小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法例談

1、背 景 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)【總目標(biāo)總目標(biāo)】 通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能： 1. 1. 獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗?；净顒咏?jīng)驗。 2. 2. 體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，與生活之間的聯(lián)系，增強，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。 3 3. . 了解數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)了解數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

2、，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學(xué)態(tài)度。識和科學(xué)態(tài)度。 教材哪些地方滲透著基本思想？倒底有哪些基本思想？倒底有哪些基本思想？怎樣教才能培養(yǎng)孩子們真正的數(shù)學(xué)思想怎樣教才能培養(yǎng)孩子們真正的數(shù)學(xué)思想? ?為什么要把這些基本思想作為什么要把這些基本思想作為教學(xué)目標(biāo)？為教學(xué)目標(biāo)？數(shù)學(xué)思想怎么檢測？數(shù)學(xué)思想怎么檢測？什么是數(shù)學(xué)基本思想？什么是數(shù)學(xué)基本思想？一、化一、化歸思想歸思想 二、符號化思想二、符號化思想三、三、類比思想類比思想 四四、分類思想、分類思想五、五、模型思想模型思想 六六、數(shù)形結(jié)合思、數(shù)形結(jié)合思想想七、七、對

3、應(yīng)思想對應(yīng)思想 八八、極限思想、極限思想 九、九、集合思想集合思想 十、統(tǒng)計思想十、統(tǒng)計思想十十一一、假設(shè)思想假設(shè)思想 十十二二、代換思想、代換思想十三、單位十三、單位化思想化思想 十四、函數(shù)思想十四、函數(shù)思想 十五、十五、運籌思想運籌思想 十六十六、抽象思想、抽象思想數(shù)學(xué)的基本思想 數(shù)學(xué)思想可以有許多，并且是有層次的。 數(shù)學(xué)的基本思想則是其中帶有基本重要性的思想，處于較高的層次。 其它思想都在基本思想中派生出來。什么是數(shù)學(xué)基本思想？什么是數(shù)學(xué)基本思想？概念、性質(zhì)、法則、公概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學(xué)的式等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)知識和基本技能基本技能對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識

4、、解決數(shù)學(xué)問題質(zhì)認識、解決數(shù)學(xué)問題的基本觀點和根本想法的基本觀點和根本想法人們運用這些數(shù)學(xué)思想人們運用這些數(shù)學(xué)思想解決問題過程中形成的解決問題過程中形成的一些程序、手段一些程序、手段基礎(chǔ)、軀殼基礎(chǔ)、軀殼精髓精髓數(shù)學(xué)學(xué)科精神數(shù)學(xué)學(xué)科精神數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想表層知識與深層知識表層知識與深層知識數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)素養(yǎng)表層知識表層知識深層知識深層知識核心精核心精神神靈魂靈魂哪哪些些是數(shù)學(xué)基本思想？是數(shù)學(xué)基本思想？首先要回答的問題是數(shù)學(xué)學(xué)科的思維特點什么是什么是對對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識、解決數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識、解決數(shù)學(xué)問題的基本觀點和根本數(shù)學(xué)問題的基本觀點和根本想法？想法？什么是什么是數(shù)

5、學(xué)學(xué)科精神數(shù)學(xué)學(xué)科精神什么是數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)的對象： 數(shù)、形、機會、算法、變化 數(shù)學(xué)的特點： 高度抽象性、應(yīng)用廣泛性、體系嚴(yán)謹性 數(shù)學(xué)的思考方式： 抽象化、符號化、公理化、最優(yōu)化、模型數(shù)學(xué)學(xué)科的特點反映在學(xué)生身上1、抽象思維2、推理思維3、建模思維4、理性精神這個學(xué)生缺的究竟是什么？ “52“52型拖拉機，一天耕地型拖拉機，一天耕地150150畝，問畝，問1212天耕地多少畝？天耕地多少畝？” 一位學(xué)生是這樣解題的：一位學(xué)生是這樣解題的：5252= =在他眼中，數(shù)字都是用來算的，而且都要放進去算。在他眼中，數(shù)字都是用來算的，而且都要放進去算。還沒有建立清晰的數(shù)量關(guān)系模型。還沒有建立清晰的數(shù)量關(guān)系模型

6、。接下來的對話 “告訴我，你為什么這么列式？告訴我，你為什么這么列式？” “老師，我錯了。老師，我錯了?！?“好的，告訴我，你認為正確的該怎么列式？好的，告訴我，你認為正確的該怎么列式？” “除。除?！?“怎么除？怎么除？” “大的除以小的。大的除以小的?！?“為什么是除呢？為什么是除呢？” “老師，我又錯了。老師，我又錯了?！?“你說，對的該是怎樣呢？你說，對的該是怎樣呢？” “應(yīng)該把它們加起來。應(yīng)該把它們加起來?！笨只牛瑯O端不自信?？只牛瑯O端不自信。解決問題的思路建立在計解決問題的思路建立在計算經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，而不是算經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，而不是建立在運算意義基礎(chǔ)上。建立在運算意義基礎(chǔ)上。啟而不發(fā)？

7、 “我們換一個題目，比如你每天吃兩個大餅，我們換一個題目，比如你每天吃兩個大餅，5 5天吃天吃幾個大餅？幾個大餅？” “老師，我早上不吃大餅的。老師，我早上不吃大餅的?！?“那你吃什么？那你吃什么？” “我經(jīng)常吃粽子。我經(jīng)常吃粽子?！?“好，那你每天吃兩個粽子，好，那你每天吃兩個粽子，5 5天吃幾個粽子？天吃幾個粽子？” “老師，我一天根本吃不了兩個粽子。老師，我一天根本吃不了兩個粽子。”無法脫離具體的事物無法脫離具體的事物演算。演算。啟而不發(fā)？ “那你能吃幾個粽子？那你能吃幾個粽子？” “吃半個就可以了。吃半個就可以了。” “好，那你每天吃半個（小數(shù)乘法沒學(xué)）粽子，好，那你每天吃半個（小數(shù)乘

