二元函數(shù)的連續(xù)性

1、二元函數(shù)的連續(xù)性 高等數(shù)學在線開放課程目 錄0102 01 二元函數(shù)的連續(xù)性復習復習)()(lim00 xfxfxx一元函數(shù)的連續(xù)性一元函數(shù)的連續(xù)性),(),(lim0000yxfyxfyyxx二二元函數(shù)的連續(xù)性元函數(shù)的連續(xù)性)(xf在在 連續(xù)：連續(xù)：0 x),(yxf在在 連續(xù)：連續(xù)：),(00yx 01 二元函數(shù)的連續(xù)性定定 義義當當 以任意方式趨于以任意方式趨于 時，時，),(yxP 的極限存在，的極限存在，則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點在點 處連續(xù)處連續(xù). .設函數(shù)設函數(shù) 在點在點 的某一鄰域內(nèi)有定義，的某一鄰域內(nèi)有定義，),(yxfz ),(000yxP),(yxP),(000yxP),(y

2、xfz ),(),(lim0000yxfyxfyyxx即即),(yxfz ),(000yxP為該鄰域內(nèi)任意一點，為該鄰域內(nèi)任意一點，函數(shù)函數(shù)且等于該函數(shù)在點且等于該函數(shù)在點 處的函數(shù)值，處的函數(shù)值，),(000yxP01 二元函數(shù)的連續(xù)性),(lim00yxfyyxx).,(),(lim)3(0000yxfyxfyyxx函數(shù)函數(shù) 在點在點 連續(xù)，連續(xù)，),(yxfz ),(000yxP必須同時滿足下列三個條件：必須同時滿足下列三個條件：(1)(1) 在點在點 有定義；有定義；),(yxfz ),(000yxP(2)(2) 存在；存在；注意注意否則，函數(shù)否則，函數(shù) 在點在點 不連續(xù)不連續(xù). .)

3、,(yxfz ),(000yxP如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)的每一點都連續(xù)，內(nèi)的每一點都連續(xù)，01 二元函數(shù)的連續(xù)性A函數(shù)函數(shù) 的的不連續(xù)點稱為函數(shù)的不連續(xù)點稱為函數(shù)的間斷間斷點點. .),(yxfz ),(yxfz ),(yxfz 在在區(qū)域區(qū)域 內(nèi)內(nèi)連續(xù)連續(xù). .那么稱函數(shù)那么稱函數(shù)函數(shù)的間斷點有時可能形成一條或幾條曲線函數(shù)的間斷點有時可能形成一條或幾條曲線， 這樣的曲線這樣的曲線稱為稱為函數(shù)的函數(shù)的間斷線間斷線. . 幾個定義幾個定義A例題1：解?2222) 1 (yxyxz 求下列函數(shù)的間斷點或間斷線. (1)(1)函數(shù)函數(shù)的間斷線為的間斷線為(2)(2)函數(shù)函數(shù)22)2(yxyx

4、z.xy只有一個間斷點只有一個間斷點. )0 , 0(2222yxyxz22yxyxz例題2：解?0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf 討論函數(shù)函數(shù)在函數(shù)在 處的極限不存在，處的極限不存在， 所以函數(shù)在所以函數(shù)在 不連續(xù)不連續(xù). .)0 , 0(在在 的連續(xù)性的連續(xù)性. .)0 , 0()0 , 0(2200limyxxyyx22220limxkxkxxkxy21kk02 二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)二二元連續(xù)函數(shù)元連續(xù)函數(shù)具有以下性質(zhì)具有以下性質(zhì)（5 5）介值定理：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)）介值定理：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)域上必能取得最大值與最小值之間的任何值域上必能取得最大

5、值與最小值之間的任何值. .（1 1）二元）二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)，在分母不為零的點處，連續(xù)函數(shù)之商仍為連續(xù)函數(shù)；在分母不為零的點處，連續(xù)函數(shù)之商仍為連續(xù)函數(shù)；（2 2）二元）二元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)；（3 3）二元）二元初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)函數(shù)；初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)函數(shù)；（4 4）最大（?。┲刀ɡ恚河薪玳]區(qū)域上的連續(xù)函）最大（小）值定理：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)域上必定取得最大值和最小值；數(shù)，在區(qū)域上必定取得最大值和最小值；內(nèi)容小結1.1.二元函數(shù)連續(xù)性的定義二元函數(shù)連續(xù)性的定義2.2.二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)),(lim00yxfy