120個(gè)零件原來所需的時(shí)間，進(jìn)而就可推出他原計(jì)劃每小時(shí)加工的零件 數(shù)。例4:有A、R C三種鹽水，按A與B數(shù)量之比為2: 1混

5、合，得到濃度為 13%勺鹽水；按A與B數(shù)量之比為1: 2混合，得到濃度為14%勺鹽水；如果按A、 B、C數(shù)量之比為1: 1: 3混合成的鹽水濃度為10.2%=問：鹽水C的濃度是多少？分析：這是一道利用比例關(guān)系來解的濃度問題，關(guān)于濃度配比有這樣一個(gè) 性質(zhì)：兩種不同濃度的溶液混合，兩種溶液的濃度與混合后的濃度分別相減所得 的比與所需數(shù)量之比恰好成反比例關(guān)系，我們將以此為理論依據(jù)對(duì)此題做出解 答。解答：設(shè)A種鹽水的濃度為X, B種鹽水的濃度為Y。(13%-X): (Y13) =1: 2(14%-X): (Y14% =2: 1解彳# X=12% Y=15Y當(dāng)A、B、C三種鹽水按數(shù)量1:1: 3混合時(shí)，

6、相當(dāng)于A、B按1: 1混合， 混合后再與鹽水C混合；由于A、B兩種鹽水按數(shù)量1: 1混合后的濃度為(12知15% +2=13.5%,于是上面 A B、C三種鹽水混合的問題就轉(zhuǎn)化為濃度為13.5%的鹽水兩份與3份C種鹽水混合后的濃度為10.2 %,求C的濃度。設(shè)C種鹽水的濃度為Z,列方程(13.5 10.2): (10.2Z) =3: 2,求出 Z=8%說明：比和比例在行程問題和濃度問題中，有著廣泛的應(yīng)用，靈活、巧妙 地應(yīng)用比和比例解答應(yīng)用題，對(duì)提高我們的能力有很大的幫助。例5:某校和某工廠之間有一條公路，該下午 2點(diǎn)派車去該廠接勞模作報(bào) 告，往返需1小時(shí)。這位勞模在下午1點(diǎn)鐘便離廠步行向?qū)W校走

7、來，途中遇到接 他的汽車，便立即上車駛向?qū)W校，在下午 2點(diǎn)40分到達(dá)。問汽車的速度是勞模 速度的幾倍？分析：如圖示意AC BA表示學(xué)校，B表示工廠，C表示勞模和汽車相遇的地點(diǎn)。根據(jù)題意，汽 車從A到B往返需1小時(shí)，即汽車從A到B需要30分鐘；汽車從A到C往返 用了 40分鐘，即汽車從A到C用了 20分鐘。所以，汽車從C到B需要30-20=10 分鐘。如果能進(jìn)而求得勞模從B到C走的時(shí)間，問題就迎刃而解。勞模從B到C所走的時(shí)間是1小時(shí)40分20分=1小時(shí)20分=80分，這就 是說，從B到C,勞模所走的時(shí)間是汽車的8倍，因此，汽車的速度是勞模步行 速度的8倍。例6:獵犬發(fā)現(xiàn)在他10米遠(yuǎn)的前方有一只奔

8、跑著的野兔，獵犬馬上緊追上去。獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步；但兔子動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步。獵犬至少跑多少米能追上兔子？分析：由題意，獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步，這就是說，獵犬每步的長： 兔子每步的長=9: 5;又因?yàn)楂C犬跑2步的時(shí)間，兔子能跑3步，這就是說在整 個(gè)追及過程中，獵犬跑的步數(shù)：兔子跑的步數(shù) =2: 3。由上面的兩個(gè)關(guān)系，可得獵犬跑的路程：兔子跑的路程=(9X2): (5X3) =6: 5。設(shè)獵犬跑了 X米追上兔子，那么兔子跑了( X 10)米。則有：X: (X-10) =6: 5X=60例7:小明從甲地到乙地，去時(shí)每小時(shí)走 6千米，回來時(shí)每小時(shí)走

9、9千米， 來回共用5小時(shí)。小明來回共走了多少千米？分析：要想求小明來回共走多少千米，只要求出甲地到乙地距離再乘2就可以了。路程一定，速度與時(shí)間成反比例。由去時(shí)的速度與回來時(shí)的速度比是 6: 9=2: 3,可得去時(shí)的時(shí)間與回來時(shí)的 時(shí)間比是3: 2。所以，去時(shí)的時(shí)間是：5 X 3/5=3小時(shí)，去時(shí)的路程是 6X3=18 千米，來回的路程是18X2=36千米。說明：本題主要是利用路程一定，速度與時(shí)間成反比例來解決問題。例8: 2只圓珠筆的價(jià)錢和30支鉛筆的價(jià)錢相等，3支鋼筆的價(jià)錢和15支 圓珠筆的價(jià)錢相等。用買8支鋼筆的錢可以買多少支鉛筆？分析：根據(jù)總價(jià)一定，支數(shù)與單價(jià)成反比例關(guān)系來解決問題。由題意，總價(jià)一定時(shí)，圓珠筆與鉛筆支數(shù)的比是2