8、法沒學(xué)）粽子，5 5天吃幾個粽子？天吃幾個粽子？” “兩個半。兩個半?！?“怎么算出來的？怎么算出來的？” “兩天一個，兩天一個，5 5天兩個半。天兩個半。”他究竟缺了什么？ 可憐的孩子，在數(shù)學(xué)面前他只有恐慌，沒有思考。 他沒有辦法脫離具體的情境。 這孩子數(shù)學(xué)入門了嗎？ 他究竟缺了什么？ （1）運算意義的理解 （2）數(shù)量關(guān)系 （3 3）數(shù)學(xué)的基本思維）數(shù)學(xué)的基本思維抽象抽象 我我的一生很慶幸，因為我曾經(jīng)在兩個不的一生很慶幸，因為我曾經(jīng)在兩個不同的國度生活過，一個國家注重演繹，一個同的國度生活過，一個國家注重演繹，一個國家注重歸納。國家注重歸納。 楊振寧楊振寧速度速度時間時間路程路程每小時每小時

9、8080千米千米行了行了5 5小時小時一共行了一共行了400400千米千米v vt tS SS=vtS=vt抽象具體符號化模型模型8080* *5 5400400（千米）（千米）3030* *9 9270270（千米）（千米）歸納推理歸納推理路程速度路程速度* *時間時間數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程處處也處處體現(xiàn)人類通過數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科； 通過數(shù)學(xué)推理，進一步得到大量結(jié)論，數(shù)學(xué)科學(xué)得以發(fā)展； 通過數(shù)學(xué)建模，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的效益，又反過來促進數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。他們真的學(xué)好數(shù)學(xué)了嗎?他們數(shù)學(xué)成績很好他們數(shù)學(xué)成績很好, ,但：但：對概念不求甚解；對概念不

10、求甚解；對定理、公式、法則不考慮它們?yōu)槭裁磳Χɡ?、公式、法則不考慮它們?yōu)槭裁闯闪?，在什么條件下成立；成立，在什么條件下成立；做練習(xí)時，對題型、套公式，不去領(lǐng)會做練習(xí)時，對題型、套公式，不去領(lǐng)會解題方法的實質(zhì)。解題方法的實質(zhì)。他們真的學(xué)好數(shù)學(xué)了嗎? 他們數(shù)學(xué)成績很好他們數(shù)學(xué)成績很好, ,但：但： 缺乏自己的思考，特別不能進行缺乏自己的思考，特別不能進行長時間持續(xù)性的思考，淺嘗輒止。長時間持續(xù)性的思考，淺嘗輒止。他們真的學(xué)好數(shù)學(xué)了嗎? 他們數(shù)學(xué)成績很好他們數(shù)學(xué)成績很好, ,但：但： 對書中內(nèi)容趨之若鶩，對課外的數(shù)對書中內(nèi)容趨之若鶩，對課外的數(shù)學(xué)題避而遠之。學(xué)題避而遠之。 數(shù)學(xué)學(xué)得呱呱叫，生活中卻沒

11、有用數(shù)學(xué)學(xué)得呱呱叫，生活中卻沒有用數(shù)學(xué)的沖動。數(shù)學(xué)的沖動。理性精神理性思辨，不感情用事。實事求是，不盲從權(quán)威。尊重數(shù)據(jù)，不弄虛作假?？茖W(xué)嚴(yán)謹，不隨欲而為。 西方文化的重要組成部分，也是中國文化最缺少的部分 電影藝術(shù)的理性美泰坦尼克號 對數(shù)據(jù)的尊重： 哪里來的？ 可靠嗎？實證過嗎？ 敬畏真實的數(shù)據(jù) 深入挖掘數(shù)據(jù)關(guān)于理性精神概念、性質(zhì)、法則、公概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學(xué)的式等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)知識和基本技能基本技能對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識、解決數(shù)學(xué)問題質(zhì)認識、解決數(shù)學(xué)問題的基本觀點和根本想法的基本觀點和根本想法人們運用這些數(shù)學(xué)思想人們運用這些數(shù)學(xué)思想解決問題過程中形成的解

12、決問題過程中形成的一些程序、手段一些程序、手段基礎(chǔ)、軀殼基礎(chǔ)、軀殼精髓精髓數(shù)學(xué)學(xué)科精神數(shù)學(xué)學(xué)科精神數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想表層知識與深層知識表層知識與深層知識數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)素養(yǎng)表層知識表層知識深層知識深層知識核心精核心精神神靈魂靈魂概念、性質(zhì)、法則、公概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學(xué)的式等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)知識和基本技能基本技能數(shù)學(xué)基本思想：數(shù)學(xué)基本思想：基礎(chǔ)、軀殼基礎(chǔ)、軀殼精髓精髓表層知識與深層知識表層知識與深層知識數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)素養(yǎng)表層知識表層知識深層知識深層知識核心精核心精神神靈魂靈魂抽象思想抽象思想模模型型思想思想推理思想推理思想數(shù)學(xué)學(xué)科精神數(shù)學(xué)學(xué)科精神概念、性質(zhì)、法則、公概念、性質(zhì)

13、、法則、公式等數(shù)學(xué)的式等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)知識和基本技能基本技能數(shù)學(xué)基本思想：數(shù)學(xué)基本思想：基礎(chǔ)、軀殼基礎(chǔ)、軀殼精髓精髓表層知識與深層知識表層知識與深層知識數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)素養(yǎng)表層知識表層知識深層知識深層知識核心精核心精神神靈魂靈魂抽象思想抽象思想模模型型思想思想推理思想推理思想理性精神理性精神數(shù)學(xué)的基本思想抽象思想推理思想模型思想基本思想一：抽象思想國外的一則笑話 幼兒園放學(xué)后，女兒告訴做數(shù)學(xué)家的父親：幼兒園放學(xué)后，女兒告訴做數(shù)學(xué)家的父親：“我我們今天學(xué)了們今天學(xué)了集合集合！” 父親：父親：“老師是怎么教的？老師是怎么教的？” 女兒：女兒：“女教師讓班上所有的男孩子站起來，然女教師讓班上所有的

14、男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；后告訴大家這就是男孩子的集合； “接著，她又讓所有的女孩子站起來，說這是女接著，她又讓所有的女孩子站起來，說這是女孩子的集合。孩子的集合。” “然后，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集然后，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，合，” “最后，教師問全班：最后，教師問全班：大家是否都懂了？大家是否都懂了？她她得到了肯定的答復(fù)。得到了肯定的答復(fù)。”國外的一則笑話 父：父：“那么，我們是否可以將世界上所有那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個集合？的匙子或土豆組成一個集合？” 遲疑了一會，女兒最終作出了這樣的回答：遲疑了一會，女兒最終作出了這樣

15、的回答： “不行！除非它們都能站起來！不行！除非它們都能站起來！” 一、數(shù)學(xué)抽象的思想數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)容數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)容 現(xiàn)實現(xiàn)實對象對象抽象的數(shù)字具體的對象抽象的乘法算式男孩數(shù)目乘以蘋果數(shù)目直線（幾何） 拉緊的繩子數(shù)學(xué)是從量的方面反映客觀實在的，即在數(shù)學(xué)的抽象中我們數(shù)學(xué)是從量的方面反映客觀實在的，即在數(shù)學(xué)的抽象中我們完全舍棄了事物的質(zhì)的內(nèi)容而僅僅保留了他們的量的屬完全舍棄了事物的質(zhì)的內(nèi)容而僅僅保留了他們的量的屬性。性。這就是數(shù)學(xué)與一般自然科學(xué)的一個基本區(qū)別這就是數(shù)學(xué)與一般自然科學(xué)的一個基本區(qū)別具體事物具體事物符號化符號化數(shù)的模型數(shù)的模型具體化具體化直觀直觀形式化形式化 （模型）模型）直觀直觀6 6

16、的認識的認識第一次抽象第一次抽象第二次抽象第二次抽象舍去高矮長短寬窄等非本舍去高矮長短寬窄等非本質(zhì)特征質(zhì)特征幾何模型幾何模型 數(shù)學(xué)抽象的思想派生出的有：分類思想集合思想數(shù)形結(jié)合思想；符號化思想；對稱思想；對應(yīng)思想；極限思想分類思想 數(shù)學(xué)分類思想，它是人們在研究數(shù)學(xué)對象時，常常采用的根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對事物進行有序劃分和組織，再進行研究分析的思想。 既是一種重要的數(shù)學(xué)思想。又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。一、數(shù)學(xué)抽象的思想分類思想 數(shù)學(xué)價值： 應(yīng)用分類討論，往往能使繁雜的問題清晰化。（三角形內(nèi)角和、一個非零正整數(shù)乘小數(shù)的結(jié)果判斷） 教育價值： 分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又

17、促進學(xué)生研究問題、探索規(guī)律的能力。（統(tǒng)計、編碼都是建立在分類思想的基礎(chǔ)上）一、數(shù)學(xué)抽象的思想滲透分類思想的課例: 圖形的分類 四邊形、角的分類、三角形的認識 數(shù)的分類 認識奇數(shù)偶數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù) 算式的分類 認識有余數(shù)除法 等式的分類 認識方程一、數(shù)學(xué)抽象的思想以三角形內(nèi)角和為例選擇研究的三角形對象為什么選擇研究的三角形對象為什么要強調(diào)要強調(diào)“不同類型不同類型”？1 1、在無法窮盡的情況下，、在無法窮盡的情況下，選擇各種類型的樣本進行研選擇各種類型的樣本進行研究，用樣本反映整體。究，用樣本反映整體。2 2、分類討論的思想。、分類討論的思想。不同類型指的是哪幾種類型？不同類型指的是哪幾種類型？除了各選

18、一個銳、直、鈍的除了各選一個銳、直、鈍的方法，還有其它的嗎？方法，還有其它的嗎？分類思想滲透的研究分類思想滲透的研究: : 怎樣驅(qū)動學(xué)生有目的地分類； 怎樣引導(dǎo)學(xué)生找到合適的標(biāo)準(zhǔn)； 分類如何做到不重不漏； 形成分類討論的意識 一、數(shù)學(xué)抽象的思想集合思想 集合理論的創(chuàng)始者德國數(shù)學(xué)家康托夫康托夫這樣描述集合： 集合集合：指把確定的、彼此可以區(qū)分的具體的或想象的對象（它們將稱為集合的元素）看成一個整體。 集合思想：把一組對象放在一起，作為討論的范圍，這是人類早期就有的思想方法，繼而把一定程度抽象了的思維對象，如數(shù)學(xué)上的點、數(shù)、式放在一起作為研究對象，這種思想就是集合思想。一、數(shù)學(xué)抽象的思想集合思想典

19、型集合思想典型案例案例 加減法加減法的的意義意義并集、差集并集、差集 數(shù)數(shù)的的認識認識有限集、無限集有限集、無限集 長方形長方形、正方形的、正方形的關(guān)系關(guān)系子集子集 因數(shù)因數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)合數(shù) 2 2、3 3、5 5的倍數(shù)的的倍數(shù)的特征特征交集交集 公因數(shù)公因數(shù)和和公倍數(shù)公倍數(shù) 最大公約數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)和最小公倍數(shù) 平行四邊形平行四邊形、長方形、正方形的關(guān)系、長方形、正方形的關(guān)系 三角形三角形的的分類分類 重疊問重疊問題題一、數(shù)學(xué)抽象的思想（1）認識加法： 很久很久以前，還沒有文明人類的時候，那時候還只有野人。在一座大森林里有野人一家，野人爸爸和野人媽媽。爸爸負責(zé)每天

20、出去打獵找食物，媽媽負責(zé)在家里做家務(wù)帶寶寶。有一天早上，野人爸爸出門打獵，到了晚上，野人爸爸回來了。野人媽媽問：你今天打了什么獵物??？野人爸爸說：我今天打到了一只兔子。我們今天晚上有兔肉吃咯。野人媽媽說：不行不行，我們前幾天還有很多東西沒吃完，先別急著吃?！奔纤枷氲湫桶咐纤枷氲湫桶咐?講到這里，我在黑板上貼一只兔子圖片，我問：“那怎么辦呢？”居然有學(xué)生想都不想說：“放到冰箱里?！蔽視?。 還是把兔子養(yǎng)起來吧。野人媽媽說。于是野人爸爸就用樹枝編了個圍欄，把小兔子圈在里面。 講到這里，我在兔子圖外畫了一個圈，寫上1（呵呵。集合圈的雛形） 第二天，野人爸爸又出去打獵，回來的時候，媽媽問，今天你又

21、打了什么?。堪职终f，我今天運氣特別好，我打到了兩只兔子，今天晚上我們可以大吃一頓了。媽媽說，先別急著吃，我們先把前幾天食物吃完。這兩只兔子也養(yǎng)起來，準(zhǔn)備過冬。于是野人爸爸又編了一個圍欄，把兔子養(yǎng)起來。一、數(shù)學(xué)抽象的思想集合思想典型案例集合思想典型案例 這時，我貼上兩只兔子，在外面畫一個圈。野人媽媽看到了，說，為什么不把這兩個圈的兔子，放到一個圈里養(yǎng)呢？于是野人爸爸就把這兩部分兔子合在一起，養(yǎng)在一個圈里?，F(xiàn)在一共養(yǎng)了多少只兔子呢？” 講到這里，我用一個大圈把三只兔子都圈了起來。一、數(shù)學(xué)抽象的思想集合思想典型案例集合思想典型案例(2)認識減法： 動物都過冬了，兔子要遭殃了。大饑荒來了大饑荒來了(3

22、)0(3)0的認識的認識：一、數(shù)學(xué)抽象的思想集合思想典型案例集合思想典型案例數(shù)形結(jié)合思想 指通過數(shù)(數(shù)量關(guān)系)和形(空間形式)之間的對應(yīng)關(guān)系來研究、解決問題的思想。 讓學(xué)生有寫一寫、畫一畫的沖動。例：眾數(shù)例：眾數(shù)一、數(shù)學(xué)抽象的思想用數(shù)形結(jié)合的思想解釋等差數(shù)列求和公式。用數(shù)形結(jié)合的思想解釋等差數(shù)列求和公式。如求如求 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5 = =（1 15 5）* *5/25/2數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之二案例之二用數(shù)形結(jié)合的思想解釋（用數(shù)形結(jié)合的思想解釋（a+ba+b）2 2 = a= a2 2 + 2ab + b+ 2ab + b2 2a ab ba ab ba

23、a2 2ababababb b2 2數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之三案例之三用數(shù)形結(jié)合的思想解釋用數(shù)形結(jié)合的思想解釋a a2 2 b b2 2 =(a =(ab b）（a ab)b)a ab ba ab ba ab ba ab b周髀算經(jīng)注解中記載趙爽的證明方法：數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之四案例之四 一種新思路一種新思路 百科百科情境下的數(shù)學(xué)問題解決情境下的數(shù)學(xué)問題解決乘法分配律乘法分配律數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之五案例之五學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算前學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算前師：你是怎樣算的？師：你是怎樣算的？生：個位二四得八，生：個位二四得八，11=1； 十位十位

24、21=2，14=4數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之六案例之六師：你是算出的？師：你是算出的？生：先二二得四，二三得六；再一生：先二二得四，二三得六；再一 二二得二，一三得三。這個二是得二，一三得三。這個二是 十位乘的，要和十位對齊。十位乘的，要和十位對齊。師：為什么可以這樣算？師：為什么可以這樣算？生：（停頓思考，搖搖頭）就是記生：（停頓思考，搖搖頭）就是記 住住要乘四次。要乘四次。師：這個師：這個64表示誰與誰的乘積？表示誰與誰的乘積？生：就是生：就是22和和23。課前熟練掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的同學(xué)。課前熟練掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的同學(xué)。表內(nèi)乘法的計算模型表內(nèi)乘法的計算模型12121

25、0=12010=12012124=484=48120+48=168120+48=1681 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 91010 1111 1212 1313 14141 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212用兩個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之七案例之七用三個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之七案例之七用

26、四個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之七案例之七用五個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之七案例之七用六個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之七案例之七用七個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思

27、想思想典型典型案例之七案例之七用八個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之七案例之七用九個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之七案例之七用十二個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之七案例之七1 1 111+ + +2 4 8 16 32計算計算 ： 12141811 6132132數(shù)

28、形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之八案例之八1 1 111+ + +2 4 8 16 32計算計算 ： 121418116132“1”數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合思想思想典型典型案例之八案例之八長長寬寬面積長方形的面積長方形的面積=長長寬寬數(shù)量數(shù)量總價總價總價=單價單價數(shù)量數(shù)量單價單價數(shù)形結(jié)合思想典型案例數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九之九面積法面積法（二）解決問題問題：學(xué)校食堂買來一些大米。計劃吃8天，實際每天比計劃多吃5千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？總千克數(shù) =每天吃的千克數(shù)天數(shù)長方形的面積= 長 寬數(shù)形結(jié)合思想典型案例數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九之九面積法面積法（二）解決問題問題

29、：學(xué)校食堂買來一些大米。計劃吃8天，實際每天比計劃多吃5千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？總千克數(shù) =每天吃的千克數(shù)天數(shù)提前2天吃完多吃多吃5千克千克計劃吃計劃吃8天天AB原計劃每天吃多少千克？數(shù)形結(jié)合思想典型案例數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九之九面積法面積法一個正方形，一條邊減少一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加，另一條增加2米，米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米方米數(shù)形結(jié)合思想典型案例數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九之九面積法面積法一個正方形，一條邊減少一個正方形，一條邊減少20%，另一條增，另一條增加加2米，面積保持

30、不變，求原來正方形的米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米面積是多少平方米數(shù)形結(jié)合思想典型案例數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九之九面積法面積法一個正方形，一條邊減少一個正方形，一條邊減少20%，另一條增，另一條增加加2米，面積保持不變，求原來正方形的米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米面積是多少平方米減少減少20%2米米數(shù)形結(jié)合思想典型案例數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九之九面積法面積法一個正方形，一條邊減少一個正方形，一條邊減少20%，另一條增，另一條增加加2米，面積保持不變，求原來正方形的米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米面積是多少平方米減少減少20%2米米減少減少1/

31、5，把正方形的，把正方形的邊長平均分成五份，減邊長平均分成五份，減少其中少其中1份，還剩下份，還剩下4份份數(shù)形結(jié)合思想典型案例數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九之九面積法面積法一個正方形，一條邊減少一個正方形，一條邊減少20%，另一條增，另一條增加加2米，面積保持不變，求原來正方形的米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米面積是多少平方米1份份2米米4份份BAC數(shù)形結(jié)合思想典型案例數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九之九面積法面積法A、B、C、D、E進行象棋比賽，每兩人之間都要賽一盤。到現(xiàn)在為止，A已經(jīng)賽了4盤，B賽了3盤，C賽了2盤，D賽了1盤，請問E已經(jīng)賽了幾盤？數(shù)形結(jié)合思想典型案例數(shù)形結(jié)合思想典型案例

32、之十之十邏輯推理邏輯推理數(shù)形結(jié)合詩數(shù)形結(jié)合詩數(shù)形本是相依偎，數(shù)形本是相依偎，焉能紛作兩邊飛焉能紛作兩邊飛. .數(shù)缺形時少直觀，數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微形少數(shù)時難入微. .數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休割裂分家萬事休. .幾何代數(shù)統(tǒng)一體，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫永遠聯(lián)系莫分離分離. . 華羅庚華羅庚 數(shù)學(xué)語言所包含的信息量的大小，直接影響著數(shù)學(xué)思維的質(zhì)量。 運用各種簡潔的符號對問題進行抽象表達，既能以濃縮的形式表達大量信息，大大簡化了數(shù)學(xué)運算或推理的過程，加快了數(shù)學(xué)思維的速度，更能去偽存真，抓住問題的本質(zhì)和關(guān)鍵。 因此，在數(shù)學(xué)中，人們大量地運用符號。幾乎所有的數(shù)學(xué)表述用語

33、，包括公理、定理、法則、公式、概念等都是一串串符號鏈，而數(shù)學(xué)研究的過程就是把一個符號鏈變換成另一個符號鏈。符號化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想 符號就是數(shù)學(xué)存在的具體化身。英國著名數(shù)學(xué)家羅素甚至說：“什么是數(shù)學(xué)? 數(shù)學(xué)就是符號加邏輯?！?符號化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想途徑之一途徑之一 1認識已有的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。認識已有的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。符號化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想小學(xué)階段的數(shù)學(xué)符號 數(shù)值符號： 阿拉伯?dāng)?shù)字 09 數(shù)量符號： x、a、（常量、變量、未知數(shù)） 關(guān)系符號： = 運算符號： ：（ ） 符號組合：代數(shù)式、方程、字母公式、復(fù)合單位 還有一些特例： 統(tǒng)計領(lǐng)域：統(tǒng)計圖 正字統(tǒng)計法、用分數(shù)表示可能性的大小

34、（1）理解數(shù)學(xué)符號的含義和實質(zhì)。）理解數(shù)學(xué)符號的含義和實質(zhì)。（2）經(jīng)歷符號化的過程。）經(jīng)歷符號化的過程。（3）適當(dāng)滲透一些符號化通用規(guī)則。適當(dāng)滲透一些符號化通用規(guī)則。途徑之一途徑之一 1認識已有的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。認識已有的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。例：速度時間路程例：速度時間路程例：負數(shù)例：負數(shù)符號化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想倍的認識倍的認識線段圖線段圖 第一小組得了5個笑臉， 第二小組得的笑臉數(shù)是第一小組的3倍， 第二小組得了多少個笑臉？符號化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想（1）理解數(shù)學(xué)符號的含義和實質(zhì)。）理解數(shù)學(xué)符號的含義和實質(zhì)。（2）經(jīng)歷符號化的過程。）經(jīng)歷符號化的過程。（3）適當(dāng)滲透一些符號化通用規(guī)則。適當(dāng)滲透

35、一些符號化通用規(guī)則。（1）尊重學(xué)生原發(fā)思維的同時，鼓勵符號的）尊重學(xué)生原發(fā)思維的同時，鼓勵符號的優(yōu)化。優(yōu)化。途徑之一途徑之一 1認識已有的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。認識已有的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。途徑之二途徑之二 2嘗試用符號化的思想進行數(shù)學(xué)思考。嘗試用符號化的思想進行數(shù)學(xué)思考。（2）強化符號化過程的規(guī)則意識。）強化符號化過程的規(guī)則意識。符號化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想打電話打電話 例：一下統(tǒng)計例：一下統(tǒng)計2342正正 典型案例典型案例 角的初步認識 數(shù)學(xué)廣角：搭配的學(xué)問 用字母表示數(shù) 長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓、圓柱、圓錐的周長、面積和體積的計算公式推導(dǎo) 比和比例 用字母表示數(shù) 解放程求未知數(shù)X

36、加法交換律、結(jié)合律、乘法。 乘法交換律、結(jié)合律、分配律 列方程解應(yīng)用題 解比例 環(huán)形面積字母公式?；舅枷攵和评硭枷胧裁词峭评恚渴裁词峭评?？ 推理推理是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程。幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程。推推 理理合情推理合情推理演繹推理演繹推理歸納歸納類比類比歌德巴赫猜想的提出過程： 3710，31720，131730， “任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和”即:偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)改寫為:1037，20317，30131763+3， 100029+971，83+5， 1002=139

37、+863,105+5, 125+7，147+7， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: : 從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理。數(shù)學(xué)推理的思想派生出的有：歸納推理； 演繹推理；聯(lián)想與類比的思想；公理化思想； 化歸思想；逐步逼近的思想；問題A問題A解答A解答A化歸化歸還原還原化歸思想化歸思想除數(shù)是小數(shù)的除法除數(shù)是小數(shù)的除法除數(shù)是整數(shù)的除法除數(shù)是整數(shù)的除法求多邊形內(nèi)角和求多邊形內(nèi)角和幾個三角形內(nèi)角總和幾個三角形內(nèi)角總和多加的要減去，多減的要加上多加的要減去，多減的要加上（1 1）改變形式的非恒等化歸改變形式的非恒等化歸（2 2）簡化問題的非恒等化歸簡化問題的非恒等化歸恒等化歸

38、恒等化歸 在確保量不變的前提下，將求解問題通過改變在確保量不變的前提下，將求解問題通過改變形式使之成為已有解的問題形式使之成為已有解的問題非恒等化歸非恒等化歸將求解問題通過改變形式成為已有解問題或是將求解問題通過改變形式成為已有解問題或是簡單的問題時，結(jié)果出現(xiàn)變化，此時返回值需簡單的問題時，結(jié)果出現(xiàn)變化，此時返回值需要加以處理，才能得到問題的解要加以處理，才能得到問題的解（3 3）制造變化沖突的非恒等化歸制造變化沖突的非恒等化歸化歸思想化歸思想直角三角形的內(nèi)角和是直角三角形的內(nèi)角和是180180度度180+180-90-90=180（度）度）鈍角三角形的內(nèi)角和是鈍角三角形的內(nèi)角和是180180

39、度度360360度度所有三角形的內(nèi)角和都是所有三角形的內(nèi)角和都是180180度度180+180-90-90=180（度）（度）銳角三角形的內(nèi)角和是銳角三角形的內(nèi)角和是180180度度小學(xué)階段幾何圖形面積計算公式推導(dǎo)過程中的化歸思想小學(xué)階段幾何圖形面積計算公式推導(dǎo)過程中的化歸思想（箭頭表示化歸方向）（箭頭表示化歸方向）平面圖形面積計平面圖形面積計算算立體圖形體積計立體圖形體積計算算組合圖形的組合圖形的面積或體積計算面積或體積計算兩個完全一樣的兩個完全一樣的梯形拼成一個平梯形拼成一個平行四邊形行四邊形割圓術(shù)，化曲為割圓術(shù)，化曲為直直兩個完全一樣的兩個完全一樣的梯形拼成一個平梯形拼成一個平行四邊形行

40、四邊形切割拼補切割拼補兩個完全一樣的兩個完全一樣的梯形拼成一個平梯形拼成一個平行四邊形行四邊形圓錐體積是與它等圓錐體積是與它等底等高的圓柱體積底等高的圓柱體積的的1/3化歸思想化歸思想面積法 某修路隊搶修一段公路，原計劃36天可以完成任務(wù)，為了趕工程進度，開工時又調(diào)來一個修路隊，結(jié)果實際每天比計劃多搶修200米，只用了20天就完成了任務(wù)。這段公路長多少米？3636天天200200米米2020天天找尋學(xué)生思維的路徑 例：平行四邊形的面積計算例：平行四邊形的面積計算 1 1、產(chǎn)生錯誤的原因是什么？產(chǎn)生錯誤的原因是什么？ 2 2、錯誤也是有價值的。錯誤也是有價值的。核心思想核心思想1 1、化歸并不是

41、一種無目的的活動，因此，在實、化歸并不是一種無目的的活動，因此，在實踐過程中，我們就應(yīng)始終盯住目標(biāo)，即應(yīng)當(dāng)始踐過程中，我們就應(yīng)始終盯住目標(biāo)，即應(yīng)當(dāng)始終考慮這樣的問題：怎樣才能達到解決原來問終考慮這樣的問題：怎樣才能達到解決原來問題的目的？題的目的？以可變的觀點去看待問題，善于對所要解決的以可變的觀點去看待問題，善于對所要解決的問題進行變換。問題進行變換。注意：注意：2 2、由于只有通過反復(fù)的實踐，才能找到正確的、由于只有通過反復(fù)的實踐，才能找到正確的化歸方向與方法，因此在解題過程中，應(yīng)保持化歸方向與方法，因此在解題過程中，應(yīng)保持一定的靈活性。一定的靈活性。化歸思想化歸思想數(shù)學(xué)推理的思想派生出的

42、有：歸納推理； 演繹推理；聯(lián)想與類比的思想；公理化思想； 化歸思想；逐步逼近的思想；基本思想三：模型思想模型思想 模型是人們?yōu)榱四撤N特定的目的而將原型模型是人們?yōu)榱四撤N特定的目的而將原型的某一部分信息加以簡略和提煉而構(gòu)建出的某一部分信息加以簡略和提煉而構(gòu)建出來的這個原型的某個代替物。來的這個原型的某個代替物。 典型案例典型案例 二年級上冊數(shù)學(xué)廣角：握手的次數(shù)、打乒乓球的次數(shù) 10以內(nèi)數(shù)的認識 20以內(nèi)進位加法、退位減法 四則混合運算法則的總結(jié) 四年級下冊 植樹問題 三年級上冊 搭配、排列與組合 數(shù)學(xué)的概念、定理、公式、法則探索、研究、提煉、總結(jié)的過程，都是一個數(shù)學(xué)建模的過程。S=r2計算公式是

43、模型計算公式是模型方程是刻畫等量關(guān)系的模型方程是刻畫等量關(guān)系的模型數(shù)學(xué)模型的思想派生出的有：簡化的思想；量化的思想；函數(shù)的思想；方程的思想；優(yōu)化的思想；隨機的思想；抽樣統(tǒng)計的思想等。函數(shù)思想 函數(shù)反映的是相關(guān)聯(lián)的量運動變化中的對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)思想即以運動變化的觀點去反映客觀世界中變量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律的。函數(shù)思想 盡管函數(shù)的定義沒有在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中專門給出，但從低年級開始就有所滲透。如一個加數(shù)不變時，“和”隨“另一個加數(shù)”變化而變化；積變化的規(guī)律（討論“一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴大或縮小，引起的積的變化”）；正、反比例這部分內(nèi)容更是集中滲透了函數(shù)概念。再如利息隨著利率的變化而變化，綜合實踐活

44、動內(nèi)容中出租車的票價隨著出租車運行的千米數(shù)而變化，進一步幫助學(xué)生加深對函數(shù)的認識與理解，畫龍畫晴地強調(diào)量的“變化”，突出“兩種相關(guān)聯(lián)的量”之間的對應(yīng)關(guān)系?？谒?60 +60 +60= 80 +50 +50= 100 +45 + 35= 150 +20 + 10= 170 +5 + 5 =180180180180180+=和不變和不變+ABCAAAAAAAA形狀不一樣的三角形，內(nèi)角和怎么會一樣？形狀不一樣的三角形，內(nèi)角和怎么會一樣？ A B C A ABCA AAAA+形狀不一樣的三角形，內(nèi)角和怎么會一樣？形狀不一樣的三角形，內(nèi)角和怎么會一樣？(1)(1)對數(shù)或者圖形排列規(guī)律的探索對數(shù)或者圖形排

45、列規(guī)律的探索 探索圖形的排列規(guī)律探索圖形的排列規(guī)律探索數(shù)的排列的規(guī)律探索數(shù)的排列的規(guī)律(2)(2)對數(shù)的運算規(guī)律的探索對數(shù)的運算規(guī)律的探索(2)(2)對數(shù)的運算規(guī)律的探索對數(shù)的運算規(guī)律的探索用16根1厘米長的小棒圍成長方形或正方形，你能圍出多少個？其中面積最大的是多少？并填寫如下表格。 用用1616根根1 1厘米長的小棒圍成長方形或正方形，你能圍出厘米長的小棒圍成長方形或正方形，你能圍出多少個？其中面積最大的是多少？并填寫如下表格多少個？其中面積最大的是多少？并填寫如下表格(3)(3)對圖形變化規(guī)律的探索對圖形變化規(guī)律的探索序號序號長長寬寬周長周長面積面積示意圖示意圖1 12 2（1 1）感受

46、）感受“一一 一對應(yīng)一對應(yīng)”的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系 （1 1）感受）感受“一一 一對應(yīng)一對應(yīng)”的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系 乘法口訣：一個因數(shù)不變時，積與另一個因數(shù)乘法口訣：一個因數(shù)不變時，積與另一個因數(shù)“一一對應(yīng)一一對應(yīng)”找規(guī)律填數(shù)找規(guī)律填數(shù): :數(shù)列中的每一個數(shù)與它的項數(shù)數(shù)列中的每一個數(shù)與它的項數(shù)“一一對應(yīng)一一對應(yīng)”折線統(tǒng)計圖：一組數(shù)據(jù)與統(tǒng)計圖中的一個點折線統(tǒng)計圖：一組數(shù)據(jù)與統(tǒng)計圖中的一個點“一一對應(yīng)一一對應(yīng)” 如：如：學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)“四舍五入四舍五入”，3.53.5至至4.5(4.5(不含不含4.5)4.5)之間的無窮多之間的無窮多個數(shù)四舍五入保留整數(shù)后都對應(yīng)的是個數(shù)四舍五入保留整數(shù)后都對應(yīng)的是“4”4

47、” 又如：又如：“找次品問題找次品問題”，次品數(shù)在，次品數(shù)在1010至至2727個時，均需要稱個時，均需要稱量量3 3次次（2 2）感受）感受“多對一多對一”的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系 將對應(yīng)關(guān)系以圖解的形式滲透，各冊教材中均有類似如下的練習(xí)將對應(yīng)關(guān)系以圖解的形式滲透，各冊教材中均有類似如下的練習(xí)：以上所列舉的以上所列舉的內(nèi)容豐富了學(xué)生對于兩個集合內(nèi)容豐富了學(xué)生對于兩個集合“關(guān)系關(guān)系”的認識的認識（3 3）結(jié)合基本數(shù)量關(guān)系或圖形計算公式，）結(jié)合基本數(shù)量關(guān)系或圖形計算公式， 強化對變量之間關(guān)系的感受強化對變量之間關(guān)系的感受S=vt(S=vt(路程路程= =速度速度時間時間) )，當(dāng)速度，當(dāng)速度v v固

48、定時，固定時，S S是是t t的函數(shù)。的函數(shù)。C=d(C=d(圓的周長圓的周長= =圓周率圓周率直徑直徑) )，C C是是d d的函數(shù)。的函數(shù)。S=S=1 1/ /2 2ah(ah(三角形面積三角形面積= =底底高高2)2)，當(dāng)，當(dāng)a a固定時，固定時，S S是是h h的函數(shù)的函數(shù)可以設(shè)計如下的訓(xùn)練：可以設(shè)計如下的訓(xùn)練：學(xué)校有學(xué)校有120120名學(xué)生排隊名學(xué)生排隊做操，做操， ，可以站幾排？，可以站幾排？3.3. 對多種數(shù)學(xué)語言的感受和初步使用對多種數(shù)學(xué)語言的感受和初步使用感受和使用字母語言感受和使用字母語言一般的函數(shù)解析式一般的函數(shù)解析式 都是借助字母來表都是借助字母來表 達的。引進字母表達

49、的。引進字母表 示，是用符號表示示，是用符號表示 數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)數(shù)量關(guān)系和變化規(guī) 律的基礎(chǔ)。律的基礎(chǔ)。 解析式：解析式：S=r2（2 2）感受和使用表格語言）感受和使用表格語言(3)(3)感受和使用圖像語言感受和使用圖像語言 圖像對于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義，圖圖像對于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義，圖像表示以其直觀性有著其它表示方式所不能替代的作用，像表示以其直觀性有著其它表示方式所不能替代的作用，它是它是“看見看見”相應(yīng)的關(guān)系和變化情況的途徑之一。相應(yīng)的關(guān)系和變化情況的途徑之一。學(xué)生最初看到的函數(shù)圖像是四年級學(xué)習(xí)的折線統(tǒng)計圖學(xué)生最初看到的函數(shù)圖像是四年級學(xué)習(xí)的折線統(tǒng)計圖

50、六年級成正比例的兩個量的圖像繪制六年級成正比例的兩個量的圖像繪制 鼓勵學(xué)生將表格、圖像和關(guān)系式結(jié)合起來，談自己鼓勵學(xué)生將表格、圖像和關(guān)系式結(jié)合起來，談自己對正比例關(guān)系的認識對正比例關(guān)系的認識原來的設(shè)計：原來的設(shè)計：1.1.復(fù)習(xí)時說長方形的長、寬、高，速度復(fù)習(xí)時說長方形的長、寬、高，速度、時間、路程等之間的關(guān)系、時間、路程等之間的關(guān)系2.2.出示例題，學(xué)生思考：出示例題，學(xué)生思考：（1 1）表中有哪幾種量？）表中有哪幾種量？（2 2）它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量嗎？）它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量嗎？（3 3）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？3.3.判斷練習(xí)，強調(diào)比值或商一定判斷練習(xí)，強調(diào)比值或商一定學(xué)生做

51、判斷練習(xí)的正確率比較高。學(xué)生做判斷練習(xí)的正確率比較高。4.4.例例2 2的圖像讓學(xué)生自主畫圖，集體交的圖像讓學(xué)生自主畫圖，集體交流答題情況后并沒有過多停留。流答題情況后并沒有過多停留。過于重視判斷技巧的習(xí)得，忽略了圖像教學(xué)的價值。過于重視判斷技巧的習(xí)得，忽略了圖像教學(xué)的價值?；o為動，感悟函數(shù)思想化靜為動，感悟函數(shù)思想課始呈現(xiàn)：課始呈現(xiàn)：蠟燭燃燒（時間與被燒的長度的變化關(guān)系）蠟燭燃燒（時間與被燒的長度的變化關(guān)系）汽車行駛（時間與速度的變化關(guān)系）汽車行駛（時間與速度的變化關(guān)系）股票行情股票行情正方形周長與邊長的變化關(guān)系正方形周長與邊長的變化關(guān)系兩人年齡情況兩人年齡情況正方形面積計算公式正方形面積

52、計算公式思考：思考：1.1.觀察每個情景中的兩種變量，它們是怎樣變化的？觀察每個情景中的兩種變量，它們是怎樣變化的？ 2 2. .在這些情景中，哪些量的變化具有相同的特點？在這些情景中，哪些量的變化具有相同的特點？ 分類：分類：1.1.兩個變量，一個量增加，另一個量也增加（同時增加）兩個變量，一個量增加，另一個量也增加（同時增加）2.2.兩個變量，一個量增加，另一個量卻減少。兩個變量，一個量增加，另一個量卻減少。3.3.兩個變量，一個量增加，另一個量時增時減。兩個變量，一個量增加，另一個量時增時減。對同時增加的一類再深入研究：分為直線上升、曲線上升對同時增加的一類再深入研究：分為直線上升、曲線

53、上升經(jīng)歷：經(jīng)歷：體會變化的量之間的關(guān)系體會變化的量之間的關(guān)系感受變量之間關(guān)系的不同感受變量之間關(guān)系的不同通過分類，關(guān)注正比例變化的情況通過分類，關(guān)注正比例變化的情況直觀感受變量之間的相互依存關(guān)系，預(yù)測動態(tài)變化趨勢直觀感受變量之間的相互依存關(guān)系，預(yù)測動態(tài)變化趨勢 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透函數(shù)思想，要把握以下兩條在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透函數(shù)思想，要把握以下兩條基本原則基本原則: : （1 1）創(chuàng)設(shè)）創(chuàng)設(shè)“變化變化”的過程，才能感受到函數(shù)思想。的過程，才能感受到函數(shù)思想。 （2 2）激發(fā)學(xué)生）激發(fā)學(xué)生“探究探究”的本性，于的本性，于“變變”中把握中把握“不變不變”，滿足人的好奇本性。，滿足人的好奇本性。典型

54、案例典型案例 用字母表示數(shù) 商不變的性質(zhì) 正比例和反比例 “周長和面積”的練習(xí)課 利用數(shù)量關(guān)系在解決實際問題，如單價、數(shù)量和總價之間的關(guān)系；路程、時間和速度的關(guān)系；工作量、工作效率和工作時間的關(guān)系 統(tǒng)計與概率 六年級上冊“位置” 一年級上冊20以內(nèi)進位加法表 一位數(shù)乘法口算 0和任何數(shù)相乘都得0的計算過程 倍的認識；倍數(shù)應(yīng)用題 除數(shù)是一位數(shù)的除法 自然數(shù)與直線上的點的關(guān)系 乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法計算 歸一、歸總應(yīng)用題；除數(shù)是兩位數(shù)的除法 差（和）對應(yīng)兩步應(yīng)用題 相遇問題 分數(shù)的初步認識 小數(shù)與數(shù)軸上的點。一個綜合性的例子雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？ 策略1：嘗試與猜想：1只雞，7只兔，

55、腿的總條數(shù)是30，腿多了，減少兔子的數(shù)量，再嘗試； 策略2：列表嘗試：雞兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加雞的數(shù)量，再嘗試； 策略3：用畫圖的方法，先按照都是雞畫好，再在此基礎(chǔ)上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。策略策略4 4：面積圖，利用長方形面積公式來計：面積圖，利用長方形面積公式來計算組合圖形的面積。算組合圖形的面積。2只腳只腳4只腳只腳8個頭個頭 雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？ 策略策略5 5：金雞獨立法。 所有的雞、兔都起立，兔子兩腿站立，雞一腳獨立，此時腿數(shù)是222=11（支），此時雞的腿數(shù)和頭數(shù)相等，而兔子的腿數(shù)比頭數(shù)多1。因此118=3（個），就是兔子的只數(shù)。雞兔

56、共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？ 雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？ 策略6：假設(shè)全是雞，也可以假設(shè)全是兔，也可以假設(shè)一半是雞一半是兔； 策略7：方程思路：用表示雞的只數(shù)，用表示兔的只數(shù)，根據(jù)已知條件可以發(fā)現(xiàn)8，2422；由此可以得到2（）222，22216，3。引導(dǎo)與體驗1 1、教師要深入理解每種思想的本質(zhì)，、教師要深入理解每種思想的本質(zhì)，把握教學(xué)內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想的機會。把握教學(xué)內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想的機會。 我們通常會這樣問： 等邊三角形的三個角分別是多少度？ 如果改成這樣呢： 等邊三角形是否可能有直角？2 2、好問題才會有好思維好問題才會有好思維, ,才能提升高級思維才能提升高級思維 幾年前，一位朋友問郭思樂教授：幾年前，一位朋友問郭思樂教授：“什么是教學(xué)？什么是教學(xué)？” 郭教授回答說：郭教授回答說：“如果你告訴學(xué)生，如果你告訴學(xué)生，3 3乘以乘以5 5等于等于1515，這不是教學(xué)。如果你說，這不是教學(xué)。如果你說，3 3乘以乘以5 5等于什么？這就有一等于什么？這就有一點是教學(xué)了。點是教學(xué)了?！?“如果你有膽量說：如果你有膽量說：3 3乘以乘以5 5等于等于1414，那就更是教，那就更是教學(xué)了。這時候，打瞌睡的孩子睜開了眼睛，玩橡皮泥學(xué)了。這時候，打瞌睡的孩子睜開了眼睛，玩橡皮泥的學(xué)生也不玩了：的學(xué)生也不玩了：什么什么？等于什么什么？等于1